Chương 1 Các khái niệm cơ sở của giải tích hàm
2.3. Định lý phổ của toán tử compact tự liên hợp
||T −Tn|| ≤ ||T −Tn||2 =
∞ X
i=n+1
||T ei||2 →0.
2.3. Định lý phổ của toán tử compact tự liênhợp hợp
Trong mục này, chúng ta giả sử rằng X là một không gian Hilbert phức. Nếu T : X → X là một toán tử tuyến tính bị chặn, chúng ta xem T∗ như là một ánh xạ từ X →X thông qua đẳng cự Riesz giữaX vàX∗. Tức là, T∗ được xác định bởi
< T∗x, y >=< x, T y > .
Trong trường hợp không gian Hilbert phức hữu hạn chiều, T có thể được biểu diễn bởi một ma trận vuông phức, và T∗ được biểu diễn bởi chuyển vị Hermitian của ma trận đó.
Nhắc lại rằng, một ma trận Hermitian đối xứng có các giá trị riêng thực và một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng. Với một tốn tử tự liên hợp trong một khơng gian Hilbert, dễ dàng thấy rằng các giá trị riêng là các số thực, và các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau là trực giao. Tuy nhiên có thể khơng tồn tại một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng, hay ngay cả với
các vectơ riêng khác 0bất kỳ. Ví dụ, X = L2([0,1]), và xác định T u(x) = xu(x) với u ∈ L2. Khi đó T rõ ràng là bị chặn và tự liên hợp. Nhưng dễ dàng thấy rằng T khơng có giá trị riêng nào.
Định lý 2.14. (Định lý về phổ của các toán tử compact tự liên hợp trong không gian Hilbert).
Giả sử T là một tốn tử compact tự liên hợp trong khơng gian Hilbert X. Khi đó có một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng của T.
Trước khi đí vào chứng minh, chúng ta chứng minh một bổ đề.
Bổ đề 2.15. Nếu T là một toán tử tự liên hợp trên một khơng gian Hilbert, thì
||T||= sup
||x||≤1
| < T x, x >|.
Chứng minh. Giả sử α= sup
||x||≤1
| < T x, x >|. Ta chỉ cần chứng minh rằng
| < T x, y >| ≤ α· ||x|| · ||y||
với tất cả x và y. Rõ ràng chúng ta có thể giả sử rằng x và y là khác 0. Hơn
nữa, chúng ta có thể nhân y bởi một số phức mơđun 1, vì vậy chúng ta có thể
giả sử rằng < T x, y >≥ 0. Khi đó
< T(x+y), x+y >− < T(x−y), x−y >= 4Re < T x, y >= 4| < T x, y >|.
Vì vậy
| < T x, y >| ≤ α
4 ·(||x+y||2 +||x−y||2) = α
2 ·(||x||2+||y||2).
Bây giờ áp dụng kết quả này với x thay bởi p||y||/||x||x và y thay thế bởi p
||x||/||y||y.
Chứng minh định lý về phổ của toán tử compact tự liên hợp. Đầu tiên chúng ta chỉ ra rằng T có một vectơ riêng khác 0. Nếu T = 0, điều này là hiển nhiên,
vì vậy chúng ta giả sử rằng T 6= 0. Chọn một dãy xn ∈ X với ||xn|| = 1 sao cho | < T xn, xn > | → ||T||. Do T là tự liên hợp, < T xn, xn >∈ R, vì vậy chúng ta có thể chuyển quan một dãy con (vẫn ký hiệu là xn) mà với dãy đó < T xn, xn >→ λ = ±||T||. Do T là compact nên chúng ta có thể chuyển qua một dãy con nữa và giả sử rằng T xn →y ∈X. Chú ý rằng ||y|| ≥λ > 0.
Sử dụng giả thiết T tự liên hợp và λ là thực, chúng ta có
||T xn−λxn||2 = ||T xn||2−2λ < T xn, xn >+λ2||xn||2
≤ 2||T||2−2λ < T xn, xn >→2||T||2−2λ2 = 0.
Do T xn →y, chúng ta suy ra λxn →y, hay xn →y/λ6= 0. Tác động T vào
ta có T y/λ =y, vì vậy λ là một giá trị riêng khác 0.
Để hoàn tất chứng minh, xét tập tất cả các tập con trực chuẩn của X chứa các vectơ riêng của T. Theo bổ đề Zorn, có một phần tử lớn nhất S. Giả sử W là bao đóng của tập căng bởi S. Rõ ràng T W ⊂W, và do T là tự liên hợp nên T W⊥ ⊂ W⊥. Do vậy T hạn chế xuống một toán tử tự liên hợp trên W⊥ và do vậy, trừ khi W⊥ = 0, T có một vectơ riêng trong W⊥. Nhưng điều này mâu thuẫn với tính cực đại của S (do chúng ta có thể thêm phần tử này vào S để thu được một tập trực chuẩn lớn hơn gồm các vectơ riêng). Do vậy W⊥ = 0, và
S là một cơ sở trực chuẩn. Ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.16. Nếu T là một toán tử compact tự liên hợp trên một khơng gian Hilbert, khi đó tập các giá trị riêng khác 0 của T hoặc là một tập hữu hạn hoặc là một dãy gần tới 0 và các không gian riêng tương ứng đều hữu hạn chiều. Nhận xét 2.17. 0 có thể có hoặc có thể khơng là một giá trị riêng, và không gian riêng của nó có thể hữu hạn hoặc khơng hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử ei là một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng, với T ei =
λiei. Ở đây i chạy khắp tập chỉ số I nào đó. Nó là điều kiện đủ để chỉ ra rằng S = {i∈I| |λi| ≥ε} là hữu hạn với mọi ε >0. Khi đó nếu i, j ∈ I
||T ei−T ej||2 =||λiei−λjej||2 =|λi|2+|λj|2,
vì vậy nếu i, j ∈ S, thì ||T ei−T ej||2 ≥ 2ε2. Nếu S vơ hạn, thì chúng ta có thể chọn một chuỗi các phần tử đơn vị trong X mà ảnh của chúng dưới ánh xạ T khơng có một dãy con hội tụ, điều này vi phạm tính compact của T.
Giả sử rằngX là một không gian Hilbert vô hạn chiều tách được và{en}n∈N
là một cơ sở trực chuẩn nhận được từ toán tử compact tự liên hợp T trên X. Khi đó ánh xạ U : X →l2 được cho bởi
U X
n
cnen !
là một đẳng cấu đẳng cự. Hơn nữa, khi chúng ta sử dụng ánh xạ này để chuyển sự tác động của T lên l2, tức là, khi chúng ta xét toán tử U T U−1 trên l2, chúng ta thấy rằng toán tử này chỉ đơn giản là phép nhân bởi các dãy bị chặn
(λ0, λ1, ...)∈ l∞. Do vậy định lý phổ nói rằng mỗi tốn tử compact tự liên hợp T là tương đương unita với một toán tử nhân trên l2. (Một đẳng cấu đẳng cự của các không gian Hilbert được gọi là tốn tử unita. Chú ý rằng nó được đặc trưng bởi tính chất U∗ = U−1).
Một mở rộng hữu ích là định lý về phổ của các toán tử compact tự liên hợp giao hoán.
Định lý 2.18. Nếu T và S là các toán tử compact tự liên hợp trong một không gian Hilbert H và T S = ST, thì có một cơ sở trực chuẩn của H mà các phần tử của nó là các vectơ riêng của cả S và T.
Chứng minh. Với một giá trị riêng λ của T, giả sử Xλ là các không gian riêng của T ứng với giá trị riêng λ. Nếu x ∈ Xλ, thì T Sx = ST x = λSx, vì vậy Sx ∈ Xλ. Do vậy S hạn chế tới một toán tử tự liên hợp trên Xλ, và vì vậy có một cơ sở trực chuẩn của S gồm các vectơ riêng của Xλ. Đó cũng là các T - vectơ riêng. Lấy hợp trên tất cả các giá trị riêng λ của T, ta hoàn thiện được cơ sở cần tìm.
Giả sử T1 và T2 là hai tốn tử tự liên hợp bất kỳ và đặt T = T1+iT2. Khi đó T1 = (T +T∗)/2 và T2 = (T −T∗)/(2i). Ngược lại, nếu T là một phần tử bất kỳ của B(X), thì chúng ta có thể xác định hai tốn tử tự liên hợp từ các
cơng thức này và có T = T1+iT2. Bây giờ giả sử rằng T là compact và chuẩn tắc, tức là, T và T∗ là giao hốn. Khi đó T1 và T2 là compact và giao hốn, và vì vậy chúng ta có một cơ sở trực chuẩn mà các phần tử của nó là các vectơ riêng của cả T1 và T2, và đo đó của T. Do phần thực và phần ảo của các vectơ riêng là các giá trị riêng của T1 và T2, chúng ta lại thấy rằng các giá trị riêng tạo thành một dãy tiến về 0 và tất cả các giá trị riêng đó có các khơng gian riêng hữu hạn chiều.
Chúng ta đã chỉ ra rằng một toán tử compact chuẩn tắc chứa một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng. Ngược lại, nếu {ei} là một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng của T, thì < T∗ei, ej >= 0 nếu i6= j, điều này kéo theo mỗi ei cũng là một vectơ riêng của T∗. Do vậy T∗T ei = T T∗ei với mọi i, và từ đó dễ
dàng suy ra rằng T là chuẩn tắc. Do vậy chúng ta đã chỉ ra rằng:
Định lý 2.19. (Định lý về phổ của toán tử compact chuẩn tắc).
Giả sử T là một toán tử compact trên một khơng gian Hilbert X. Khi đó tồn tại một cơ sở trực chuẩn của X bao gồm các vectơ riêng của T nếu và chỉ nếu T là chuẩn. Trong trường hợp này, tập các giá trị riêng khác 0 tạo thành một tập hữu hạn hay một dãy tiến về 0 và các không gian riêng tương ứng với các giá trị riêng khác 0 là các không gian hữu hạn chiều. Tất cả các giá trị riêng đều là số thực nếu và chỉ nếu toán tử là tự liên hợp.