Các quá trình của hệ điều kiện – biến cố

1.2. Mạng các điều kiện – biến cố

1.2.7. Các quá trình của hệ điều kiện – biến cố

Có thể định nghĩa q trình của hệ điều kiện - biến cố nhƣ là một đƣờng đi trong đồ thị các trƣờng hợp của nó. Song đƣờng đi nhƣ thế khơng mơ tả chính xác đƣợc cái mà ta hiểu trực quan từ quá trình. Thứ tự tổng thể của các phần tử của nó cũng khơng cho ta một thông tin nào về sự xuất hiện trƣớc sau của các biến cố hay liệu chúng có độc lập với nhau hay khơng. Thứ tự bộ phận mà trong đó các biến cố xuất hiện chỉ đƣợc biểu diễn gián tiếp trong đồ thị các trƣờng hợp bởi tập tất cả các khả năng xuất hiện kế tiếp của các bƣớc.

Bởi vậy, chúng ta muốn tìm một cách mơ tả thích hợp hơn cho q trình. Đặc biệt là, nó phải rõ ràng và chỉ ra đƣợc một cách tƣờng minh rằng các biến cố có xuất hiện một cách đồng thời đƣợc không. Mô tả nhƣ thế đƣợc xem nhƣ là bản ghi sự xuất hiện của các biến cố và sự thay đổi của các điều kiện. Các phần tử của bản ghi này đƣợc sắp thứ tự bộ phận nhờ quan hệ “a là điều kiện tiên quyết cho b”. Hơn

nữa, sự lặp lại của chính biến cố hay chính điều kiện này đƣợc ghi lại nhƣ một phần tử mới. Có một biểu diễn thực sự đúng đắn cho các bản ghi nhƣ thế lại chính là một mạng.

Để có thể điều khiển các quá trình đƣợc mơ tả nhƣ thế, chẳng hạn “mạng đƣợc sắp thứ tự bộ phận”, ta cần phải xét một số tính chất của tập có thứ tự bộ phận và sau đó xét các mạng hiện. Đó là các mạng đƣợc sắp thứ tự bộ phận và thích hợp để mơ tả các q trình. Sau đó, ta trình bày khái niệm quá trình và chỉ ra rằng các q trình có thể hợp thành và phân rã nhƣ thế nào. Đồng thời, ta cũng nghiên cứu mối liên hệ của chúng với đồ thị các trƣờng hợp.

1.2.7.1. Tập có thứ tự bộ phận

Các quan hệ độc lập hay phụ thuộc thƣờng là đối xứng, phản xạ nhƣng nói chung là không bắc cầu. Trƣớc tiên, ta xét quan hệ tƣơng tự.

Định nghĩa 1.2.7.1.1: Giả sử A là một tập hợp.

Quan hệ nhị nguyên   A  A đƣợc gọi là quan hệ tương tự nếu: 1.  a  A : (a, a)   (tính phản xạ)

2.  a, b  A : (a, b)    (b, a)   (tính đối xứng).

Tập con B  A đƣợc gọi là một vùng của quan hệ tƣơng tự  nếu: a)  a, b  B : (a, b)   (tính đầy đủ)

b)  a  A \ B ,  b  B : (a, b)   (tính cực đại).

Định lý 1.2.7.1.1: (Wolfgang Reisig, [8])

Giả sử A là một tập hợp và  là một quan hệ tƣơng tự trên A. 1. Mỗi phần tử của A phải thuộc vào một vùng của .

2. Các vùng của tập khơng rỗng A là khác rỗng và khơng có vùng nào là tập con thực sự của một vùng khác.

3. Nếu  là quan hệ tƣơng đƣơng thì các vùng của  chính là các lớp tƣơng

đƣơng của nó. Biểu diễn đồ thị:

Một quan hệ tƣơng tự trên tập hữu hạn A có thể biểu diễn nhƣ một đồ thị vô hƣớng: A đƣợc xem nhƣ là tập các đỉnh và:

K = { (a, b)  a  b  (a, b)   } là tập các cạnh.

Bây giờ ta xét tập hợp có thứ tự bộ phận, nghĩa là tập hợp mà trên nó có một quan hệ không phản xạ và bắc cầu. Hai quan hệ li và co đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

Định nghĩa 1.2.7.1.2: Giả sử A là tập có thứ tự bộ phận < .

1. Quan hệ li  A  A đƣợc xác định nhƣ sau: (a, b)  li  a < b  b < a  a = b.

2. Quan hệ co  A  A đƣợc xác định nhƣ sau: (a, b)  co   (a < b)  a = b.

Định lý 1.2.7.1.2: (Wolfgang Reisig, [8])

Giả sử A là tập có thứ tự bộ phận và a, b  A. 1. (a, b)  li  (a, b)  co ,

2. (a, b)  li  (a, b)  co  a = b.

Định lý 1.2.7.1.3: (Wolfgang Reisig, [8])

Với mỗi tập có thứ tự bộ phận A thì li và co là các quan hệ tƣơng tự.

Định nghĩa 1.2.7.1.3: Giả sử A là tập có thứ tự bộ phận và tập con B  A.

1. Tập con B đƣợc gọi là một đường nếu B là một vùng của quan hệ li. 2. Tập con B đƣợc gọi là một nhát cắt nếu B là một vùng của quan hệ co.

Định lý 1.2.7.1.4: (Wolfgang Reisig, [8])

Giả sử A là tập có thứ tự bộ phận và tập con B  A. 1. Tập con B là một đƣờng nếu:

i)  a, b  B : a < b  b < a  a = b và ii)  a  A \ B ,  b  B :  (a < b  b < a) . 2. Tập con B là một nhát cắt nếu:

i)  a, b  B :  (a < b  b < a) và ii)  a  A \ B ,  b  B : a < b  b < a .

Khái niệm tập bị chặn và tập trƣớc đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

Định nghĩa 1.2.7.1.4: Giả sử A là tập có thứ tự bộ phận và giả sử B và C là các tập

con của tập A.

1. Tập A là bị chặn nếu có một số nguyên n  N sao cho mọi đƣờng đi L trong

A đều thoả mãn: | L |  n .

2. Tập con B đƣợc gọi là trước tập con C (ta viết: B  C) nếu:

 b  B ,  c  C : b < c  b co c .

( B < C có nghĩa là: B  C  B  C ). 3. Ta ký hiệu:

B- = {a  A  {a}  B} và B+ = {a  A  B  {a}} - đƣợc gọi là tập trước và tập sau của B.

B = {b  B  b’ B : b co b’  b < b’} và B = {b  B  b’ B : b’ co b  b’ < b} .

Cụ thể là, B bao gồm các phần tử ”cực tiểu” của B và B bao gồm các phần tử ”cực đại” của B.

Định lý 1.2.7.1.5: (Wolfgang Reisig, [8])

Nếu A là tập có thứ tự bộ phận bị chặn thì các tập con A và A là các nhát cắt.

Định lý 1.2.7.1.6: (Wolfgang Reisig, [8])

Giả sử A là tập có thứ tự bộ phận, L là một đƣờng và D là một nhát cắt trong A. Khi đó: | L  D | = 1.

Tính K-trù mật của một tập có thứ tự bộ phận đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

Định nghĩa 1.2.7.1.5: Tập có thứ tự bộ phận A đƣợc gọi là K-trù mật nếu mỗi đƣờng và mỗi một nhát cắt trong A đều có giao khác rỗng.

Tuy nhiên, khơng phải tập có thứ tự bộ phận nào cũng là K-trù mật. Chẳng hạn,

a b đƣờng L = {c, b} , nhát cắt D = {a, d} và L  D = 

c d

1.2.7.2. Mạng hiện

Mạng hiện là một mạng phi chu trình với các S-phần tử là khơng rẽ nhánh. Thế thì, ta sẽ có một thứ tự bộ phận trên các phần tử của mạng. Ta sẽ chỉ ra rằng các mạng hiện là K-trù mật. Do vậy, mạng hiện thƣờng đƣợc dùng để biểu diễn các quá trình trên một hệ điều kiện - biến cố.

Định nghĩa 1.2.7.2.1:

Mạng K = (SK, TK; FK) đƣợc gọi là một mạng hiện nếu:

1.  a, b  K : a FK+ b   (b FK+ a) (mạng K là phi chu trình). 2.  s  SK : | s |  1  | s |  1 (S-phần tử không rẽ nhánh).

Định lý 1.2.7.2.1: (Wolfgang Reisig, [8])

Giả sử K là một mạng hiện. Quan hệ < đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

 a, b  K : a < b  a FK+ b là một thứ tự bộ phận trên K.

Vậy thì, các khái niệm liên quan đến thứ tự bộ phận nhƣ: đƣờng, nhát cắt, tính bị chặn, K-trù mật đều có thể áp dụng cho các mạng hiện.

Định nghĩa 1.2.7.2.2: Nhát cắt của mạng hiện K chỉ chứa các S-phần tử đƣợc gọi là

một lát cắt.

Ký hiệu: sl(K) là tập tất cả các lát cắt của mạng hiện K.

Định lý 1.2.7.2.2: (Wolfgang Reisig, [8])

Mọi mạng hiện không rỗng bị chặn đều là K-trù mật.

Chú ý rằng, mạng hiện không bị chặn chƣa chắc đã là K-trù mật.

1.2.7.3. Các quá trình

Bây giờ chúng ta định nghĩa các quá trình của một hệ điều kiện - biến cố bằng cách sử dụng các mạng hiện bị chặn. Vì mỗi hệ điều kiện - biến cố đều có thể biến đổi thành một hệ điều kiện - biến cố an toàn tƣơng đƣơng, nên ta sẽ chỉ định nghĩa quá trình cho các hệ điều kiện - biến cố an toàn.

Các quá trình sẽ đƣợc mơ tả nhƣ các ánh xạ từ các mạng hiện bị chặn vào hệ điều kiện - biến cố an toàn thoả mãn hai yêu cầu sau đây:

1. Mỗi lát cắt đƣợc ánh xạ 1 - 1 vào một trƣờng hợp.

2. Ánh xạ mỗi T-phần tử vào một biến cố và phải bảo tồn mơi trƣờng của biến cố này.

Định nghĩa 1.2.7.3.1: Giả sử K là một mạng hiện bị chặn và  là một hệ điều kiện

- biến cố an toàn.

Một ánh xạ p : K   đƣợc gọi là một quá trình của  nếu với mỗi lát cắt D của K và mỗi phần tử t  TK thoả mãn:

1. pD là ánh xạ 1 - 1 và p(D)  C . 2. p(t) = p(t) và p(t) = p(t) .

Trong biểu diễn đồ thị của quá trình p : K   , mỗi phần tử x của K đƣợc gán nhãn bởi ảnh p(x) của nó.

Tính K-trù mật của các mạng hiện bị chặn là một tính chất quan trọng để sử dụng mạng hiện trong mô tả các q trình khơng tuần tự. Mỗi đƣờng biểu diễn dãy các phần tử mà chúng phụ thuộc nhân quả lẫn nhau, thể hiện nhƣ một quá trình con tuần tự. Tính K-trù mật của mạng hiện đảm bảo rằng mỗi quá trình con tuần tự đƣợc.

Định lý 1.2.7.3.1: (Wolfgang Reisig, [8])

Giả sử p : K   là một quá trình và tập con T  TK thoả mãn  t1, t2  T :

t1 co t2. Thế thì,  c1, c2  C : c1 [ p(T) > c2 .

Định nghĩa 1.2.7.3.2: Hai quá trình p1 : K1   và p2 : K2   của cùng một hệ

điều kiện - biến cố  đƣợc gọi là đẳng cấu nếu mạng hiện K1 là -đẳng cấu với

mạng hiện K2 và:  x  K1 : p1(x) = p2((x)).

Dƣới đây ta không phân biệt các q trình đẳng cấu mà ta có thể hiểu hoặc là lớp các tƣơng đƣơng các quá trình đẳng cấu với nhau hoặc là một đại diện nào đó của lớp này.

Một q trình p : K   thƣờng đƣợc biểu diễn bởi tập hợp các cặp {(x,

p(x)) x  K}. Các hệ điều kiện - biến cố an toàn đƣợc đặc trƣng một cách đầy đủ bởi tập các quá trình của chúng.

Định lý 1.2.7.3.2: (Wolfgang Reisig, [8])

Giả sử 1, 2 là hai hệ điều kiện - biến cố an toàn và giả sử Pi là tập các q trình của i (i = 1, 2). Khi đó thì:

P1 = P2  1 = 2 .

1.2.7.4 Sự hợp thành của các quá trình

Với hai quá trình p1, p2 mà p1 kết thúc ở chính trƣờng hợp mà từ đó p2 bắt đầu thì ta có thể định nghĩa phép tốn hợp thành trên các q trình này.

Bổ đề 4.23:

Nếu p : K   là một quá trình thì tập K và K là các lát cắt của K.

Bổ đề 4.24: Giả sử pi : Ki   , i = 1, 2 là hai quá trình với p1(K1) = p2(K2). Thế

thì có đúng một mạng hiện K sai khác một đẳng cấu, với lát cắt D và quá trình p : K

  thoả mãn: pD- = p1 và pD+ = p2 , trong đó D- và D+ là tập trƣớc và tập sau của D.

Định nghĩa 1.2.7.4.1: Giả sử p1, p2 và p là các quá trình thoả mãn các yêu cầu của

Bổ đề 4.24 ở trên. Khi đó, q trình p đƣợc gọi là hợp thành của các quá trình p1 và p2 và ta ký hiệu p = p1  p2 .

Định lý 1.2.7.4.1: (Wolfgang Reisig, [8])

Giả sử p : K   là một quá trình và giả sử D là một lát cắt của mạng hiện K. Giả sử p- = pD- và p+ = pD+ . Thế thì, p- và p+ cũng là các quá trình của hệ  và p = p-  p+

.

Định lý 1.2.7.4.2: (Wolfgang Reisig, [8])

Giả sử p1, p2, p3 là các quá trình mà hợp thành p1  p2 và p2  p3 xác định. Khi đó thì: p1  (p2  p3) và (p1  p2)  p3 là hai quá trình đẳng cấu với nhau.

Ta gọi một quá trình là cơ sở nếu nó mơ tả một bƣớc. Mỗi q trình có thể phân tích thành hợp thành của một số hữu hạn quá trình cơ sở.

Định nghĩa 1.2.7.4.2: Quá trình p : K   đƣợc gọi là cơ sở nếu SK = K  K .

Định lý 1.2.7.4.3: (Wolfgang Reisig, [8])

1) Quá trình p : K   là cơ sở  p(K) [ p(TK) > p(K) là một bƣớc trên . 2) Nếu quá trình p : K   là cơ sở thì:  t1, t2  TK : t1 co t2 .

Định nghĩa 1.2.7.4.3:

Quá trình p : K   đƣợc gọi là rỗng nếu TK =  .

Định lý 1.2.7.4.4: (Wolfgang Reisig, [8])

1. Mọi quá trình rỗng đều là cơ sở.

2. Nếu p’ là một quá trình rỗng và p  p’ (hoặc p’  p) xác định thì p = p  p’ (hoặc p = p  p’) một cách tƣơng ứng.

Định lý 1.2.7.4.5: (Wolfgang Reisig, [8])

Với mọi quá trình p : K   đều tồn tại một số hữu hạn quá trình cơ sở p1, p2, ... , pn sao cho p = p1  p2  ...  pn .

1.2.7.5. Các quá trình và đồ thị các trƣờng hợp

Trong phần này chúng ta nghiên cứu mối quan hệ giữa các quá trình và đƣờng đi trong đồ thị các trƣờng hợp của một hệ điều kiện - biến cố. Trƣớc hết, ta chỉ ra rằng các quá trình cơ sở tƣơng ứng với các cung trong đồ thị các trƣờng hợp. Sau đó ta tìm các đƣờng đi trong đồ thị mơ tả các quá trình đơn. Ta sẽ thấy rằng tất cả các đƣờng đi đó có thể biến đổi lẫn nhau nhờ “phân tích” hay ”hợp nhất” các cung của chúng.

Bổ đề 4.33: Giả sử  là một hệ điều kiện - biến cố an toàn.

Quá trình p : K   là cơ sở khi và chỉ khi có một cung v = (c1, G, c2) trong đồ thị các trƣờng hợp  sao cho p(K) = c1 , p(K) = c2 và p(TK) = G.

Bổ đề này thiết lập một sự tƣơng ứng duy nhất giữa các quá trình cơ sở và các cung của đồ thị các trƣờng hợp. Do vậy, ta định nghĩa:

1) Nếu v là một cung trong  thì ta ký hiệu v là quá trình cơ sở tƣơng ứng với v,

xác định theo Bổ đề trên. v đƣợc gọi là quá trình của cung v và v đƣợc gọi là cung của quá trình v.

2) Giả sử v1, v2, …, vn là các cung của đồ thị  và giả sử w = v1 v2 … vn là một

đƣờng đi trong  . Thế thì, w = v1  v2  …  vn đƣợc gọi là q trình của w cịn w

đƣợc gọi là đƣờng đi của quá trình w.

3) Với cung v = (c1, G, c2) và biến cố e  G, đặt t(v,e) = v-1(e) và (v) = {t(v,e) e  G}.

Định nghĩa 1.2.7.5.2:

Giả sử  là một hệ điều kiện - biến cố và giả sử c1, c2, c3  C và G1, G2  E .

1) Nếu u1 = c1 G1 c2 , u2 = c2 G2 c3 và v = c1 (G1  G2) c3 là các cung trong đồ thị

 thì đƣờng đi u1u2 đƣợc gọi là phân tách của v và v đƣợc gọi là hợp thành của u1 và u2.

2) Giả sử w, w’ là các đƣờng đi trong đồ thị  , w’ đƣợc gọi là hoán vị của w nếu tồn tại các đƣờng đi w1, w2, w3, w4 sao cho w = w1 w2 w3 và w’ = w1 w4 w3 và w4 là phân tách hoặc hợp nhất của w2 .

3) Giả sử w1, w2, ... , wn là các đƣờng đi trong đồ thị  . (w1, w2, ... , wn) đƣợc gọi là một dãy hoán vị nếu với mỗi i = 1, 2, ..., n thì wi+1 là hốn vị của wi .

Định lý 1.2.7.5.1: (Wolfgang Reisig, [8])

Giả sử  là một hệ điều kiện - biến cố và giả sử c1, c2, c3  C và hai tập con G1, G2

 E không rỗng và rời nhau.

1. Nếu v = c1 (G1  G2) c3 là một cung trong đồ thị  thì tồn tại một phân tách của

v có dạng c1 G1 c G2 c3 với trƣờng hợp c nào đó thuộc C .

2. Giả sử u1 = c1 G1 c3 và u2 = c3 G2 c2 là các cung trong đồ thị  và giả sử

u1  u2 : K   là một quá trình của hệ  . Thế thì:

 t1, t2  TK : t1 co t2  c1 (G1  G2) c3 là một cung trong đồ thị  .

Giả sử w là một đƣờng đi của quá trình khơng rỗng nào đó w : K  . Khi

đó, tồn tại một đƣờng đi w’ và một cung v sao cho (v) = {t  TKt  K} và có một dãy các hoán vị từ w tới w’.

Định lý 1.2.7.5.2: (Wolfgang Reisig, [8])

Hai đƣờng đi w và w’ tƣơng ứng với cùng một quá trình khi và chỉ khi có một dãy