2 Bài toán cân bằng vectơ đa trị
2.3.4 Sự tồn tại điểm cân bằng Nash
Cho I là tập chỉ số hữu hạn ( còn gọi là tập các người chơi). Xi, i∈ I, Y là các không gian Hausdorff lồi địa phương thực, C ⊂ Y là nón lồi trong Y. Di ⊂ Xi là tập lồi, đóng, khác rỗng với mỗi i∈I (Di gọi là tập chiến lược của người chơi thứ i). Đặt
D=Y i∈I
Di
Cho hàm vectơ fi : D −→ Y gọi là hàm mất của người chơi thứ i với mỗi i ∈ I. Hàm fi phụ thuộc vào chiến lược của tất cả các người chơi
Với x= (xi)i∈I ∈D ta kí hiệu
xi = (xj)j∈I\{i}
Điểm x= (xi)i∈I được gọi là điểm cân bằng Nash nếu với mọi i∈I ta có
fi(xi, yi)−fi(x)∈ −(C\ {0})/ với mọi (yi)i∈I ∈D
Điểm x= (xi)i∈I được gọi là điểm cân bằng Nash yếu nếu với mọi i thì
fi(xi, yi)−fi(x)∈ −intC/ với mọi (yi)i∈I ∈D
Để xét sự tồn tại điểm cân bằng Nash cũng như điểm cân bằng Nash yếu của bài toán cân bằng Nash ta sử dụng các mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.3.9([1, Mệnh đề 3.3.9]) Cho Y là không gian Banach, C ⊂Y là nón nhọn, lồi, đóng với nón cực C0 là nón đa diện nhọn và các điều kiện sau thỏa mãn với mọi i∈I :
1) fi là C- liên tục và (-C)- liên tục
2) Hàm fi(xi, .) là C- lồi, fi(., yi) là C- lõm và hàm fi(.) là C- lồi
3) Tồn tại các tập lồi, khác rỗng, compắc yếu Ki ∈Di với i∈I sao cho với mọi
x∈K\coreDK với K := Q
i∈I Ki
ta có thể tìm được diểm a∈coreDK để X
i∈I
(fi(xi, ai)−fi(x))∈C
Khi đó tồn tại diểm cân bằng Nash yếu. Hơn nữa nếu C thỏa mãn điều kiện (*) thì tồn tại điểm cân bằng Nash.
Chứng minh. Đặt X := Q i∈I
Xi . Cho các hàm G, H : D×D −→ Y xác định như sau
H(x, y) = X i∈I
(fi(xi, yi)−fi(x))
với mọi x= (xi)i∈I, y =yi)i∈I ∈D
Từ giả thiết (1) , (2) ta có H(., y) là (- C)- liên tục và C- lõm. Áp dụng định lý (1.4.2) thì H(. , y) là (-C)- liên tục yếu trên D. Vì vậy khi X được trang bị bởi tơpơ yếu thì G, H thỏa mãn các giả thiết của định lý(2.2.1.). Do đó tồn tại x = (xi)i∈I
sao cho
G(x, y) +H(x, y)∈ −intC/ với mọi y∈D
hay
P
i∈I
(fi(xi, yi)−fi(x))∈ −intC/ với mọi y= (yi)i∈I ∈D
với mỗi i∈I và yi∈Di tùy ý. Thay y= (xi, yi) vào hệ thức trên ta được
fi(xi, yi)−fi(x)∈ −intC/
Vậy x là điểm cân bằng Nash yếu
Tương tự như trên bằng cách áp dụng định lý (2.2.1.) khi nón C thỏa mãn điều kiện (*) ta cũng thu được điểm cân bằng Nash.
Mệnh đề 2.3.10.([1, Mệnh đề 3.3.10]) Cho Xi, i ∈ I, Y là các không gian định chuẩn, Di ⊆ Xi, i ∈ I là các tập lồi, khác rỗng, compắc địa phương, C là nón lồi, đóng, nhọn trong Y. Với mỗi i∈I , fi:D−→Y thỏa mãn các điều kiện sau:
i) fi là C- liên tục và (-C)- liên tục
ii) Các hàm fi(xi, .) là C- lồi
iii) Giả sử tồn tại điểm a= (ai)i∈I ∈D sao cho với mọi dãy
xn = (x(j,n))j∈I ⊂D mà lim
n∞kxn k= +∞
một trong các điều kiện sau đúng: 1) Tồn tại no >0 sao cho
X
i∈I
(fi(xi(j,no), ai)−fi(xno))∈ −C
2) Tồn tại no >0 và y = (yi)i∈I ∈D với ky−ak<kxno −ak sao cho X
i∈I
3) Tồn tại no >0 và y = (yi)i∈I ∈D sao cho X
i∈I
(fi(xi(j,n), yi)−fi(xn))∈ −C
Khi đó tồn tại điểm cân bằng Nash yếu. Hơn nữa nếu C thõa mãn điều kiện (*) thì tồn tại điểm cân bằng Nash.
Chứng minh. Đặt X := Q i∈I Xi . Cho các hàm G, H : D×D −→ Y xác định như sau G(x, y) = 0 H(x, y) = X i∈I
(fi(xi, yi)−fi(x))
với mọi x= (xi)i∈I, y =yi)i∈I ∈D
Áp đụng định lý (2.2.2.) ta sẽ có các kết quả cần tìm.
Mệnh đề 2.3.11.([1, Mệnh đề 3.3.11]) Cho Xi, i∈I, Y là các không gian Banach phản xạ,
Di ⊆Xi, i∈I là các tập lồi, đóng, khác rỗng, Y là khơng gian Banach và C ⊂Y là nón nhọn, lồi, đóng với nón cực C0 là nón đa diện nhọn. Giả sử với mọi i∈I, ánh xạ fi :D−→Y thỏa mãn các giả thiết (i), (ii) của mệnh đề (2.3.10) và một trong các điều kiện (1), (2), (3) của mệnh đề (2.3.10).
Khi đó tồn tại điểm cân bằng Nash. Hơn nữa nếu C thỏa mãn điều kiện (*) thì tồn tại điểm cân bằng Nash.
Chứng minh. Đặt X = Q i∈I
Xi và định nghĩa các hàm G, H như trong mệnh đề (2.3.9.). Từ giả thiết (i) , (ii) ta suy ra H(., y) là (-C)- liên tục và C- lõm. Theo định lý (1.4.2.) chương I thì H(., y) là (-C)- liên tục yếu trên D. Áp dụng hệ quả (2.2.2.) ta sẽ thu dược các kết quả cần chứng minh.
Kết luận
Luận văn "Bài toán cân bằng đa trị" đã đạt được một số kết quả sau:
i) Trình bày một số khái niệm về nón, tính liên tục, tính lồi, tính Lipschitz của ánh xạ đa trị theo nón
ii) Trình bày bài tốn cân bằng vơ hướng của Blum-Oettli, các bài toán đưa về bài tốn cân bằng vơ hướng, điều kiện đủ đề bài tốn cân bằng vơ hướng có nghiệm
iii) Trình bày bài tốn điểm cân bằng véctơ đa trị, một số điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng liên quan tới ánh xạ đa trị và một số ứng dụng của bài toán cân bằng đa trị trong các bài toán liên quan
Tài liệu tham khảo
[1] Guyana Xuân Tấn- Nguyễn Bá Minh, Một số vấn đề trong lý thuyết tối ưu vectơ đa trị, NXB Giáo dục, 2006
[2] Lục D.T.,Theory of vector optimization, Lecture notes in economics and math- ematical systems, 319 , Springer Verlag , Berlin - Heidelberg 1989
[3] Berge C.,Espaces topologiques fonction multivoques, Dunod , Paris,1959 [4] Minh N.B. and N.X.Tấn, On the continuity of vector convex multivalued func-
tions. Acta Math .Vietnam.27(2002),no,1,13-25
[5] Minh N.B. and N.X.Tấn, Some sufficient conditions for the existence of equi- librium points concering multivalued mappings, Vietnam J . Math.28:4(2000), 295 - 310
[6] Blum E. and Oettli W., Variational principles for equilibrium problems, para- metric optimization and related topies
[7] Lục D.T., On Nash equilibrium I, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 40(3- 4)(1982),267-272.
[8] Debreu G., Valuation equilibrium and Pareto optimum, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 40(1954), 588-592.
[9] Minty G-J., on variational inequalities for monotone operators, I.Avances in Math. 30(1978), 1-7.
[10] K.Fan, A minimax inequality and application, in Inequalities III, O. Shisha (Ed), Academic Press, New-York, 1972, pp, 33.
[11] Banach S., Theorie des operations lineaire , Monographie mathematy - czne , PWN , Warszawa, 1932