1 Chựng minh nh lỵ chẵnh
Bờ à dữợi Ơy tữỡng ữỡng vợi Bờ à 2.5 trong [8]. é Ơy, chúng tỉi tr¼nh b y mët chùng minh khĂc vợi chựng minh  cõ trong [8].
Bờ à 1.1. Vợi mồi số nguyản d÷ìng s,
H∗(Ps; Sq1) = 0.
Chựng minh. Ta cõ phƠn tẵch cĂc Sq1-module
Ps =F2⊕Ps,
ð ¥y F2 l Sq1-module tƯm thữớng. Do õ
H∗(Ps; Sq1) =H∗(F2; Sq1)⊕H∗(Ps; Sq1).
Vẳ thá, º chùng minh bê ·, ta ch cƯn ch ra rơngH(Ps; Sq1) =H(F2; Sq1) =
F2.
Nhờn xt rơng, theo cổng thực Cartan, ta câ ¯ng c§u c¡c Sq1-module:
Ps=P1⊗ · · · ⊗P1 (s l¦n).
(Nhên xt rơng iÃu ny khổng óng n¸u thay Ps bði Ps v P1 bði P1. õ l lỵ
do ta ph£i chuyºn tø Ps sang Ps.) Tø â, theo cæng thùc Kunneth ¡p dưng cho h» sè trong tr÷íng F2, ta câ
H∗(Ps;Sq1) = H∗(P1; Sq1)⊗ · · · ⊗H∗(P1; Sq1), (s l¦n).
Do â, sü ki»n H∗(Ps; Sq1) = F2 ữủc quy và ng thực õ vợi s = 1. Tø cæng thùc Cartan, mồi ngữới Ãu biát rơng
Sq1xk = k 1 xk+1.
D¹ d ng suy ra trong P1:
Ker(Sq1) = Span{xk |k chđn, k 0},Im(Sq1) = Span{xk |k chđn>0}.
Kát quÊ l,
H(P1;Sq1) = Span{xk|k chđn, k 0}
Span{xk|k chđn>0} =F2.
Mằnh à ữc chùng minh.
Bê · tr¶n câ thº xem l mởt trữớng hủp riảng cừa bờ Ã dữợi Ơy vỵiM =F2.
Bờ Ã 1.2. Vợi mồi số nguyản dữỡng s v vỵi måi mæun khæng ên ành M ta câ
H∗(Ps⊗M; Sq1) = 0.
Chùng minh. Theo quan h» Adem,Sq1 l mởt vi phƠn trảnA-module khæng ên ành b§t ký. Theo cỉng thùc Cartan, Ps⊗M vợi vi phƠn Sq1 l t½ch tensor cõa 2 module P3 v M cũng vợi vi phƠn Sq1. (Lỵ do: Sq0 = id tr¶n c£ Ps lăn M.)
Do â,
H∗(Ps⊗M; Sq1) =H∗(Ps; Sq1)⊗H∗(M,Sq1).
Theo Bê · 1.1 ta câ i·u ph£i chùng minh.
Bê · 1.3. Gi£ sûRl t½ch cừa cĂc phƠn tỷ phƠn biằt trong têp hủp{Q0, Q1, Q2}. Khi â
(a) R ∈Sq1P3+ Sq2P3;
(b) R P
sym
W12j1 · · ·Wk2jk∈Sq1(P3⊗F(k)) + Sq2(P3⊗F(k)). Chùng minh. (a) Ta câ theo [M»nh · 2.1(a),Ch÷ìng II]
Q0 = Sq1Q1, Q1 = Sq2Q2, Q0Q1 = Sq2(Q0Q2), Q0Q2 = Sq1(Sq4(Q1)).
Theo [8, Bê · B]
Q1Q2 = Sq1(A) + Sq2(B) vỵi A, B ∈ P3.
V¼ Sq1Q2 = 0 n¶n theo [8, Bê · 2.5] ta câ
Q2 = Sq1C vỵi C ∈ P3.
Cuèi còng,
Q0Q1Q2 =Q0 Sq1(A) + Sq2(B) = Sq1(Q0A) + Sq2(Q0B).
Chữỡng III. Chựng minh nh lỵ chẵnh (b) Lữu ỵ rơng Sq1 X sym W12j1 · · ·Wk2jk = 0 v Sq2 X sym W12j1 · · ·Wk2jk= 0.
Do â, ¡p dưng ph¦n (a) ta câ i·u ph£i chùng minh.
Bờ Ã dữợi Ơy õng mởt vai trỏ thiát yáu trong chựng minh nh lỵ ch½nh. Chùng minh cõa Bê · ny ữủc dnh riảng mửc sau.
Bê · 1.4 ([9, Bê · 4.2]). Gi£ sû R l mët R3F(k)-ìn thùc , u 6= 1 l mởt phƯn tỷ tũy ỵ trong P3, v n l mởt số nguyản dng.
(a) Náu (R)< n thẳ Ru2n A(P3F(k)). (b) Náu i2(R) 2n1 (mod 2n) v h(R) 2n1 = 0 thẳ Ru2n A(P3F(k)). (c) Náu i2(R) = 2n−1≥ i1(R), h(R)≡ 2n−1 (mod 2n) v u∈ Sq1P3+ Sq2P3 th¼ Ru2n ∈A(P3⊗F(k)). Chùng minh ành lỵ chẵnh. GiÊ sỷ R = Qi00Qi11Qi22 P W12j1 · · ·Wk2jk l mët R3F(k)-ìn thùc. Ta ph£i chùng minh R ∈A(P3⊗F(k)). Ta chia th nh c¡c tr÷íng hđp sau. 1 Qi00Qi11Qi22 = 1. Khi â R =X sym W12j1 · · ·Wk2jk =f + 1⊗(X sym u21j1· · ·u2kjk)8, trong â f =P i ai⊗xi∈ P3⊗F(k) v c¡c ai ·u câ bªc dữỡng. Ta biát rơng Sq1R = 0 v Sq1 1⊗(P sym u2j1 1 · · ·u2jk k )8 = 0. Do â Sq1f = 0.
Theo Bê · 1.2 ta câ
M°t kh¡c, n¸u °t d = 2j1 +· · ·+ 2jk th¼ 1⊗(X sym u21j1 · · ·uk2jk)8 = Sq4d 1⊗(X sym u21j1 · · ·u2kjk)4 ∈A(P3⊗F(k)). H» qu£ l R =X sym W12j1 · · ·Wk2jk ∈ A(P3⊗F(k)). 2 Qi00Qi11Qi22 6= 1.
°t σ(R) = n, tực l tỗn tÔi duy nhĐt mởt số nguyản khỉng ¥m k sao cho
i2(R) = 2n −1 +k2n+1.
(2.1) Xt trữớng hp k >0. Ta viát R di dƠng
R =R(Qk2)2n+1,
trong â R l mët R3F(k)-ìn thùc thäa m¢n σ(R) = n < n+ 1. p döng Bê · 1.4 (a) cho bë ba (R, Qk2, n+ 1) ta câ
R ∈ A(P3⊗F(k)).
(2.2) X²t tr÷íng hđp k = 0. Ta xt cĂc trữớng hủp con dữợi Ơy. (2.2.1) i0(R)≥ 2n+1 ho°c i1(R)≥ 2n+1.
Ta vi¸t R dữợi dƠng
R =RA2n+1,
trong â A =Q0 ho°c A= Q1 tòy theo i0(R)≥ 2n+1 hay i1(R) ≥ 2n+1, cán R l mët R3F(k)-ìn thùc thäa m¢n σ(R) =n < n+ 1.
p döng Bê · 1.4 (a) cho bë ba (R, A, n+ 1) ta câ
R ∈A(P3⊗F(k)). (2.2.2) i0(R) ≤2n+1−1 v i1(R)≤ 2n+1−1; i0(R)≥ 2n ho°c i1(R)≥ 2n . Ta chia th nh ba trữớng hủp con. ã n = 0 . p döng Bê · 1.3 (b) ta câ R ∈A(P3⊗F(k)). • n >0 v tỗn tƠi m vỵi 0 < m≤n v h(R) 2m−1 = 0. Ta vi¸t R =RA2m,
Chữỡng III. Chựng minh nh lỵ chẵnh
trong âA=Q0 ho°cA =Q1 tịy theoi0(R) ≥2n hayi1(R)≥ 2n, cán R l mët R3F(k)-ìn thùc thäa m¢n i2(R) ≡ 2m −1 (mod 2m) v h(R) 2m−1 = h(R)−22m−1m = 2h(R)m−1 = 0. p dưng Bê · 1.4 (b), ta câ R ∈A(P3⊗F(k)). • n >0 v h(R) 2m−1
= 1 vỵi måi m thäa m¢n 0< m ≤n. Ta câ
h(R) ≡2n−1 (mod 2n).
Ta vi¸t R dữợi dƠng
R =Rv2n,
trong â v l t½ch phƠn biằt cừa cĂc phƯn tỷ trong têp hủp
{Q0, Q1}, v Rl mëtR3F(k)-ìn thùc thäa m¢ni0(R, i1(R), i2(R)
·u ≤2n −1. Chú ỵ rơng
i2(R) =i2(R)−2ni2(v) = 2n −1≥ i1(R),
h(R) =h(R)−2nh(v)≡ 2n −1 (mod 2n).
Theo Bê · 1.3 (a) ta câ v ∈ Sq1P3+ Sq2P3. p döng Bê ·
1.4 (c) cho bë ba (R, v, n) ta câ
R ∈A(P3⊗F(k)).
(2.2.3) i0(R)≤ 2n −1 v i1(R)≤2n −1.
N¸u n = 0 thẳ ta quay lÔi 1 . Do â sau ¥y ta ch¿ x²t n ≥ 1.
• n=1. Khi â, ¡p dưng Bê · 1.4 (b) ta câ
R ∈A(P3⊗F(k)). • n ≥2 v tỗn tÔi m vỵi 0< m < n v h(R)
2m1
= 0. Hin nhiản l i2(R) 2m1 (mod 2m).
Ta viát R =RQ22m, trong â R l mët RF3(k)-ìn thùc thäa m¢n h(R) 2m−1 = h(R)−2m 2m−1 = h(R) 2m−1 = 0, v i2(R) = 2n−1−2m ≡2m−1 (mod 2m).
p döng Bê · 1.4 (b) cho bë ba (R, Q2, m) ta câ
ã n ≥2 v h(R)
2m−1
= 1 vỵi måi m thäa m¢n 0 < m < n. Khi Đy,
h(R)2n11 (mod 2n1).
Ta viát R di dễng
R =Ru2n−1,
trong â u l tẵch phƠn biằt cừa cĂc phƯn tỷ trong têp hủp
{Q0, Q1, Q2}, cán R l mët R3F(k)−ìn thùc thäa m¢n
i2(R) = i2(R)−2n−1i2(u) = 2n−1−2n−1 = 2n−1−1≥i1(R),
h(R) = h(R)−2n−1h(u)≡ 2n−1−1 (mod 2n−1).
Theo Bê · 1.3 (a), ta câ u∈ Sq1P3+ Sq2P3. p döng Bê ·
1.4 (c) cho bë ba (R, u, n−1) ta câ
R ∈A(P3⊗F(k)).
nh lỵ chẵnh ữủc chựng minh ho n to n.