3 Ứng dụng lý thuyết đồ thị vào giải tốn phổ thơng
3.5 Bài toán liên quan đến số ổn định trong,số ổn định ngoài
định ngồi.
Bài tốn 3.5.1. ([4]Lý thuyết đồ thị với các bài tốn khơng mẫu mực) Trên bàn cờ 8X8 có thể đặt tối đa bao nhiêu con mã để chúng không ăn lẫn nhau.
Giải:
Xây dựng đồ thị G mơ tả tồn bộ nước đi của con mã trên bàn cờ 8x8.
- Đỉnh: Ký hiệu các ô của bàn cờ theo dạng ma trận aij(1 ≤ i, j ≤ n)
Lấy các điểm trên mặt phẳng hoặc trong không gian tương ứng với các ô của bàn cờ làm đỉnh đồ thị và dùng ngay ký hiệu các ô của bàn cờ để ghi trên các điểm tương ứng.
- Cạnh: Con mã có nước đi là hai đầu mút của mỗi đường chéo hình chữ nhật 2 x 3 hoặc 3 x 2, nên cặp đỉnh bất kỳ, tương ứng với hai ô là đầu mút của đường chéo thuộc hình chữ nhật 2 x 3 hoặc 3 x 2 tùy ý đều được nối bằng một cạnh.
Lý luận để suy ra đáp án
Hai quân cờ không ăn lẫn nhau khi và chỉ khi chúng không đứng ở hai ô thuộc cùng một nước đi.
Bởi vậy: Số con mã tối đa có thể đặt trên bàn cờ để chúng khơng ăn lẫn nhau bằng số ổn định trong của đồ thị G.
Áp dụng thuật tốn tìm số ổn định trong mục 1.6.3.1 ta có số ổn định trong α(G) = 24, nên chỉ có thể đặt tối đa 24 con mã, thì chúng khơng
ăn lẫn nhau. Chẳng hạn, có thể đặt 24 con mã như hình 3.11.
Bài tốn 3.5.2. ([4]Lý thuyết đồ thị với các bài tốn khơng mẫu mực) Trên bàn cờ 8X8 có thể đặt tối thiểu bao nhiêu con mã để chúng khống chế được tất cả các ơ cịn lại của bàn cờ.
Giải:
Xây dựng đồ thị G mơ tả tồn bộ nước đi của con mã trên bàn cờ 8x8. Tương tự như bài toán 3.5.1.
Lý luận để suy ra đáp án
Mỗi quân cờ đều khống chế được tất cả các ô, mà mỗi ô này lập với mỗi ơ nó đứng thành một nước đi. Mặt khác, mỗi ô của bàn cờ đều tương ứng với một đỉnh hoặc thuộc một tập ổn định ngồi nào đó hoặc kề với ít nhất một đỉnh thuộc tập ổn định ngoài, nên số con mã tối thiểu cần đặt trên bàn cờ để chúng khống chế được tồn bộ các ơ còn lại của bàn cờ bằng số ổn định ngoài của đồ thị.
Áp dụng thuật tốn tìm số ổn định ngồi mục 1.6.3.2 ta có số ổn định ngồi β(G) = 12, nên chỉ cần đặt tối thiểu 12 con mã trên bàn cờ là
chúng khống chế được toàn bộ các ơ cịn lại của bàn cờ. Chẳng hạn, có thể đặt 12 con mã như hình 3.12.
3.6 Bài toán liên quan đến đường đi.