2 Bài toán cân bằng vectơ đa trị
2.3.1 Sự tồn tại điểm hữu hiệu của tập hợp
Trước hết ta xét các điều kiện đủ về sự tồn tại điểm hữu hiệu của một tập hợp. Cho một tập hợp D trong một không gian Banach phản xạ X với một nón nhọn lồi, đóng C. Các mệnh đề sau cho ta sự tồn tại điểm hữu hiệu của tập hợp:
Mệnh đề 2.3.1.([5, tr.308]) Cho X là không gian Banach phản xạ, D⊂X là tập lồi, đóng, khác rỗng. C là nón nhọn, lồi, đóng. Giả sử rằng tồn tại điểm a∈D sao cho với mọi dãy {xn} ⊂ D mà lim
n∞k xn k= +∞ một trong các điều kiện sau thỏa mãn
i) Tồn tại no >0 sao cho
xno ∈a+C
ii) Tồn tại no >0 và y ∈D với ky−ak<kxno −ak sao cho
xno ∈y+C
iii) Tồn tại no >0 và y ∈D sao cho xno ∈y+C với mọi n ≥no
Khi đó
W M in(DC)6=∅
Hơn nữa, nếuC thỏa mãn điều kiện (*) thì M in(DC)6=∅.
Chứng minh. Lấy Y =X , G(x, y) =y−x và H(x, y) = 0. Khi đó G, H thỏa mãn các giả thiết của hệ quả (2.2.2.). Như vậy tồn tại x∈D sao cho
Hay y−x /∈ −intC với mọi y∈D hay x−y /∈intC với mọi y∈D.
Do đó x∈W M in(DC). Vậy W M in(DC)6=∅
Hơn nữa nếu C thỏa mãn điều kiện (*) thì tồn tại x∈D để
y−x /∈ −(C\{0}) với mọi y∈D
Suy ra
x−y /∈(C\{0}) với mọi y∈D
Vậy M in(DC)6=∅. Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 2.3.2.([1, Mệnh đề 3.3.2, tr.142]) Cho X là khơng gian định chuẩn, D⊂X là tập lồi, đóng, compắc địa phương, C là nón lồi, đóng, nhọn và một trong các giả thiết (i) , (ii) , (iii) của mệnh đề (2.3.1.) được thỏa mãn. Khi đó
W M in(DC)6=∅
Hơn nữa, nếuC thỏa mãn điều kiện (*), thì M in(DC)6=∅.
Chứng minh. Áp dụng hệ quả (2.2.1.) vớiX =Y , G(x, y) =y−x , H(x, y) = 0 ta sẽ chứng minh được mệnh đề
Tiếp theo ta sẽ trình bày sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu vectơ.