3 Tính chất tơpơ của tập nghiệm của bài tốn quan hệ biến phân
3.3 Tính đóng của tập nghiệm
Định nghĩa 3.3.1. Ánh xạ đa trị S trên không gian metric (M, d) được gọi là
co nếu có một số α,0< α <1 sao cho với mọi u, v ∈M thì
max ( sup x∈S(u) d(x, S(v)); sup y∈S(v) d(y, S(u)) ) ≤αd(u, v).
Mệnh đề 3.3.1. Bài tốn (VR) có nhiều nhất một nghiệm nếu hoặc là A là không gian metric và S1 là co, hoặc là các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) K ⊆S2(x) với mọi x là điểm bất động của S1.
(ii) R là phản xứng trên K, nghĩa là, nếu a, b ∈ K với a 6= b và R(a, b, y) đúng với mọi y∈T(a, b) thì R(b, a, y) khơng đúng với mỗi y∈T(b, a).
Chứng minh. Do S1 là co, nên theo ngun lí ánh xạ co thì nó có duy nhất một điểm bất động, vì vậy bài tốn (VR) khơng thể có nhiều hơn một nghiệm.
Giả sử ta có điều kiện (i), (ii) và a1, a2 là hai nghiệm của bài toán (VR). Khi ấy, a1 và a2 đều là điểm bất động của ánh xạ S1.
Theo điều kiện (i) a1 ∈ S2(a2), a2 ∈ S2(a1). Do đó R(a1, a2, y) đúng với mọi y ∈
T(a1, a2)và R(a2, a1, y)đúng với mọiy∈T(a2, a1). Theo điều kiện (ii), nghiệma1 trùng với a2. Vậy bài tốn (VR) có nhiều nhất một nghiệm.
Nhận xét 3.3.1. Tính phản xứng của quan hệ R có thể được bảo đảm, chẳng hạn khi R được xác định bởi một bất đẳng thức chặt của hàm thực, hoặc bao hàm thức chặt của ánh xạ đa trị. Vì vậy,
• Cho f là một hàm thực trên A×B. Quan hệ R(a, b, y) đúng với a 6=b nếu f(a)< f(b). Khi ấy quan hệ R là phản xứng.
• F là một ánh xạ đa trị từ A×B vào Z. Quan hệ R(a, b, y) đúng với a 6=b nếu và chỉ nếuF(a)⊂F(b)và F(a)6=F(b).Khi ấy quan hệ R là phản xứng. Dưới đây là ví dụ của một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân về sự ràng buộc giữa quan hệ phản xứng và tính đơn điệu chặt của tốn tử.
Ví dụ 3.3.1. Xét bài tốn bất đẳng thức biến phân Stampacchia (xem Ví dụ 3.2.1) thì quan hệ R là phản xứng nếu toán tử f là đơn điệu chặt, tức là
hf(x)−f(y), x−yi>0, x6=y.
Thật vậy, giả sử f là đơn điệu chặt nên hf(x)−f(y), x−yi>0, x6=y. Suy ra,
hf(y), x−yi<hf(x), x−yi=− hf(x), y−xi ≤0.
Do đó, quan hệ R(y, b, x) không đúng. Vậy R là phản xứng.
Định nghĩa 3.3.2. Giả sử A, B và Y là các không gian tơpơ. Quan hệ R được gọi làđóng nếu tập xác định nó là đóng trong khơng gian tíchA×B×Y. Điều đó thường xảy ra trong trường hợp khi R được xác định bởi bất đẳng thức không chặt của hàm thực liên tục và bao hàm thức không chặt của ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 3.3.3. Quan hệ R được gọi làđóng với biến thứ nhất khi R(aν, b, y) đúng với mọi ν và aν hội tụ đến a thì R(a, b, y) cũng đúng với b, y cố định.
Tiếp theo ta trình bày hai mệnh đề cho tính đóng của tập nghiệm.
Mệnh đề 3.3.2. Tập nghiệm Σ là đóng nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(1) S1 là đóng;
(2) S2 là inner-liên tục;
(3) T là inner-liên tục;
(4) R là đóng.
Chứng minh. Giả sử {aν} là một lưới các nghiệm của bài toán (VR) hội tụ tới a∈A.Ta sẽ chứng minh a là một nghiệm của bài tốn (VR).Thật vậy, theo điều kiện (1) ta có ngay a ∈ K. Theo điều kiện (2) và (3), ta có với mọi b ∈ S2(a),
y∈T(a, b) có thể tìm được một lưới bν ∈S2(aν) hội tụ tới b và yν ∈T(aν, bν) hội tụ tới y. Suy ra, R(aν, bν, yν) là đúng. Theo điều kiện (4), R đóng nên R(a, b, y) cũng đúng, tức là a∈Γ. Vì vậy, a∈Σ = K∩Γ. Vậy Σ là đóng.
Tính đóng của tập nghiệm có thể thu được khi làm nhẹ điều kiện (3) và (4), nhưng điều kiện (2) mạnh lên.
Mệnh đề 3.3.3. Tập nghiệm Σ là đóng nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(2) S2 có giá trị nghịch đảo mở;
(3) T là inner-liên tục theo biến thứ nhất;
(4) R là đóng theo biến thứ nhất và thứ ba.
Chứng minh. Giả sử {aν} là một lưới của các nghiệm của bài toán (VR) hội tụ tới a∈X. Ta sẽ chỉ ra giới hạn này là một nghiệm của bài toán (VR). Lấy phần tử bất kì b∈B. Từ điều kiện (2), tập A\S2−1(b) là đóng và từ điều kiện (1), tập K là đóng.
Tiếp theo chúng ta sẽ đi chứng minh PR(b) là đóng. Thật vậy, giả sử {aν} là một lưới của tất cả các phần tử của PR(b) hội tụ tới a ∈ A. Lấy phần tử bất kì y ∈T(a, b), theo điều kiện (3) có yν ∈T(aν, b) hội tụ tới y. Do đó, R(aν, b, yν)
thỏa mãn. Theo (4), ta có R(a, b, y) thỏa mãn. Suy ra, a ∈ PR(b), nên PR(b) là đóng. Vì vậy, P(b) đóng với mọi b ∈B và theo cơng thức (3.2) ta có tập nghiệm
Σ là đóng.