3 Tính chất tơpơ của tập nghiệm của bài tốn quan hệ biến phân
3.4 Tính ổn định của tập nghiệm
Trong suốt mục này ta luôn coi Λ,A,B và Y là các không gian tôpô. Với mỗi λ ∈ Λ, ta giả sử Aλ ⊆ A, Bλ ⊆ B, Yλ ⊆ Y là các tập khác rỗng; S1λ : Aλ ⇒ Aλ, S2λ:Aλ ⇒ Bλ, Tλ:Aλ×Bλ ⇒Yλ là các ánh xạ đa trị với các giá trị khác rỗng;
và Rλ(a, b, y) là quan hệ liên kết các phần tử a ∈ Aλ, b ∈ Bλ và y ∈ Yλ. Bài
tốn quan hệ biến phân với thơng sốAλ, Bλ, Yλ, S1λ, S2λ, Tλ và Rλ được kí hiệu là
(V R)λ. Các kí hiệu Σλ, Kλ,Γλ được định nghĩa như phần trước.
Phần này ta sẽ trình bày tính inner-liên tục và outer-liên tục cũng như tính inner-mở và outer-mở của tập nghiệmΣλ như một ánh xạ đa trị của biến λ theo [4].
Ta sẽ cố định giá trị λ0 ∈ Λ và để cho gọn ta kí hiệu bài tốn (VR)λ0 là bài tốn (VR), chẳng hạn, Kλ0 được kí hiệu là K.
Định lý 3.4.1. Ánh xạ đa trịΣλ là outer-mở tại λ0, nghĩa làlim supoλ→λ0Σλ ⊆Σ
nếu ánh xạ Kλ là outer-mở tại λ0 và lim supoλ→λ0Γλ∩K ⊆ Γ. Đặc biệt, khẳng định trên là đúng nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(1) lim supλ→λ0Aλ ⊆A
(2) Với mọi x∈A, x∈S1(x) khi x∈S1λv với lưới λv hội tụ tới λ0; (3) Với mọi x∈K,
(31) lim infλ→λ0S2λ(x)⊇S2(x);
(32) lim infλ→λ0,b0∈Sλ
2(x),b0→bTλ(x, b0)⊇T(x, b);
(33) R(x, b, y) đúng khi lưới λν hội tụ tới λ0, bν ∈ S2λν(x) hội tụ tới b và
yν ∈Tλν(x, bν) hội tụ đến y sao cho Rλν(x, bν, yν) đúng với mọi ν.
Chứng minh. Giả sử Kλ là outer-mở tại λ0 và
lim supoλ→λ0Γλ∩K ⊆Γ.
Theo khẳng định (1) của Mệnh đề (1.2.3) ta có Σλ=Kλ∩Γλ là outer-mở tại λ0. Bây giờ, giả sử có điều kiện (1)-(3), ta sẽ chỉ ra ánh xạ đa trị λ 7→ Kλ là outer-mở tại λ0. Thật vậy, lấy lim supoλ→λ0Kλ Khi đó theo định nghĩa có một lưới λν hội tụ tới λ0 và một lân cận V của x với V ⊆ Aλν và z ∈S1λν(z) với mọi z ∈ V. Từ điều kiện (1), ta có x ∈ A và từ điều kiện (2) ta có x ∈ S1(x), nên x∈K. Vì vậy, lim supoλ→λ0Kλ ⊆K, hayKλ là outer-mở.
Tiếp theo, giả sử x∈ K∩lim supoλ→λ0Kλ, thì có ít nhất lưới λν hội tụ tới λ0 và một lân cận V của x sao cho V ⊆Aλν và quan hệ
Rλν(z, b, y)đúng với mọiz ∈V, b∈S2λν(x) vày ∈Tλν(z, b).
Lấy b ∈ S2(x) và y ∈ T(a, b), thì theo điều kiện (31) và (32) có thể tìm được
bν ∈S2λν(x) và yν ∈Tλν(x, bν) tương ứng hội tụ đến b và y. Khi đó, Rλν(x, bν, yν)
đúng, và theo(33), R(x, b, y)cũng đúng nênx∈Γ.Vì thế,K∩lim supoλ→λ0Γλ ⊆Γ,
và theo khẳng định (1) của Mệnh đề (1.2.3) ta cóΣλ =Kλ∩Γλ là outer-mở.
Định lý 3.4.2. Ánh xạ Σλ là outer-liên tục tại λ0, nghĩa là lim supλ→λ0Σλ ⊆Σ,
nếu Kλ là outer-liên tục tại λ0 và lim supλ→λ0Γλ∩K ⊆Γ. Đặc biệt, khẳng định trên là đúng nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(1) lim supλ→λ0Aλ ⊆A;
(2) Với mọi x ∈ A, x ∈ S1(x) khi có một lưới λν hội tụ tới λ0 và xν ∈ S1λν(xν)
hội tụ tới x;
(3) Với mọi x∈K,
(31) lim infλ→λ0,xλ∈Aλ,xλ→xS2λ(xλ)⊇S2(x);
(32) lim infλ→λ0,xλ∈Aλ,xλ→x,bλ∈Sλ
2(xλ),bλ→bTλ(xλ, bλ)⊇T(x, b);
(33) R(x, b, y) đúng khi quan hệ Rλν(xν, bν, yν) với xν ∈ Aλν,bν ∈S2λν(xν) và
yν ∈ Tλν(xν, bν) nào đó tương ứng hội tụ tới x, b và y, và λν hội tụ tới
Chứng minh. Giả sử Kλ là outer-liên tục tại λ0 và
lim supλ→λ0Γλ∩K ⊆Γ, theo khẳng định (1) của Mệnh đề (1.2.3) ta có ngay Kλ∩Γλ là outer-liên tục tại λ0, hay Σλ là outer-liên tục tại λ0.
Tương tự Định lí (3.4.1), từ điều kiện (1) và (2) của Định lí (3.4.2) ta có ánh xạ đa trị λ7→Kλ là outer-liên tục tại λ0. Bây giờ ta sẽ chỉ ra
lim supλ→λ0Γλ∩K ⊆Γ.
Giả sử x∈lim supλ→λ0Γλ∩K nên tồn tại lưới λν hội tụ tới λ0 và xν ∈Γλν hội tụ tới x. Ta sẽ chỉ ra rằng, x∈Γ, lấy phần tử bất kì b∈S2(x) và y∈T(x, b). Từ điều kiện(31), (32) ta có thể tìm được lưới bν ∈S2λν và yν ∈Tλν(xν, bν)tương ứng hội tụ tới b và y. Từ đó, Rλν(xν, bν, yν) đúng với mọi ν. Theo điều kiện (33), suy ra R(x, b, y) thỏa mãn, nên x∈Γ. Vì vậy, lim supλ→λ0Γλ∩K ⊆Γ và theo Mệnh đề (1.2.3) ta có Σλ=Kλ∩Γλ là outer-liên tục.
Định lý 3.4.3. Ánh xạ đa trịΣλ là inner-mở tạiλ0,nghĩa là lim infoλ→λ0Σλ⊇Σ,
nếu ánh xạ Kλ là inner-mở tại λ0 và lim infoλ→λ0Γλ ⊇ Γ∩K. Đặc biệt, khẳng
định trên là đúng nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(1) lim infoλ→λ0Aλ ⊇A.
(2) Với mọi x∈A, lim infoλ→λ0,x0∈Aλ,x0→xS1λ(x0)⊇S1(x).
(3) Với mọi x∈K,
(31) S2λ(x0) là nửa liên tục trên với giá trị compact theo các biến (λ, x0) tại
(λ0, x).
(32) Tλ(x0, b0)là nửa liên tục trên với giá trị compact theo các biến (λ, x0, b0)
tại (λ0, x, b) với b∈S2(x).
(33) R(x, b, y) không đúng nếu Rλν(xν, bν, yν) với một lưới xν ∈ Aλν hội tụ tới x, bν ∈ S2λν(xν) hội tụ tới b và yν ∈Tλν(xν, bν) hội tụ tới y với mọi
λν hội tụ tới λ0.
Chứng minh. Giả sử ánh xạ Kλ là inner-mở tại λ0 và lim infoλ→λ0Γλ ⊇ Γ∩K. Theo khẳng định (2) của Mệnh đề (1.2.3) ta có ngay Kλ∩Γλ là inner-mở hay
Σλ là inner-mở.
Bây giờ, giả sử có điều kiện (1)-(3), ta sẽ chỉ ra ánh xạ λ 7→Kλ là inner-mở tại λ0. Lấy phần tử bất kì x∈K, tức là x∈A và x∈S1(x). Theo điều kiện (1), tồn tại lân cận U1 của λ0 và V1 của x sao cho V1 ⊆ Aλ với mọi λ ∈ U1, λ 6= λ0. Từ điều kiện 2), tồn tại lân cận U2 của λ0, W2 và V2 của x sao cho V2 ⊆ S1λ(x0)
với mọi λ ∈U2, λ 6=λ0, và x0 ∈W2∩Aλ. Đặt U =U1∩U2 và V =V1∩V2∩W2 ta suy ra với mọi λ ∈U, λ6=λ0 và có một x0 ∈V, x0 ∈Aλ∩S1λ(x0). Vì vậy, V ⊆ Kλ với mọi λ ∈U, λ6=λ0, hay Kλ là inner-mở.
Bây giờ ta sẽ chỉ ralim infoλ→λ0Γλ⊇Γ∩K.Lấyx∈K∩Γ.Giả sửx /∈lim infoλ→λ0Γλ
tại λ0, tức là x ∈ lim infoλ→λ0Γλc. Áp dụng khẳng định (3) của Bổ đề (1.2.1),
lim supλ→λ0(Γλ)c.Lấy xν ∈(Γλν)c hội tụ tớixkhi λν dần tới λ0.Với mỗiν hoặc là xν ∈/ Aλν hoặc là xν ∈Aλν và Rλν(xν, bν, yν) không đúng với một vài bν ∈S2λν(xν)
và yν ∈Tλν(xν, bν).
Nếu trường hợp thứ nhất xảy ra cho một lưới con λν, thế thì từ điều kiện (1) và khẳng định (2) của Mệnh đề (1.2.1) ta có x /∈A và vì thế x /∈Γ.
Trong trường hợp thứ hai, từ điều kiện (31)và (32)giả sử bν và xν tương ứng hội tụ tới b∈S2(x) và y∈T(x, b). Theo điều kiện(33), R(x, b, y)khơng đúng. Suy ra, x /∈Γ, vơ lí. Vì vậy, lim infoλ→λ0Γλ ⊇Γ∩K. Vậy Σλ là inner-mở tại λ0.
Bây giờ ta xét tính inner-liên tục.
Định lý 3.4.4. Ánh xạ đa trịΣλ là inner-liên tục tạiλ0,nghĩa là lim infλ→λ0Σλ ⊇
Σ, nếu hoặc là Kλ là inner-mở tại λ0 và lim infλ→λ0Γλ ⊇ Γ∩K hoặc là Kλ là inner-liên tục tại λ0 và lim infoλ→λ0Γλ ⊇Γ∩K. Đặc biệt, khẳng định trên là đúng nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(1) lim infoλ→λ0Aλ ⊇A.
(2) Với mọi x∈A, lim infoλ→λ0,x0∈Aλ,x0→xS1λ(x0)⊇S1(x). (3) Với mọi x∈K,
(31) S2λ(x) là nửa liên tục trên với giá trị compact tại λ0.
(32) Tλ(x, b0)là nửa liên tục trên với giá trị compact tại(λ0, b) với b∈S2(x). (33) R(x, b, y)không đúng khi λν hội tụ tới λ0,bν ∈S2λν(x) và yν ∈Tλν(x, bν)
tương ứng hội tụ tới b và y sao cho x∈Aλν và Rλν(x, bν, yν) khơng đúng với mọi ν.
Chứng minh. Tương tự định lí trước, phần đầu của định lí thu được từ khẳng định (3) của Mệnh đề (1.2.3). Ta sẽ chứng minh phần hai của định lí, giả sử có điều kiện từ (1)-(3), ta sẽ đi chứng minh ánh xạ λ 7→Kλ là inner-mở tại λ0 và
lim infλ→λ0Γλ ⊇Γ∩K.
Ánh xạ λ 7→Kλ là inner-mở chứng minh tương tự định lí trên.
λ0 có thể tìm được xν ∈ Γλν hội tụ tới x. Giả sử phản chứng rằng điều đó là khơng đúng, nghĩa là, tồn tại lân cân V của x sao cho V ∩Γλν = ∅ với lưới λν nào đó hội tụ tới λ0.Theo điều kiện (1) của định lí, ta có thể giả sử V ⊆Aλν với mọi ν. Do đó, với bν ∈ S2λν(x) nào đó và yν ∈ Tλν(x, bν) nào đó sao Rλν(x, bν, yν)
khơng đúng. Từ điều kiện (31) và (32) ta có bν và yν lần lượt hội tụ tớib ∈S2(x)
và y ∈T(x, b). Suy ra, R(x, b, y) không đúng theo điều kiện (33). Mâu thuẫn với
x∈Γ. Do đó, lim infλ→λ0Γλ ⊇Γ∩K. Vậy, Σλ =Kλ∩Γλ là inner-liên tục.
Ta kết thúc phần này bằng một số điều kiện đủ cho tính liên tục của ánh xạ
Γλ. Ta nêu ra định nghĩa sau.
Định nghĩa 3.4.1. Tập Λ0 ⊆Λ là mở (tương ứng, đóng) tại λ0 nếu có một lân cận mở (tương ứng, lân cận đóng) U0 tại λ0 sao cho U0∩Λ0 là mở (tương ứng, đóng).
Ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 3.4.1. Các khẳng định sau là đúng.
(1) Γλ là outer-mở (tương ứng, inner-liên tục) tại λ0 nếu với mọi x /∈Γ (tương
ứng, x∈Γ), tập
Ux=λ ∈Λ :Rλ(x, b, y)không đúng với b∈S2λ(x)và y∈Tλ(x, b)nào đó là mở (tương ứng, đóng) tại λ0.
(2) Γλ là outer-liên tục (tương ứng, inner-mở) tại λ0 nếu tập
U ={(λ, x)∈Λ×A : hoặc là x /∈Aλ hoặcRλ(x, b, y)không đúng vớib ∈S2λ(x)vày ∈Tλ(x, b)}
là mở tại (λ0, x) với x /∈Γ (tương ứng, đóng tại (λ0, x) với x∈Γ )
Chứng minh. Chứng minh khẳng định (1). Giả sử x /∈Γ thì λ0 ∈ Ux. Nếu Ux là mở tại λ0, thì tồn tại một lân cận U của λ0 chứa trong Ux. Vì thế x ∈(Γλ)c với mọiλ∈U.Như vậy, với mỗi lân cậnV củax đều tồn tại lân cậnU củaλ0 sao cho
(Γλ)c∩V 6=∅. Suy ra x ∈ lim
λ→λ0inf (Γλ)c. Do đó, lim
λ→λ0inf (Γλ)c ⊇ Γc. Vì vậy, (Γλ)c
là inner-liên tục. Theo khẳng định (1) của Mệnh đề (1.2.1) thì Γλ là outer-mở. Giả sử x ∈ Γ. Khi ấy λ0 ∈ Ux./ Nếu Ux là đóng tại λ0, thì có một lân cận đóng U0 của λ0 sao cho U0 ∩ Ux là một tập đóng. Suy ra, tồn tại một lân cận mở U ⊆U0 của λ0 sao cho U ∩ Ux =∅. Chứng tỏ, x∈ Γλ với mọi λ ∈ U. Do đó, x∈lim infλ→λ0Γλ và Γλ là inner-liên tục.
Chứng minh tính outer-liên tục trong khẳng định (2). Giả sử x0 ∈/ Γ. Khi ấy,
(λ0, x0)∈ U. Do đó, U là tập mở tại (λ0, x0) nên tồn tại lân cận mở U của λ0 và V của x0 sao cho U×V ⊆ U. Vì thế, x /∈Γλ với mọi x ∈V và λ∈ U. Theo định nghĩa ta có x0 ∈ lim infoλ→λ0(Γλ)c. Vì vậy, lim infoλ→λ0(Γλ)c ⊇ Γc, tức là (Γλ)c là inner-mở. Theo khẳng định (2) của Mệnh đề (1.2.1) ta có Γλ là outer-liên tục.
Để chứng minh tính inner-mở ta giả sử x0 ∈Γ. Khi ấy, (λ0, x0) ∈ U/ . Do U là đóng tại(λ0, x0)nên có các lân cận đóngU0củaλ0 vàV0 củax0sao cho U0×V0∩U
là đóng. Ta có thể tìm được các lân cận mở U ⊆U0 của λ0 và V ⊆V0 của x0 sao cho U×V ∩ U =∅.Suy ra, V ⊆Γλ với mọi λ∈U. Vậy, Γλ là inner-mở tạiλ0.
Nhận xét 3.4.1. Trong rất nhiều mơ hình ta giả thiết các tập Aλ, Bλ và Yλ là không phụ thuộc vào λ.
1. Nếu tập
W =(λ, x, b, y)∈Λ×A×B ×Y :Rλ(x, b, y)khơng đúng
là mở tại (λ0, x, b, y) với y ∈ T(x, b), b ∈ S2(x) và ánh xạ S2λ(x) là inner-liên tục tại (λ0, x) và Tλ(x, b) là inner-liên tục tại (λ0, x, b) với x /∈ Γ, b ∈ S2(x) thì tập U
là mở tại (λ0, x) với mọi x /∈Γ.
Thật vậy, giả sử x0∈/ Γ. Khi ấy, cób0 ∈S2(x0) và y0 ∈T(x0, b0)nào đó sao cho R(x0, b0, y0) không đúng. Theo giả thiết tập W là mở nên có các lân cận mở U1 của λ0, V1 của x0, W1 của b0 và Z1 củay0 sao cho U1×V1×W1×Z1⊆ W.
Do ánh xạTλ là inner-liên tục nên tồn tại các lân cận mởU2⊆U1 củaλ0, V2 ⊆V1 của x0 và W2 ⊆W1 của b0 sao cho
Tλ(x, b)∩Z16=∅ với mọi (λ, x, b)∈U1×V1×W1.
Tương tự, vì ánh xạ S2λ là inner-liên tục nên tồn tại các lân cận mở U ⊆U2 của λ0 và V ⊆V2 của x0 sao cho
S2λ(x)∩W2 6=∅ với mọi (λ, x)∈U ×V.
Rõ ràng, với mỗi (λ, x) ∈ U × V, tồn tại b ∈ S2λ(x) và y ∈ Tλ(x, b) sao cho
(λ, x, b, y)∈ W, tức là Rλ(x, b, y)khơng đúng. Chính vì vậy, U×V ⊆ U. Vậy, U là tập mở.
2. Nếu tập W là đóng tại (λ0, x, b, y), các ánh xạ S2λ và Tλ là outer-liên tục và có giá trị compact tương ứng tại (λ0, x) và (λ0, x, b) với mỗi x ∈ Γ, b ∈ S2(x) và
y∈T(x, b), và Y là tập compact thì tập U là tập đóng tại (λ0, x) với mọi x∈Γ.
Thật vậy, giả sử tồn tại x0 ∈Γ. Khi ấy, với mỗi b ∈S2(x0) và y∈T(x0, b) sao cho R(x0, b, y) đúng. Vì tập W là tập đóng nên có các lân cận đóng Uby của λ0, Vby của x0, Wby của b và Zby của y sao cho
Uby×Vby×Wby×Zby∩ W =∅.
Theo giả thiết tập T(x0, S2(x0)) là tập compact nên ta chọn được một số hữu hạn của các điểm, cụ thểb1, ..., bk ∈S2(x0) và y1, ..., yk ∈T(x0, S2(x0)) sao cho tập
W1 =
k
S
i=1
Wbiyi là lân cận đóng của S2(x0)
và tập
Z1=
k
S
i=1
Zbiyi là lân cận đóng của T(x0, S2(x0)).
Tập U1 = k T i=1 Ubiyi và V1 = k T i=1
Vbiyi lần lượt là các lân cận đóng của λ0, x0 và
(U1×V1×W1×Z1)∩ W =∅.
Do ánh xạ Tλ là outer-liên tục nên tồn tại các lân cận U2 ⊆U1 của λ0, V2 ⊆V1 của x0 và W2 ⊆W1 của S2(x0) sao cho Tλ(x, S2(x))⊆Z1.
Tương tự, do ánh xạ S2λ là outer-liên tục nên tồn tại các lân cận đóng U ⊆ U2 của λ0 và V ⊆V2 của x0 sao cho
S2λ(x)⊆W2 với mọi λ∈U và x∈V.
Vì thế, lân cận đóng U × V của (λ0, x0) khơng có điểm chung với W, tức là U ×V ∩ W =∅. Điều đó có nghĩa là U ×V ∩ U =∅. Vậy U là đóng tại (λ0, x0).
Dưới đây ta sẽ nêu ra các điều kiện đủ về tính liên tục của ánh xạ nghiệmΣλ
đặt lên các tập Ux, U và W ở trên.
Hệ quả 3.4.1. Các khẳng định sau là đúng:
(1) Σλ là outer-mở tại λ0 nếu ánh xạ Kλ là outer-mở tại λ0 và tập Ux là mở tại
λ0 với mọi x /∈Γ.
(2) Σλ là outer-liên tục tại λ0 nếu ánh xạ Kλ là outer-liên tục tại λ0 và tập U
là mở tại (λ0, x) với mọi x /∈Γ, điều này có nghĩa là khi các ánh xạ Aλ, Bλ
và Yλ không phụ thuộc vào λ, các ánh xạ S2λ và Tλ là inner-liên tục tương ứng tại (λ0, x) và (λ0, x, b), và tập W là mở tại (λ0, x, b, y) với mọi x /∈ Γ,
b∈S2(x) và y∈T(x, b).
(3) Σλ là inner-mở tại λ0 nếu ánh xạ Kλ là inner-mở tại λ0 và tập U là đóng
tại (λ0, x) với mọi x∈ Γ, điều này có nghĩa là khi Y là tập compact, S2λ(x)
và Tλ(x) là các outer-liên tục, có giá trị compact tương ứng tại (λ0, x) và
(4) Σλ là inner-liên tục tại λ0 nếu ánh xạ Kλ là inner-mở (tương ứng, inner-liên tục) tại λ0 và tập Ux (tương ứng, U) là đóng tại λ0 (tương ứng, (λ0, x)) với
mọi x∈Γ.
Chứng minh. Áp dụng Bổ đề (3.4.1), các Định lí (3.4.1)-(3.4.4) và Nhận xét (3.4.1).
Chú ý rằng các giả thiết của Hệ quả (3.4.1) là khó có thể kiểm tra, chúng yếu hơn các điều kiện của các Định lí (3.4.1)-(3.4.4). Thật vậy, từ việc chứng minh hệ quả này ta thấy các giả thiết của các Định lí (3.4.1)-(3.4.4) kéo theo các giả thiết của Hệ quả (3.4.1). Ví dụ sau sẽ chỉ ra điều ngược lại là khơng đúng.
Ví dụ 3.4.1. Cho Aλ =Bλ=Yλ =R, Λ = [0,1], λ0 = 0, S1λ(x) = [0, λ], S2λ(x) = (0,1) nếu λ= 0, {−1} nếu λ6= 0, Tλ(x, b) = (−1,0) nếu λ= 0, {1} nếu λ6= 0, Fλ(b, y) = [0,1].
Quan hệ R được xác định bởi: R(x, b, y) đúng nếu và chỉ nếu Fλ(b, y) ⊆ R+. Khi đó, Kλ = [0, λ] thỏa mãn (1)-(4) của Hệ quả (3.4.1) tức là Kλ là outer-mở, outer-liên tục, inner-mở và inner-liên tục. Tất cả các tập Ux, U và W là rỗng vì
Fλ(b, y) = [0,1]⊆R+ và vì vậy các tập đó thỏa mãn điều kiện (1)-(4) của hệ quả
trên. Tính tốn trực tiếp ta được Σλ = [0, λ], vì Σλ =Kλ∩Γλ = [0, λ]∩R= [0, λ]
và Σλ thỏa mãn tất cả tính liên tục và tính mở.
Nhưng S2λ(x) và Tλ(x, b) khơng thỏa mãn bất kì giả thiết nào của các Định lí (3.4.1)-(3.4.4).
Thật vậy: Xét ánh xạ đa trịS2λ(x),ánh xạ này không là ánh xạ nửa liên tục trên tại 0, vì lấy một lân cận mở −1
2 ,2
củaS2λ0(x) = (0,1). Khi ấy với mọi lân cận
mở U = (−δ, δ) của 0 thì tồn tại λ ∈ U, λ 6= 0 sao cho S2λ(x) ={−1} 6⊂ V. Vì vậy
ánh xạ S2λ(x) khơng thỏa mãn Định lí (3.4.4). Tiếp tục do lim infλ→λ0S2λ(x) =
{−1} + S2(x) nên ánh xạ S2λ(x) khơng thỏa mãn Định lí (3.4.1). Tương tự nó khơng thỏa mãn Định lí (3.4.2), Định lí (3.4.3) và ánh xạTλ(x)cũng khơng thỏa mãn tất cả Định lí (3.4.1)-(3.4.4).