3 Ứng dụng lý thuyết đồ thị vào giải tốn phổ thơng
3.3 Bài tốn về xích, chu trình, đường, vịng và tính liên thơng
liên thơng của đồ thị.
Bài toán 3.3.1. ([4]Lý thuyết đồ thị và các bài tốn khơng mẫu mực) Một thơn có ít nhất 4 gia đình, mỗi gia đình thân với ít nhất 3 gia đình khác. Chứng minh rằng có thể xếp một số chẵn gia đình làm nhà xung quanh một cái hồ để mỗi gia đình sống giữa hai gia đình mà họ thân.
Giải:
1. Xây dựng đồ thị G.
Đỉnh: Đối với mỗi gia đình trong thơn lấy một điểm tương ứng làm đỉnh của đồ thị và dùng ngay tên chủ hộ để ghi trên đỉnh tương ứng.
Cạnh: Trong đồ thị G hai đỉnh x,y bất kỳ được nối với nhau bằng một cạnh khi và chỉ khi hai gia đình x, y thân nhau.
Đồ thị G mơ tả tồn bộ quan hệ thân nhau giữa các gia đình trong thơn.
Với cách xây dựng trên, bậc của mỗi đỉnh thuộc G bằng đúng số gia đình thân của gia đình tương ứng với đỉnh này.
Theo cách xác định cạnh, mỗi đỉnh x có số cạnh đúng bằng số gia đình thân với gia đình x. Bởi vậy, mỗi đỉnh của đồ thị G đều có bậc khơng nhỏ hơn 3. Do đó theo định lý 1.4.2, trong đồ thị G tồn tại chu trình sơ cấp α độ dài chẵn. Khi đó dựa theo α mà sắp xếp chẵn gia đình tương ứng làm nhà xung quanh hồ theo thứ tự các đỉnh thì mỗi gia đình trong các gia đình này sẽ sống giữa hai gia đình mà họ thân.
Bài toán 3.3.2. ([3]Lý thuyết đồ thị và ứng dụng) Một tập số nguyên dương M gồm ít nhất ba số. Mỗi số đều có ước chung với ít nhất hai số khác. Chứng minh rằng ln ln có thể ghi một nhóm gồm ít nhất ba số thuộc tập hợp lên một vòng tròn, để mỗi số đều đứng giữa hai số mà nó có ước chung.
Giải:
1. Xây dựng đồ thị G.
Đỉnh: Đối với mỗi số nguyên dương thuộc tập M lấy một điểm tương ứng làm đỉnh của đồ thị và ghi các số thuộc tập M lên các đỉnh tương ứng.
Cạnh: Trong đồ thị G hai đỉnh x,y bất kỳ được nối với nhau bằng một cạnh khi và chỉ khi hai số x, y có ước chung.
Đồ thị G mơ tả tồn bộ quan hệ có chung ước với nhau giữa các số trong tập hợp M.
2. Đáp án bài toán bằng ngơn ngữ đồ thị.
Vì mối số thuộc M có ước chung với ít nhất hai số khác, nên theo định lý 1.4.1 trong G có chu trình sơ cấp. Khi đó dựa theo một trong những chu trình sơ cấp của G mà ghi các số tương ứng lên một vịng trịn, thì mỗi số đều đứng giữa hai số mà nó có ước chung.
Bài tốn 3.3.3. (IMO 1991) Giả sử G là một đồ thị liên thơng có k cạnh. Chứng minh rằng: Có thể đánh nhãn được các cạnh 1, 2, 3,...,k theo cách mà mỗi đỉnh thuộc vào hai hoặc nhiều hơn hai cạnh, ước số chung lớn nhất của các số nguyên đánh nhãn các cạnh này là 1.
Giải:
Ta bắt đầu tại một đỉnh v0 nào đó. Tưởng tượng rằng ta đang đi dọc theo các cạnh phân biệt của đồ thị, vừa đi vừa đánh số chúng như ta đang đếm: 1,2,3,... cho đến khi ta khơng thể đi xa hơn được nữa vì nếu
Nếu có những cạnh khơng được đánh số thì một trong những cạnh này phải có một đỉnh ta đã đi qua, vì G liên thơng. Hãy khởi đầu từ đỉnh này, ta tiếp tục đi dọc theo các cạnh chưa dùng tới, đánh số lại nơi ta đi qua, và tiếp tục như thế cho đến khi một lần nữa ta không thể đi xa hơn. Quá trình này được lặp lại cho đến lúc tất cả các cạnh đều được đánh số.
Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng việc đánh số như trên thỏa mãn điều kiện ở đề bài: Tại mỗi đỉnh thuộc về ít nhất hai cạnh của đồ thị, ta đều có ước số chung lớn nhất của các số nguyên viết trên các cạnh của đỉnh này bằng 1. Thật vậy, gọi v là một đỉnh như thế (v thuộc về ít nhất hai cạnh của đồ thị). Nếu v = v0 , tức v là đỉnh xuất phát, thì một trong các cạnh chứa đỉnh v đã được đánh số 1, do đó, hiển nhiên ta có ước số chung lớn nhất của các số nguyên viết trên các cạnh của đỉnh v này bằng 1. Nếu v 6= v0, giả sử lần đầu tiên ta gặp v trên đường đi là vào lúc cuối của cạnh được đánh số r. Vào lúc đó, có nhiều hơn 1 cạnh chưa sử dụng thuộc đỉnh v, nên một trong những cạnh này được đánh số bằng
r+ 1, ước số chung lớn nhất của mọi tập hợp số chứa r và r+ 1 là bằng 1. Suy ra điều phải chứng minh. Hình 3.2 là một ví dụ minh họa cách đánh số cạnh.
Hình 3.2
Bài tốn 3.3.4. ([3]Lý thuyết đồ thị và ứng dụng) Trên bàn cờ 3X3 ô vuông. Chứng minh rằng con Mã không thể đi qua tất cả các ô, mỗi ô đúng một lần, rồi trở về ô xuất phát.
Giải:
1. Xây dựng đồ thị G mô tả nước đi của con Mã.
Đỉnh: Lấy 9 ô của bàn cờ 3x3 làm đỉnh.
Cạnh: Cặp đỉnh là đường chéo hình chữ nhật 2x3 hoặc 3x2 đều được nối bằng một cạnh. Ta được đồ thị G mơ tả tồn bộ nước đi của con Mã trên bàn cờ 3x3 (hình 3.3).
Hình 3.3
2. Đáp án bài tốn bằng ngơn ngữ đồ thị.
Đồ thị G không liên thông. Đỉnh tương ứng với ô trung tâm không nằm trên đường nào, nên con Mã không thể đi qua ô này.
Bởi vậy con Mã không đi qua được tất cả các ơ thuộc bàn cờ 3x3.
Bài tốn 3.3.5. ([1]Graph và giải tốn phổ thơng)
Lớp 10A gồm 40 em học sinh.Khi về nghỉ hè, mỗi học sinh đã trao đổi địa chỉ với ít nhất một nửa số bạn trong lớp. Chứng minh rằng mỗi em học sinh lớp 10A đều có thể báo tin (một cách trực tiếp hoặc gián tiếp) cho tất cả các bạn trong lớp.
Giải:
1. Xây dựng đồ thị G.
Đỉnh: Đối với mỗi em học sinh trong lớp 10A lấy mỗi đỉnh tương ứng làm đỉnh của đồ thị và trên đó ghi tên của em học sinh này.
Cạnh: Trong đồ thị G hai đỉnh x,y bất kỳ được nối với nhau khi và chỉ khi hai em học sinh x, y đã trao đổi địa chỉ cho nhau.
Đồ thị G mơ tả tồn bộ quan hệ trao đổi địa chỉ giữa các học sinh trong lớp.
2. Đáp án bài tốn bằng ngơn ngữ đồ thị.
Với cách xây dựng trên, bậc của mỗi đỉnh thuộc G bằng đúng số em đã trao đổi địa chỉ với em học sinh tương ứng với đỉnh này.
Mỗi học sinh lớp 10A đều trao đổi địa chỉ với ít nhất một nửa bạn trong lớp, nên mỗi đỉnh thuộc đồ thị G đều có cạnh nối ít nhất với một nửa số đỉnh. Bởi vậy, theo hệ quả 1.5.1, đồ thị G liên thông, nên hai đỉnh tùy ý đều có xích nối với nhau. Bởi vậy mỗi em học sinh lớp 10A đều có thể theo các xích này mà báo tin cho nhau.
biên dịch các tài liệu từ 6 thứ tiếng: Anh, Pháp, Nga, Đức, Trung Quốc và Bồ Đào Nha sang tiếng Việt. Có 7 người đến dự tuyển, trong đó mỗi người đều biết 2 và chỉ 2 trong 6 thứ tiếng đó và bất cứ hai người nào cũng cùng biết nhiều nhất một thứ tiếng chung trong 6 thứ tiếng đó. Biết rằng thứ tiếng nào cũng có ít nhất hai người biết. Hỏi có thể xảy ra trường hợp không thể tuyển chọn được như yêu cầu đã nêu khơng? Tại sao?.
Giải:
Hình 3.4
Vẽ đồ thị với 6 đỉnh, mỗi đỉnh biểu diễn một ngoại ngữ: A, P, N, Đ, T, B; một người biết 2 ngoại ngữ được biểu diễn bằng một cạnh nối hai đỉnh tương ứng với 2 ngoại ngữ đó; có 7 người, vậy đồ thị có 7 cạnh; "bất cứ hai người nào cũng cùng biết nhiều nhất một thứ tiếng chung", tức là khơng có hai cạnh khác nhau cùng nối một cặp đỉnh; "thứ tiếng nào cũng có ít nhất hai người biết", tức là mỗi đỉnh có bậc ít nhất là 2.
Bài toán được viết lại như sau:
Cho đồ thị G có 6 đỉnh và 7 cạnh, bậc của mỗi đỉnh khơng nhỏ hơn 2. Liệu có thể xảy ra trường hợp khơng có 3 cạnh nào đơi một khơng kề nhau hay không? Tại sao?
Trước hết ta thấy G liên thơng (G có 6 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc khơng nhỏ hơn 2, nếu khơng liên thơng thì 6 đỉnh đó lập thành hai tam giác
rời nhau, và G chỉ có 6 cạnh) và suy ra G có chu trình (nếu khơng thì G là một cây và có cạnh treo, trái với giả thiết).
Vì 7.2 = 14 = 6.2 + 2, nên G phải có hai đỉnh bậc 3 (hoặc một đỉnh
bậc 4) và các đỉnh còn lại phải bậc 2.
1) Trường hợp G có đỉnh A bậc 4 (hình 3.4a), với 4 cạnh AB, AD, AN, AP. Lúc đó, đỉnh T không thể kề A mà kề hai đỉnh khác, P và N chẳng hạn và hai đỉnh còn lại B và D phải kề nhau. Có thể chọn ba cạnh BD, NT, PA thỏa mãn điều kiện đề ra.
2) Trường hợp G có 2 đỉnh bậc 3, giả sử là A và P. Vì G liên thơng, nên có ít nhất một đường đi từ A đến P. Ta tạm bỏ đường đi đó (vẫn giữ các đỉnh A và P). Có thể xảy ra:
a. G khơng cịn liên thơng. Như vậy, ta cịn hai chu trình sơ cấp phân biệt, mỗi chu trình gồm 3 cạnh (hình 3.4b). Ta chọn cạnh AP và hai cạnh khơng kề nó: TB và NĐ
b. G vẫn liên thơng. Như vậy, ta cịn một chu trình sơ cấp (vì mỗi đỉnh đều bậc 2). Có ba đường đi từ A đến P (một đương ta đã tạm bỏ, hai đường theo chu trình), trong đó đường ngắn nhất có độ dài 1 (hình 3.4c) hoặc độ dài 2 (hình 3.4d: ATP hoặc ADB).
Trong hình hình 3.4c trên chu trình sơ cấp độ dài 6 ta luôn chọn được 3 cạnh không kề nhau: AD, PT và BN chẳng hạn.
Trong hình 3.4d, chỉ việc chọn một cạnh thuộc đường đi ngắn nhất từ A đến P và hai cạnh khơng kề nó trên chu trình sơ cấp cịn lại: AD, TP và NB hoặc DP, AT và NB.
Trong mọi trường hợp ta đều tìm được ba cạnh đôi một không kề nhau. Tức là không thể xảy ra trường hợp không thể tuyển chọn được như yêu cầu đã nêu.
3.4 Bài tốn về tơ màu đồ thị.
Bài toán 3.4.1. (IMO 1964) Mười bảy nhà bác học viết thư cho nhau. Mỗi người đều viết thư cho tất cả người khác. Các thư chỉ trao đổi về 3 đề tài. Từng cặp nhà bác học chỉ viết thư trao đổi về cùng một đề tài. Chứng minh rằng có ít nhất 3 nhà bác học viết thư cho nhau trao đổi về cùng một vấn đề.
Giải:
Đỉnh: Lấy 17 điểm tương ứng với 17 nhà bác học làm đỉnh đồ thị. Dùng ngay tên của các nhà bác học để ghi trên các đỉnh tương ứng.
Cạnh: Dùng
- Cạnh đỏ để nối giữa hai đỉnh tương ứng với hai nhà bác học trao đổi vấn đề thứ nhất.
- Cạnh xanh để nối giữa hai đỉnh tương ứng với hai nhà bác học trao đổi vấn đề thứ hai.
-Cạnh vàng để nối giữa hai đỉnh tương ứng với hai nhà bác học trao đổi vấn đề thứ ba.
2. Đáp án bài tốn bằng ngơn ngữ đồ thị.
Theo định lý 2.2.2, trong đồ thị G có tam giác cùng màu. Nếu tam giác này:
- Màu đỏ, thì ba nhà bác học tương ứng trao đổi về vấn đề thứ nhất. - Màu xanh, thì ba nhà bác học tương ứng trao đổi về vấn đề thứ hai. - Màu vàng, thì ba nhà bác học tương ứng trao đổi về vấn đề thứ ba.
Bài tốn 3.4.2. (Thi Olympic Tốn 1978, Bungary) Một nhóm gồm 5 thành viên, trong đó cứ ba người thì có 2 người quen nhau và 2 người khơng quen nhau. Chứng minh rằng có thể xếp họ ngồi xung quanh một bàn tròn để mỗi người đều ngồi giữa hai người mà thành viên đó quen nhau.
Giải:
Hình 3.5
Đỉnh: Lấy 5 điểm tương ứng với 5 thành viên, mà khơng có 3 điểm nào thẳng hàng làm đỉnh của đồ thị. Dùng ngay tên của họ để ghi trên các đỉnh tương ứng.
Cạnh: Dùng
- Cạnh đỏ (nét liền) để nối giữa hai đỉnh tương ứng với hai người quen nhau.
- Cạnh xanh (nét đứt) để nối giữa hai đỉnh tương ứng với hai người không quen nhau.
2. Đáp án bài tốn bằng ngơn ngữ đồ thị.
Theo định lý 2.2.3 với n = 2 đồ thị G là đa giác 5 đỉnh với các cạnh màu đỏ và các đường chéo màu xanh. Khi đó dựa theo đường gấp khúc khép kín màu đỏ mà sắp xếp các thành viên tương ứng ngồi xung quanh một bàn trịn, thì mỗi thành viên sẽ ngồi giữa hai người mà thành viên đó quen (hình 3.5).
Bài toán 3.4.3. ([4]Lý thuyết đồ thị và các bài tốn khơng mẫu mực) Có 5 thành phố, mà từ mỗi thành phố đều có đường bay đến một số thành phố khác. Biết rằng cứ ba thành phố bất kỳ trong 5 thành phố này đều có hai thành phố có đường bay trực tiếp đến nhau và hai thành phố chưa có đường bay trực tiếp. Chứng minh rằng:
1. Mỗi thành phố có đường bay trực tiếp đến hai và chỉ hai thành phố khác.
2. Từ mỗi thành phố có thể bay đến các thành phố khác mỗi nơi một lần rồi quay về được nơi xuất phát.
Giải:
1. Xây dựng đồ thị G.
Đỉnh: Lấy 5 điểm tương ứng với 5 thành phố tùy ý A, B, C, D mà ta xét. Dùng ngay tên các thành phố để ghi trên các điểm tương ứng.
Cạnh: Dùng
- Cạnh đỏ (nét liền) nối giữa hai đỉnh tương ứng với hai thành phố có đường bay trực tiếp.
- Cạnh xanh (nét đứt) để nối giữa hai đỉnh tương ứng với hai thành phố khơng có đường bay trực tiếp.
2. Đáp án bài tốn bằng ngơn ngữ đồ thị.
Đồ thị đầy đủ G gồm 5 đỉnh với các cạnh được tô bằng hai màu: xanh, đỏ, mơ tả tồn bộ đường hàng khơng nối giữa 5 thành phố nói trên. Khi đó:
1. Mỗi thành phố có đường bay trực tiếp đến hai và chỉ hai thành phố khác khi và chỉ khi trong đồ thị G mỗi đỉnh xuất phát đúng hai cạnh màu đỏ.
2. Từ mỗi thành phố có thể bay đến các thành phố khác mỗi nơi một lần rồi quay về được nơi xuất phát khi và chỉ khi trong đồ thị G có chu trình màu đỏ đi qua mỗi đỉnh đúng một lần.
I Chứng minh: Mỗi đỉnh của đồ thị G xuất phát đúng hai cạnh đỏ. a. Giả sử tại một đỉnh nào đó của G, chẳng hạn tại A xuất phát khơng ít hơn 3 cạnh đỏ và ba trong số các cạnh đỏ này là AB, AC, AD. Khi đó, theo giả thiết trong 3 thành phố B, C, D có ít nhất một cặp thành phố có đường hàng khơng, nên trong 3 cạnh BC, BD, CD có ít nhất một cạnh đỏ, chẳng hạn BC là cạnh đỏ. Khi đó tam giác ABC màu đỏ, nên ba thành phố A, B, C từng cặp có đường hàng khơng. Ta đã đi tới mâu thuẫn với giả thiết, nên mỗi đỉnh của đồ thị G đều xuất phát không quá 2 cạnh đỏ.
b. Giả sử tại một đỉnh nào đó của G, chẳng hạn tại B xuất phát khơng ít hơn 3 cạnh xanh và các cạnh xanh đó là BC, BD, BE. Khi đó, theo giả thiết trong 3 thành phố C, D, E có ít nhất một cặp thành phố khơng có đường hàng khơng, nên trong ba cạnh CD, CE, DE có ít nhất một cạnh xanh, chẳng hạn CD là cạnh xanh. Khi đó tam giác BCD màu xanh, nên ba thành phố B, C, D từng cặp khơng có đường hàng khơng. Ta đã đi tới mâu thuẫn với giả thiết, nên mỗi đỉnh của đồ thị g xuất phát không quá hai cạnh xanh.
Mỗi đỉnh của đồ thị G xuất phát đúng 4 cạnh, trong đó số cạnh xanh không quá hai và số cạnh đỏ cũng không quá hai, nên mỗi đỉnh của G xuất phát đúng hai cạnh đỏ. Bởi vậy, mỗi thành phố được xét đều có