Ph¦n n y düa theo Mưc 3 trong [9], trong õ Ôi số a thực Pk ÷đc thay bði mỉun khỉng ên ànhF(k). Tø ¥y v· sau, ta kỵ hiằuQ3,0, Q3,1, Q3,2, V4(u1), . . . , V4(uk)
lƯn lữủt lQ0, Q1, Q2, W1, . . . , Wk. T¡c ëng cõaA lản cĂc bĐt biánQ0, Q1, Q2, W1, . . . , Wk
ữủc cho bi mằnh à dữợi Ơy.
Mằnh à 2.1 ([4]). TĂc ởng cừa Ôi sè Steenrod A ữủc cho bi bÊng dữợi Ơy, trong õ cĂc ổ trống l bơng 0.
Sq0 Sq1 Sq2 Sq3 Sq4 Sq5 Sq6 Sq7 Sq8 Q2 Q1 Q0 Q22
Q1 Q0 Q1Q2 Q0Q2 Q21
Q0 Q0Q2 Q0Q1 Q20
Wi WiQ2 WiQ1 WiQ0 Wi2
Vẳ mội phƯn tỷ cừa St3F(k) Ãu cõ dÔng P
sym
W2j1
1 · · ·W2jk
k nản Ôi lữủng
2j1 +· · ·+ 2jk l nhữ nhau vợi mồi hÔng tỷ W12j1 · · ·Wk2jk trong têng. Ta câ ành nghắa sau Ơy.
ành ngh¾a 2.2. Gi£ sûR =Qi00Qi11Qi22W1a1· · ·Wak
k l mët a thùc theo c¡c bi¸n
Q0, Q1, Q2, W1, . . . , Wk. Kỵ hiằu i0(R), i1(R), i2(R), a1(R), . . . , ak(R) lƯn lữủt l sè mô cõa Q0, Q1, Q2, W1, . . . , Wk trong R. °t
h(R) = i0(R) +i1(R) +i2(R) +a1(R) +· · ·+ak(R).
Kỵ hiằu bi (R) số nguyản khng Ơm nhọ nhĐt sao cho 2(R) khng xuĐt hiằn trong khai trin nh phƠn cừa i2(R). Nõi cĂch kh¡c, i2(R) ≡ 2σ(R) − 1 mod 2σ(R)+1.
Mội phƯn tỷ dÔng Qi00Qi11Qi22 P
symW
2j1
1 · · ·Wk2jk trong R3F(k) ÷đc gåi l mët R3F(k)-ìn thùc. Gi£ sû T l mët R3F(k)-ìn thùc, ta nh nghắa
Chữỡng II. TĂc ng ca ễi s Steenrod ln R3F(k)
Bê · 2.3 ([9, Bê · 3.3]). Gi£ sû R l mët R3F(k)-ìn thùc v i l mët sè nguyản khổng m. (a) Náu h(R) i = 1 thẳ Sq4i(R) =RQi2+XS,
trong ừ mi hễng tS l mởtR3F(k)-ỡn thực thọa mÂni2(S)< i2(R)+i. (b) Náu i > i1(R) th¼
Sqi(R) =XS +XT,
trong â méi S l mët R3F(k)-ìn thùc thäa m¢n i2(S)< i2(R), v méi T
l mët R3F(k)-ìn thùc thäa m¢n
h(R)< h(T)≤h(R) + i
4.
Chùng minh. (a) Gi£ sû
R =Qi00Qi11Qi22 X sym W12j1 · · ·Wk2jk l mët R3F(k)-ìn thùc. Ta câ Sq4iR =X sym Sq4i Qi00Qi11Qi22W12j1 · · ·Wk2jk,
ð ¥y tờng ữủc lĐy ối xựng theo cĂc bián W1, . . . , Wk.
Theo M»nh · 2.1, n¸uX l mët trong cĂc bĐt bián Q0, Q1, Q2, W1, . . . , Wk
th¼
Sq4X =XQ2.
Do â, sû dưng cỉng thùc Cartan ta thu ÷đc
Sq4i(R) = h(R) i RQi2+XS,
trong â méi S l mët R3F(k)-ìn thùc thäa m¢n i2(S)< i2(R) +i. (b) Gi£ sû R =Qi00Qi11Qi22 X sym W12j1 · · ·Wk2jk l mët R3F(k)-ìn thùc. Ta vi¸t méi a thùc K =Qi00Qi11Qi22W2 j 1 1 · · ·W2 j k k dữợi dÔng K =K1· · ·Kh,
trong âh =h(K) v Kp l mët trong cĂc bĐt bián Q0, Q1, Q2, W1, . . . , Wk
vỵi 1 ≤p≤h. Sû dưng cỉng thùc Cartan v M»nh · 2.1 ta câ
Sqi(K) = X t1+···+th=i Sqt1(K1)· · ·Sqth(Kh) = X h(S)=h(K) S+ X h(T)>h(K) T.
V¼degQ2 = 4l nhọ nhĐt trong số bêc cừa cĂc a thùcQ0, Q1, Q2, W1, . . . , Wk
n¶n ta câ
h(K)< h(T)≤h(K) + i
4,
vỵi måi T trong têng.
Xt mởt hÔng tỷ tũy ỵ S = Sqt1(K1)· · ·Sqth(Kh) trong tờng. Vẳ h(S) = h(K) nản ta cõ tp = 0 vỵi måi p m Kp l mởt trong cĂc bĐt bián
Q0, W1, . . . , Wk. Gi£ sû rơng i2(S) i2(K). Khi õ i2(S) = i2(K) vẳ
h(S) = h(K). Theo M»nh · 2.1, jp = 0 vỵi måi p m Kp = Q2. Nhữ
thá jp ch¿ câ thº kh¡c khỉng trong tr÷íng hđp Kp = Q1. Hìn nỳa, vẳ
h(S) = h(K) v theo Mằnh à 2.1, náu jp 6= 0 th¼ jp = 1. Do â,
i =t1+· · ·+th ≤i1(K).
i·u ny mƠu thuăn vợi giÊ thiát i < i1(R) (v¼ i1(R) =i1(K)). Ci cịng, tø h» thùc
SqiR =X
sym
Sqi Qi00Qi11Qi22W12j1 · · ·Wk2jk
ta câ i·u c¦n chùng minh.
Bê · 2.4 ([9, Bê · 3.4]). Gi£ sû R l mët R3F(k)-ìn thùc v n l mët sè nguy¶n dữỡng thọa mÂn i2(R) ≡2n−1 (mod 2n) v h(R)
2n−1 = 0. Khi â R = Sq2n+1(RQi2(R)−2 n−1 2 ) +XS,
trong â R :=R/Qi22(R) v méi S l mët R3F(k)-ìn thùc thäa m¢n σ(S)< n. Chùng minh. Ta câ
h(R) =h(RQi2(R)2 ) =h(R) +i2(R) ≡ h(R) + 2n−1 (mod 2n).
Chữỡng II. TĂc ởng cừa Ôi số Steenrod lản R3F(k) Do â h(RQ22n−1−1) 2n−1 = h(R) + 2n−1−1 2n−1 = h(R)−2n−1 2n−1 = 1.
p döng Bê · 2.3 (a) cho RQ22n−1−1 v i= 2n−1 ta thu ÷đc
Sq2n+1(RQ22n−1−1) =RQ22n−1+XS0,
trong â méi S0 l mởt R3F(k)-ỡn thực thọa mÂn
i2(S0)< i2(RQ22n11) + 2n1 = 2n1.
BĐt ¯ng thùc n y k²o theo σ(S0) < n.
°t a:=i2(R)−(2n −1)≡ 0 (mod 2n). Theo cæng thùc Cartan v M»nh · 2.1 ta câ
Sq2n+1 RQi22(R)−2n−1= Sq2n+1(RQ22n−1−1Qa2)
= Sq2n+1(RQ22n−1−1)Qa2+RQ22n−1−1Sq2n+1(Qa2) = RQ22n−1+XS0Q2a +RQ22n−1−1Sq2n+1(Qa2)
=R+XS0Qa2+RQ22n−1−1Sq2n+1(Qa2),
trong õ mội hÔng t S0Qa2 thọa mÂn (S0Q2a) < n bi vẳ (S0) < n v a ≡ 0 (mod 2n). M°t kh¡c, ¡p dửng Mằnh à 2.1, náuSq2n+1(Qa2)6= 0 thẳ nõ khng chia hát cho Q2. Do â
σ RQ22n−1−1Sq2n+1(Qa2)=σ(Q22n−1−1) =n−1 < n.
Nõi tõm lÔi, ta câ thº vi¸t
R = Sq2n+1(RQi2(R)−2
n−1
2 ) +XS,
trong õ mội hễng t S thọa mÂn (S)< n. Bờ Ã ữc chựng minh.
Bê · 2.5 ([9, Bê · 3.5]). Gi£ sû R l mët R3F(k)-ìn thùc khỉng chia h¸t
cho Q2, cán n v i l cĂc số nguyản dữỡng thọa m¢n
h(R)≡ 0 (mod 2n), i1(R)≤2n −1, 2n ≤ i ≤2n+1.
Khi â
Sqi(RQ22n−1) =XS+XT,
trong õ mội hƠng tỷ S l mët R3F(k)-ìn thùc thäa m¢n σ(S) < n, cán mội hƠng tỷT l mëtR3F(k)-ìn thùc thäa m¢n i2(T)≡ 2n−1 (mod 2n)v h(T)
2n−1
= 0.
Chùng minh. Theo gi£ thi¸t ta câ
i≥ 2n >2n −1≥ i1(R) = i1(RQ22n−1).
p dưng Bê · 2.3 (b) cho RQ22n−1 v i ta câ
Sqi(RQ22n−1) =XS+XT,
trong â méi S l mët R3F(k)-ìn thùc thäa m¢n i2(S)< i2(RQ22n−1) = 2n−1,
cán méi T l mët R3F(k)-ìn thùc thọa mÂn
h(RQ22n1)< h(T)h(RQ22n1) + i
4.
Vi mội S trong tờng, vẳ i2(S) <2n−1 n¶n σ(S)< n. Cán vỵi méi T trong têng ta câ
h(RQ22n−1) =h(R) + 2n−1< h(T) ≤ h(R) + 2n −1 + i
4≤ h(R) + 2n + (2n−1−1). ≤ h(R) + 2n + (2n−1−1).
Suy ra h(R) + 2n ≤ h(T)≤ h(R) + 2n + (2n−1−1). Kát hủp iÃu ny vợi giÊ thi¸t h(R)≡0 (mod 2n), ta thu ÷đc
h(T) 2n−1
= 0.
Ci cịng, gi£ sû i2(T) = 2n −1 +b, trong â b l mët số nguyản. Náu b≡ 0 (mod 2n) th¼ i2(T)≡2n −1 (mod 2n).
Ngữủc lƠi, náu b 6≡ 0 (mod 2n) th¼ σ(T) < n. Nh thỏ T ữc xem nhữ mởt phƯn tỷ trong têng P
Ch֓ng III