3 Ứng dụng lý thuyết đồ thị vào giải tốn phổ thơng
3.6.1 Bài tốn tìm đường đi trong mê cung
Bài tốn tìm đường đi trong mê cung là một trong các bài toán đố vui đồ thị lâu đời nhất. Một ví dụ trong văn học cổ Hi lạp là câu chuyện dũng sĩ Theseus đi cứu công chúa Ariadne bị con nhân mã Minotaur giam giữ trong mê cung.
Mê cung là hệ thống gồm nhiều hành lang nối với nhau. Bài tốn tìm đường đi trong mê cung là đứng từ vị trí s (bên trong mê cung hoặc cửa vào) tìm đường đi đến vị trí e (cửa ra hoặc bên trong mê cung).
Nếu biểu diễn mê cung bằng đồ thị, trong đó các hành lang là cạnh, cịn giao điểm của chúng là đỉnh thì ta có bài tốn tìm đường đi trên đồ thị. Lưu ý rằng ta không biết trước sơ đồ của mê cung.
Thuật tốn Tarri tìm đường đi trong mê cung
Xuất phát từ đỉnh s đi theo cạnh đồ thị theo các nguyên tắc sau: - Không bao giờ đi trở lại trên một cạnh theo cùng một chiều.
- Khi đến một đỉnh E (ngã ba, ngã tư,...) thì chỉ được chọn cạnh đã dẫn tới E lần đầu tiên khi khơng cịn cách đi nào khác (nghĩa là khi tất cả các cạnh khác có đầu mút tại E đã được đi hai lần rồi).
- Tại mỗi đỉnh chọn cạnh chưa đi qua trước đó. Trường hợp các cạnh đã đi qua thì chọn cạnh đi theo hướng ngược lại. Cạnh đánh dấu đặc biệt là phương án cuối cùng nếu khơng cịn cách nào khác.
Bằng cách này ta đi qua tất cả các cạnh của đồ thị. Như vậy nếu đồ thị liên thơng thì lúc nào đó ta sẽ đến đỉnh e.
Bài toán 3.6.1. ([1]Graph và giải tốn phổ thơng)
Cho mê cung như hình vẽ 3.13a.Tìm đường đi từ vị trí A (cổng) đến vị trí M.
Hình 3.13a
Giải:
Ta đánh dấu (bằng những điểm đậm) các ngã ba, ngã tư...và điểm cuối của các ngõ cụt, rồi nối các điểm đó với nhau theo đường trong mê cung; ta được một đồ thị với 13 đỉnh như trong hình 3.13b.
Ta vẽ lại đồ thị này dưới dạng đơn giản như trong hình 3.13c.
Hình 3.13c
Nhìn vào hình 3.13c ta thấy đường đi ngắn nhất từ A đến M là ACEGHJKM (hình 3.13d)
Bài tốn 3.6.2. Bài tốn ba ơng chồng ghen
Có ba cặp vợ chồng qua sơng bằng 1 thuyền nhỏ. Mỗi lần thuyền chở được nhiều nhất 2 người và ai cũng biết bơi thuyền. Các ông chồng mắc bệnh ghen nặng nên không cho vợ đứng với người đàn ơng khác khi khơng có mình. Hãy tìm phương án chở tất cả sang sơng.
Giải:
Ký hiệu các cặp chồng vợ là Aa, Bb, Cc. Ta lập đồ thị có hướng, biểu diễn khả năng chuyển đổi trạng thái các cặp chồng vợ ở hai bên bờ sông xuất phát 1 và đến 2. Mỗi nút trạng thái là tập con của (AaBbCc) trừ các tập dạng
{S|((aB) ⊂ S hay (aC) ⊂S)v`a A /∈ S} {S|((bA) ⊂S hay (bC) ⊂ S)v`a B /∈ S} {S|((cA) ⊂S hay (cB) ⊂ S)v`a C /∈ S}
và các tập bù của chúng.
Sau đó áp dụng thuật tốn trên để tìm đường đi từ nút 1.AaBbCc đến 2.AaBbCc.
Một phương án tìm được biểu diễn ở đồ thị hình 3.14 như sau:
Hình 3.14
có đường đi là