3 Tính chất tơpơ của tập nghiệm của bài tốn quan hệ biến phân
3.5 Các trường hợp đặc biệt
3.5.2 Bài toán tựa cân bằng
Cho Λ và X là hai không gian tôpô và C là tập con đóng của khơng gian véctơ tơpơ Z có phần trong khác rỗng. Giả sử S, G:X ⇒ X và F : X×X ⇒ Z là các ánh xạ đa trị. Chúng ta xét bài tốn (QEP) đã được phát biểu trong Ví dụ (2.1.6).
Hệ quả 3.5.4. Giả sử các điều kiện sau là đúng:
(1) Sλ(x) là inner-liên tục và clSλ(x) là outer-liên tục trong các biến (λ, x) tại
()λ0, x0) với x0 ∈K;
(2) Gλ(x) là inner-liên tục tại (λ0, x0) với x0 ∈K;
Khi đó, tập nghiệm Σλ của bài toán (QEP) là outer-liên tục tại λ0.
Chứng minh. Áp dụng trực tiếp Định lí (3.4.2).
Hệ quả 3.5.5. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn:
(1) Kλ là inner liên tục tại λ0.
(2) S2λ(x) là outer-liên tục với giá trị compact tại (λ0, x0) với x0 ∈K.
(3) Gλ(x) là usc với giá trị compact tại (λ0, x0) với x0 ∈K.
(4) F(b, y)⊆ Z\ −intC khi λν hội tụ tới λ0, xν ∈A, bν ∈ Sλν(xν) và yν ∈ G(xν)
tương ứng hội tụ tới x, b và y sao cho Fλν(bν, yν)⊆Z\ −intC.
Khi đó tập nghiệm Σλ của bài tốn (QEP) là inner-liên tục tại λ0.
Chứng minh. Áp dụng trực tiếp Định lí (3.4.4).
Tiếp tục ta xét bài tốn (QEP0) đã được trình bày trong Ví dụ (2.1.6).
Hệ quả 3.5.6. Giả sử bài tốn (QEP0) có
(1) Sλ(x) là outer-liên tục và có giá trị compact trong {λ0} ×A;
(2) Tập W là mở tại (λ0, x, b) với x∈Γ và b ∈S(x):
W ={(λ, x, b)∈Λ×A×A:F(λ, x, b)∈/Z\ −intC(λ, x)}.
Khi đó, Σλ là outer-liên tục tại λ0.
Cuối cùng ta xét đến bài toán bổ trợ của bài toán (QEP0) là bài toán (QEP0∗)
đã được phát biểu trong Ví dụ (2.1.6). Tương tự như trường hợp của các bao hàm thức biến phân, tính ổn định của bài tốn bổ trợ này kéo theo tính ổn định của bài toán (QEP0) dưới một điều kiện phù hợp.
Hệ quả 3.5.7. Giả sử bài tốn (QEP0∗) có nghiệm và các điều kiện sau là đúng:
(1) Kλ là inner-liên tục tại λ0;
(2) Sλ(x) là nửa liên tục trên và có giá tri compact tại (λ0, x0) với mỗi x0 ∈A;
(3) Tập
(λ, x, b)∈Λ×A×A :Fλ(x, b)∈Z −clCλ(x) là mở tại (λ0, x, b) với mỗi x, b∈A;
Khi đó, các ánh xạ đa trị Σλ∗ và Σλ là inner-liên tục tại λ0.
Chứng minh. Với x∈Γ và b ∈S(x), xét tập
U =(λ, x, b)∈Λ×A×A :Fλ(x, b)∈/ Z\ −clCλ(x) .
Từ điều kiện (2) và (3) thì tập Ux là đóng. Vì vậy theo khẳng định (4) của Hệ quả (3.4.3), ánh xạ nghiệm λ →Σλ∗ là inner-liên tục tại λ0. Vì điều kiện (4) nên ánh xạ nghiệm λ→Σλ là inner-liên tục.
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày một số vấn đề sau:
- Trình bày một số kiến thức về giải tích hàm, khái niệm ánh xạ đa trị, các phép toán của ánh xạ đa trị và tính liên tục của ánh xạ đa trị.
- Phát biểu bài toán quan hệ biến phân và một số mơ hình bài tốn cụ thể, chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân dựa trên lý thuyết tương giao KKM và một số định lí về điểm bất động.
- Trình bày chứng minh một số tính chất tơpơ của tập nghiệm như tính lồi, tính bị chặn, tính đóng và tính ổn định... Ngồi ra, trình bày một số bài toán cụ thể của bài tốn quan hệ biến phân có tham số.
Bài tốn quan hệ biến phân cịn nhiều kết quả phong phú và nhiều câu hỏi mở chưa được trình bày trong luận văn này. Vì vậy, theo chúng tơi, bài tốn quan hệ biến phân là một đề tài cịn nhiều điều thú vị có thể khai thác.
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu Tiếng Việt
[1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà
Nội.
[2] Nguyễn Đơng n (2007), Giáo trình giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự
nhiên và Công nghệ. [B] Tài liệu Tiếng Anh
[3] J. P. Aubin and H. Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Springer, New
York.
[4] P. Q. Khanh and D. T. Luc (2008), Stability of Solutions in Parametric Variational Relation Problems, Set-Valued Anal, 16, 1015-1035.
[5] D. T. Luc (2008), An Abstract Problem in Variational Analysis, J. Optim.
Theory Appl. 138, 65 - 76.
[6] B. S. Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differen- tiation I: Basic Theory, Springer, 331.