2.1. Mạng vị trí chuyển
2.1.4. thị phủ của mạng Petri
Yêu cầu đặt ra là có hay khơng một đồ thị hữu hạn biểu diễn trực tiếp các bộ đánh dấu đạt đƣợc của một mạng vị trí/chuyển (hữu hạn). Điều này thật khó làm vì nói chung có nhiều vơ kể các bộ đánh dấu đạt đƣợc khác nhau. Bởi vậy, ta chỉ lấy một đồ thị hữu hạn mà mỗi bộ đánh dấu đạt đƣợc hoặc đƣợc biểu diễn tƣờng minh bằng một đỉnh của đồ thị hoặc đƣợc “phủ“ bởi một đỉnh. Đồ thị nhƣ thế đƣợc gọi là đồ thị phủ của mạng. Ví dụ: . s1 a b d c s3 s2 100 001 010 0ωω 3 2 5 3 5 4 c d c d a b Hình 19. Mạng Petri và đồ thị phủ tƣơng ƣớng
Mỗi đỉnh của đồ thị phủ cần hiểu nhƣ là một bộ đánh dấu của mạng, một số đỉnh thực sự là các bộ đánh dấu đạt đƣợc còn những đỉnh khác phủ các bộ đánh dấu đạt đƣợc. Ý tƣởng chủ đạo cho việc phủ các bộ đánh dấu xuất phát từ việc phân tích các dãy vơ hạn các bộ đánh dấu đƣợc sinh ra nhƣ thế nào. Chẳng hạn,
Giả sử M và M’ là hai bộ đánh dấu đạt đƣợc của mạng và M’ R(M). Giả thiết thêm rằng: s SN : M(s) M’(s) và M M’ (ta viết M < M’) và KN(s) = tại tất cả các vị trí mà M(s) < M’(s). Khi đó, một chuyển nào đó kích hoạt đƣợc trong M thì cũng kích hoạt đƣợc trong M’.
Lặp lại dãy các chuyển mà nó dẫn M tới M’ ta lại nhận đƣợc bộ đánh dấu mới M’’ mà M’ < M’’. Lặp lại thủ tục này nhiều lần, ta sinh ra một dãy vô hạn các bộ đánh dấu khác nhau {Mi}, i = 1, 2, 3, ...
Chú ý rằng, dãy này thoả mãn tính chất là: Mi(s) = M(s) nếu M’(s) = M(s) và Mi+1(s) > Mi(s) nếu M’(s) > M(s). Dãy này sẽ đƣợc biểu diễn trong đồ thị phủ bằng một đỉnh phủ V với:
Nhƣ vậy, ta đã hình thức hố việc xây dựng đồ thị phủ.
Thuật toán xây dựng đồ thị phủ:
Giả sử N = (S, T; F, K, M, W) là một mạng vị trí/chuyển mà ta cần phải xây dựng đồ thị phủ cho nó.
Ta thực hiện các bƣớc sau đây:
Bƣớc 1: Xây dựng đồ thị ban đầu chỉ gồm một đỉnh V0 = MN, khơng có cung. Bƣớc 2: Giả sử V là đỉnh nào đó của đồ thị nhƣng chƣa có cung nào đi ra từ nó thì:
1. Nếu V kích hoạt chuyển t nào đó và V [ t > V’ thì ta bổ sung đỉnh mới V’ và cung mới (V, t, V’) vào đồ thị.
2. Trên đƣờng từ đỉnh V0 tới đỉnh V, nếu tồn tại đỉnh V’ mà V' < V thì với những vị trí s mà V’(s) < V(s) thì toạ độ tƣơng ứng của V đƣợc thay bằng
và đỉnh V đƣợc gọi là -đỉnh.
3. Trên đƣờng từ đỉnh V0 tới đỉnh V, nếu tồn tại đỉnh V’ mà V' = V thì V là đỉnh treo của đồ thị (đỉnh khơng có cung đi ra).
4. Nếu khơng có một chuyển nào đƣợc V kích hoạt thì V là đỉnh treo. Bƣớc 3: Lặp lại Bƣớc 2 chừng nào cịn có thể.
Ta xét một số tính chất của đồ thị phủ.
Bổ đề 2.1.4.1: Giả sử G là đồ thị phủ của mạng vị trí/chuyển N.
Với mỗi dãy hoạt động MN [ t1 > M1 [ t2 > M2 . . . Mk-1 [ tk > Mk trên mạng N tồn tại một đƣờng đi V0 t1 V1 t2 . . . Vk-1 tk Vk trong G mà MN = V0 và Mi Vi , i = 1,2, ...,
k.
Đồ thị phủ của các mạng hữu hạn là hữu hạn. Do vậy có thể lƣu trữ và sử dụng đồ thị phủ trong máy tính.
Định lý 2.1.4.1: (Wolfgang Reisig, [8])
Đồ thị phủ của một mạng vị trí/chuyển là hữu hạn.
Do vậy, đồ thị phủ thực sự có thể xây dựng đƣợc cho mọi mạng vị trí/chuyển và nó là cơng cụ hữu hiệu để nghiên cứu các tính chất của những mạng này.