Chương 1 Các khái niệm cơ sở của giải tích hàm
2.5. Giới thiệu về định lý phổ tổng quát
2.5.2. Định lý về phổ của toán tử tự liên hợp bị chặn trong không gian Hilbert
không gian Hilbert
Bây giờ chúng ta hạn chế tới các tốn tử tự liên hợp trên khơng gian Hilbert và gần với một dạng của định lý về phổ của lớp các toán tử này. Chúng ta đi theo bài báo của Hamos “Định lý về phổ nói gì” từ những phát biểu cơ bản của định lý cho đến chứng minh của định lý.
Đầu tiên chúng ta chú ý rằng các toán tử tự liên hợp có phổ thực ( chứ khơng chỉ các giá trị riêng thực).
Mệnh đề 2.32. Nếu H là một không gian Hilbert và T ∈B(H) là tự liên hợp, thì σ(T)⊂R.
Chứng minh.
|< (λ1−T)x, x >| ≥ |Im < (λ1−T)x, x >| =|Imλ| · ||x||2,
vì vậy nếu Im λ 6= 0, λ1−T là đơn ánh và có miền giá trị đóng. Với cùng lý do này, ta có (λ1−T)∗ =λ1−T là đơn ánh, vì vậyR(λ1−T) là trù mật. Do vậy λ ∈ ρ(T).
Định lý 2.33. (Định lý về phổ của toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert).
Nếu H là không gian Hilbert phức và T ∈ B(H) là tự liên hợp, thì có một khơng gian đo Ω với độ đo µ, một hàm đo được bị chặn φ : Ω→R, và một đẳng cấu đẳng cự U : L2 →H sao cho
U−1T U = Mφ,
trong dó Mφ : L2 →L2 là tốn tử của phép nhân bởi φ. (Ở đây L2 có nghĩa là L2(Ω, µ;C), khơng gian các hàm nhận giá trị phức trên Ω và bình phương khả tích đối với độ đo µ).
Chứng minh. Giả sử x là một phần tử khác 0 của H, và xét khơng gian con đóng nhỏ nhất M của H chứaTnx với n= 0,1, ..., tức là M = {p(T)x|p∈PC}.
Ở đây PC là không gian các đa thức một biến với hệ số phức. Cả M và phần bù của nó là bất biến đối với T (do tính tự liên hợp của T). Áp dụng trực tiếp bổ đề Zorn, chúng ta thấy rằng H có thể được viết như là một khơng gian Hilbert, là tích trực tiếp của các khơng gian T bất biến có dạng M. Nếu chúng ta có thể chứng minh định lý với mỗi khơng gian con này, chúng ta có thể lấy tích trực tiếp tất cả các khơng gian đó của H. Bởi vậy chúng ta có thể giả sử ngay từ lúc bắt đầu rằng H = {p(T)x|p∈ PC} với x nào đó. (Theo thuật ngữ khác, ta nói rằng T có một vectơ cyclic S).
Bây giờ đặt Ω = σ(T), đây là một tập con compact của đường thẳng thực,
và xét không gian C = C(Ω,R), không gian tất cả các hàm liên tục nhận giá
trị thực trên Ω. Không gian con của không gian các hàm đa thức nhận giá trị
thực trù mật trong C (do một hàm liên tục bất kỳ trên Ω có thể được mở rộng lên khoảng [−r(T), r(T)] theo định lý mở rộng của Tietze và sau đó theo định lý Weistrass, nó được xấp xỉ bởi một đa thức). Với hàm đa thức này, xác định Lp =< p(T)x, x >∈ R. Rõ ràng L là tuyến tính và
|Lp| ≤ ||p(T)|| · ||x||2 = r(p(T))· ||x||2,
theo dạng đặc biệt của cơng thức bán kính phổ đối với các tốn tử tự liên hợp trong khơng gian Hilbert. Do σ(p(T)) = p(σ(T)), chúng ta có r(p(T)) =
||p||L∞(Ω) = ||p||C, và do vậy,
Điều này chỉ ra rằng L là một hàm tuyến tính bị chặn trên một khơng gian con trù mật của C và vì vậy mở rộng duy nhất tới một hàm tuyến tính bị chặn trên C.
Tiếp theo chúng ta chỉ ra rằng L là dương theo nghĩa Lf ≥ 0 với tất cả các hàm không âm f ∈C. Thực vậy, nếu f = p2 vói đa thức p nào đó, thì
Lf =< p(T)2x, x >=< p(T)x, p(T)x >≥ 0.
Với một hàm khơng âm bất kỳ, chúng ta có thể xấp xỉ √
f đều bởi các đa thức pn, vì vậy f = limpn2 và Lf = limLp2n ≥0.
Bây giờ chúng ta áp dụng định lý biểu diễn Riesz đối với biểu diễn của hàm tuyến tính L trên C. Định lý đó khẳng định rằng có một độ đo hữu hạn trên Ω
sao cho Lf = R f dµ với f ∈C (nó là một độ đo dương do L dương). Đặc biệt, < p(T)x, x >=
Z pdµ với tất cả p∈PR.
Bây giờ chúng ta chuyển sang không gian L2 gồm các hàm nhận giá trị phức xác định trên Ω và bình phương khả tích đối với độ đo µ. Khơng gian con của các hàm đa thức nhận giá trị phức là trù mật trong L2 (do độ đo là hữu hạn, chuẩn L2 được làm trội bởi chuẩn sup). Với một hàm đa thức q như vậy, xác định Uq =q(T)x. Khi đó
||Uq||2 = ||q(T)x||2 =< q(T)x, q(T)x >=< q(T)q(T)x, x > =
Z
|q|2dµ= ||q||2L2.
Do vậy U là một đẳng cự của một không gian con trù mật của L2 vào H và vì vậy mở rộng thành đẳng cự của L2 lên một khơng gian con đóng của H. Thực tế, U là lên H, do theo giả thiết x là vectơ cyclic của T, miền giá trị của U là trù mật.
Cuối cùng, xác định φ : Ω → R bởi φ(λ) = λ. Nếu q là một đa thức phức,
thì (Mφq)(λ) = λq(λ), đây cũng là một đa thức. Do vậy
U−1T U q = U−1T q(T)x= U−1((Mφq)(T))x =Mφq.
Do vậy các toán tử bị chặn U−1T U và Mφ đồng nhất trên một tập con trù mật của L2, và vì vậy chúng bằng nhau.
Để có một mơ ta chính xác của khơng gian đo và mở rộng tới một toán tử chuẩn tắc, xem Zimmer.
Chương 3
Độ đo phổ ngẫu nhiên tổng quát