Trong phƯn ny ta trẳnh by mởt chựng minh cho Bê · 1.4. Bờ Ã ữủc chựng minh bơng quy nÔp. Trữớng hủp khi Ưu l kát quÊ dữợi ¥y, mët mð rëng cõa Bê · 5.1 trong [9].
Bê · 2.1. Gi£ sû R l mët R3F(k)-ìn thùc vỵi σ(R) = 0, v u 6= 1 l mởt phƯn tỷ tũy ỵ trong P3. Khi â
Ru2 ∈ Sq1(P3⊗F(k)) + Sq2(P3⊗F(k)).
Chùng minh. Ta chia thnh hai trữớng hp. 1 i1(R) 0 (mod 2).
Ta viát R dữợi dÔng
R =Qi00Qi11Qi22 X sym W12j1 · · ·Wk2jk. Suy ra Ru2 =Qi00Qi11Qi22u2 X sym W12j1 · · ·Wk2jk.
Ch÷ìng III. Chùng minh nh lỵ chẵnh
Vẳ Sq1(Qi00Qi11Qi22u2) = 0 n¶n theo [8, Bê · 2.5] ta câ
Qi00Qi11Qi22u2 = Sq1(A) vỵi A ∈P3. Nhữ vêy Ru2 = Sq1(A) X sym W12j1 · · ·Wk2jk= Sq1A X sym W12j1 · · ·Wk2jk. 2 i1(R) ≡ 1 (mod 2). °t S = R/Q1Qi22, vỵi i2 = i2(R). Vẳ (R) = 0 nản i2(R) l chđn. Do õ ta câ Ru2 =SQi22u2Q1 =SQi22u2Sq2(Q2) = Sq2(SQi22+1u2) + Sq2(SQi22u2)Q2 = Sq2(SQi22+1u2) + Sq2(Su2)Qi2+12 . Ta câ Sq2(Su2) = Sq2(S)u2+S(Sq1u)2.
Chú ỵ rơng i1(S) =i1(Sq2S)≡ 0 (mod 2). N¶n theo 1 ta câ
Sq2(Su2) = Sq1v vỵi v ∈ P3⊗F(k).
Nhữ vêy
Sq2(Su2)Qi2+12 = Sq1(v)Qi2+12 = Sq1(vQi22+1).
Bê · ÷đc chùng minh.
BƠy giớ, ta trẳnh by chựng minh cho Bê · 1.4. Chùng minh ữc chia lm ba bc.
1 Náu Bờ Ã 1.4 (a) v Bê · 1.4 (b) óng vỵi måi n ≤ N thẳ Bờ Ã 1.4 (c) cng vêy.
GiÊ sỷ u= Sq1v1+ Sq2v2 vỵi v1, v2 ∈ P3. Ta câ
Ru2n =R(Sq1v1+ Sq2v2)2n =R(Sq1v1)2n +R(Sq2v2)2n
=Sq2n(Rv21n) + Sq2n(R)v21n+Sq2n+1(Rv22n) + Sq2n(R)(Sq1v2)2n + Sq2n+1(R)v22n =Sq2n(Rv21n) + Sq2n+1(Rv22n) + Sq2n(R)(Sq1v2)2n+ Sq2n(R)v12n + Sq2n+1(R)v22n.
Chú ỵ rơng
Sq2n(R)(Sq1v2)2n = Sq2nR(Sq1v2)2n+R(Sq1Sq1v2)2n = Sq2nR(Sq1v2)2n.
Do â,
Ru2n + Sq2n(R)v21n + Sq2n+1(R)v22n ∈A(P3⊗F(k)).
°t R := R/Q22n−1. Hiºn nhi¶n R l mët R3F(k)-ìn thùc khỉng chia h¸t cho Q2 vỵi h(R) = h(R)−(2n −1)≡ 0 (mod 2n) v i1(R) =i1(R) ≤2n−1.
p dưng [Bê · 2.3, Ch÷ìng II] ta thu ÷đc
Sq2n(R) = Sq2n(RQ22n−1) =XS1+XT1,
Sq2n+1(R) = Sq2n+1(RQ22n−1) =XS2+XT2,
trong õ mội hÔng tỷ S1 hay S2 l mët R3F(k)-ìn thùc thäa m¢n σ(S1) < n
v σ(S2)< n, cỏn mội hÔng tỷ T1 hay T2 l mët R3F(k)-ìn thùc vỵi i2(T1) ≡ i2(T2)≡2n −1 (mod 2n) v h(T1) 2n−1 = h(T22n−1) = 0. Do â Ru2n +XSv12n +XS2v22n +XT1v12n +XT2v22n ∈A(P3⊗F(k)).
Theo giû thi¸t, Bê · 1.4 (a) óng vỵi c¡c bở ba (S1, v1, n) v (S2, v2, n); nhữ thá S1v12n v S2v22n ·u thc A(P3⊗F(k)).
T÷ìng tü, Bê · 1.4 (b) óng cho c¡c bë ba (T1, v1, n) v (T2, v2, n) cho n¶n
T1v12n v T2v22n ·u thuëc A(P3⊗F(k)). Nõi từm lễi,
Ru2n A(P3F(k)).
Bc 1 ữc chựng minh.
2 Náu Bờ · 1.4 (a) óng vỵi måi n ≤N th¼ Bê Ã 1.4 (b) cng vêy. p dng [Bờ Ã 2.2, Chữỡng II] ta câ
R = Sq2n+1 RQi2(R)−22 n−1+XS,
trong âR :=R/Qi22(R) v méi S trong têng l mët R3F(k)-ìn thùc thäa m¢n
σ(S)< n. Do â
Ru2n = Sq2n+1 RQ2i2(R)−2n−1u2n +XSu2n.
V¼ σ(S) < n n¶n ¡p dưng Bê · 1.4 (a) cho bë ba (S, u, n) ta câ Su2n ∈ A(P3⊗F(k)) vỵi måi S trong têng.
Chữỡng III. Chựng minh nh lỵ chẵnh °t R1 :=RQi2(R)−2
n−1
2 . Theo cæng thùc Cartan ta câ
Sq2n+1(R1)u2n = Sq2n+1(R1u2n) + Sq2n(R1)(Sq1u)2n +R1(Sq2u)2n = Sq2n+1(R1u2n) + Sq2nR1(Sq1u)2n+R1(Sq1Sq1u)2n +R1(Sq2u)2n = Sq2n+1(R1u2n) + Sq2nR1(Sq1u)2n+R1(Sq2u)2n. Vẳ vêy Sq2n+1(R1u2n) +R1(Sq2u)2n ∈A(P3⊗F(k)). Ta câ σ(R1) =σ(Qi2(R)−2 n−1
2 ) = n−1< n. Do â ¡p döng Bê · 1.4 (a) ta câ
R1(Sq2u)2n ∈A(P3⊗F(k)).
Tâm lÔi
Ru2n = Sq2n+1(R1)u2n +XSu2n ∈A(P3⊗F(k)).
Bữợc 2 ữủc chựng minh xong. 3 Bê · 1.4(a) óng vỵi måi n.
Khng nh ny ữủc chựng minh bơng quy nÔp theo n.
Vỵi n = 1, tø gi£ thi¸t σ(R)<1 ta câ σ(R) = 0. p döng Bê · 2.1 ta câ
Ru2 ∈ Sq1(P3⊗F(k)) + Sq2(P3⊗F(k)).
Do â, Bê · 1.4 (a) óng vỵi n = 1.
B¥y gií x²t n > 1, gi£ sû Bê · 1.4 (a) úng vợi tĐt cÊ cĂc giĂ tr nhọ hỡn
n. Theo Bữợc 1 v Bữợc 2, Bờ à 1.4 (b) v Bê · 1.4 (c) cụng úng vợi tĐt c£ c¡c gi¡ trà b² hìn n. Ta x²t ba tr÷íng hđp sau.
ã Trữớng hủp 1. σ(R) = 0. Theo Bê · 2.1, ta cõ
Ru2n =R(u2n1)2 A(P3F(k)).
ã Trữớng hp 2. Tn tễi mởt số nguyản m vỵi 0≤m < σ(R) v h(R)
2m
= 0. Kát hủp vợi sü ki»n m < σ(R)< n v i2(R) ≡ 2σ(R) −1 (mod 2σ(R)+1), ta câ m+ 1< n v i2(R) ≡2m+1−1 (mod 2m+1).
V¼ m+ 1 < n v theo giÊ thiát quy nƠp, Ăp dưng Bê · 1.4 (b) cho bë ba
(R, u2n−m−1, m+ 1) ta câ
ã Trữớng hñp 3. σ(R)> 0 v h(R)
2m
= 1 vỵi måi m thäa m¢n 0≤ m < σ(R). Khi â h(R)≡2σ(R)−1 (mod 2σ(R)).
Kỵ hiằu p:=σ(R). Ta vi¸t R duy nhĐt dữợi dƠng
R =RS2p,
trong âR l mëtR3F(k)-ìn thùc vỵi i0(R), i1(R) ≤2p−1, i2(R) = 2p−1, cán S l mët ìn thùc theo c¡c bi¸n Q0, Q1, Q2 thäa m¢n σ(S) = 0.
p dưng Bê · 2.1 cho S v v :=u2n−p−1 6= 1, ta thu ÷đc
Sv2 ∈A(P3⊗F(k)).
M°t kh¡c,
h(R) =h(R)−2ph(S) ≡2p−1 (mod 2p),
i2(R) = 2p−1≥i1(R).
Sû döng gi£ thiát quy nÔp cũng vợi p = σ(R) < n, ta ¡p döng Bê · 1.4 (c) cho bë ba (R, Sv2, p) ta thu ÷đc
Ru2n = R(Sv2)2p ∈ A(P3⊗F(k)).