2 Đồ thị và một số bài toán phổ thông
2.4 Đồ thị Euler Đồ thị Hamilton
2.4.2 Đường đi Hamilton và đồ thị Hamilton
Định nghĩa
Xích α trong đồ thị vơ hướng G(X, E) được gọi là xích Hamilton nếu nó đi qua tất cả các đỉnh của G và qua mỗi đỉnh đúng một lần. Nói cách khác, xích Hamilton của đồ thị G là một xích sơ cấp và đi qua tất cả các đỉnh của G.
Chu trình α của đồ thị G được gọi là chu trình Hamilton nếu nó đi qua tất cả các đỉnh của G và qua mỗi đỉnh đúng một lần. Nói cách khác, chu trình Hamilton của đồ thị G là một chu trình sơ cấp và đi qua tất cả các đỉnh của
G.
Đồ thị vô hướngGđược gọi là đồ thị Hamilton nếu nó có chu trình Hamilton. Đường β của đồ thị có hướng G được gọi là đường Hamilton nếu nó đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị G và qua mỗi đỉnh đúng một lần. Nói cách khác, đường Hamilton của đồ thị có hướng G là một đường sơ cấp và đi qua tất cả các đỉnh của G.
Vịng Hamilton trong đồ thị vơ hướng G được gọi là vịng Hamilton nếu nó đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị G và qua mỗi đỉnh đúng một lần. Nói cách khác, vịng Hamilton là một vịng sơ cấp và đi qua tất cả các đỉnh của G.
Đồ thị vô hướng G được gọi là đồ thị Hamilton nếu nó có vịng Hamilton. Đồ thị vơ hướng G được gọi là đồ thị thuần nhất bậc k nếu mỗi đỉnh của đồ thị G đều có bậc bằng k.
Đồ thị có hướng G được gọi là đồ thị tựa đối xứng cấp k nếu mỗi đỉnh của đồ thị G có đúng k cung đi vào và k cung đi ra.
Đồ thị liên thơng và khơng có điểm khớp được gọi là đồ thị khơng khớp. Năm 1857, nhà toán học người Ailen là Hamilton (1805 - 1865) đưa ra trò chơi “đi vòng quanh thế giới” như sau:
Chọn trước trên Trái Đất 20 thành phố A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T. Để đơn giản ta giả sử rằng các thành phố này là đỉnh của một hình 12 mặt đều (đó là đa diện có 12 mặt ngũ giác đều và 20 đỉnh) thay
cho Trái Đất, còn các cạnh của đa diện biểu hiện cho đường đi giữa các thành phố.
Một khách du lịch xuất phát từ một thành phố, hãy tìm đường đi thăm tất cả các thành phố khác, mỗi thành phố chỉ một lần, rồi trở về chỗ cũ. Hỏi có bao nhiêu cách đi ?
Hamilton đã giải quyết bài tốn trên bằng cách chỉ ra nguyên tắc đi như sau: khách du lịch khi tới đầu mút một cạnh, nếu anh ta chọn cạnh bên trái mình thì phép chọn được ký hiệu bằng T, chọn cạnh phía phải ký hiệu bằng
P, và ở nguyên tại chỗ ký hiệu bằng 1. Tích của phép chọn được xác định theo nguyên tắc: P T là phép chọn đi theo cạnh phải rồi tiếp tục đi theo cạnh trái,
T T P hay T2P là phép chọn đi theo cạnh trái 2 lần sau đó đi theo cạnh phải 1 lần... Hai phép chọn là bằng nhau nếu xuất phát từ cùng một điểm và cùng đi tới một điểm khác. Tích khơng có tính chất giao hốn (T P 6= P T) nhưng có tính kết hợp, chẳng hạn (T T)P = T(T P). Hình 2.10 Ta có các cơng thức: P5 =T5 = 1;P T2P =T P T;T P2T = P T P;T P3T = P2;P T3P = T2. Nên 1 = P5 = P2P3 = (T P3T)P3 = (T P3)2 = [T(T P3T)P]2 = . . . = T T T P P P T P T P T T T P P P T P T P
Khi đó ta có một cách đi như sau A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, A.
Một số kết quả nhận được từ [5] như sau:
Điều kiện tồn tại chu trình Hamilton
Bổ đề 2.4.4. Nếu đồ thị vơ hướng G(X, E) có chu trình Hamilton thì G là đồ thị khơng khớp và mỗi đỉnh của nó đều có bậc khơng nhỏ hơn 2.
Chứng minh.
Thật vậy, nếu đồ thị G(X, E) có chu trình Hamiltonα. Chu trình α qua tất cả các đỉnh, khơng có điểm khớp và mỗi đỉnh đều bậc 2 nên đồ thị G khơng thể có điểm khớp và bậc của mỗi đỉnh phải có bậc khơng nhỏ hơn 2.
Bổ đề 2.4.5. Đồ thị vơ hướng G(X, E) có n (n > 3) đỉnh liên thơng, thuần nhất bậc hai có chu trình Hamilton.
Chứng minh.
Giả sử đồ thị vô hướng G(X, E) (|X| = n> 3), liên thông thuần nhất bậc
hai.
Đồ thị G hữu hạn nên số xích sơ cấp trong G cũng hữu hạn.
Giả sử α = (x1, x2, . . . , xk−1, xk) là một trong những xích sơ cấp có độ dài dài nhất (|α|max). Nếu k < n thì tồn tại đỉnh y ∈ G y /∈ α
. Do G liên thơng nên phải có ít nhất một đỉnh thuộc α kề với đỉnh y, chẳng hạn xi.
Nếu i= 2,3,4, . . . , k−1 thì m(xi)> 2, vơ lý.
Nếui= 1hoặci=k thì xích(y, x2, . . . , xk−1, xk)hoặc xích(x1, x2, . . . , xk−1,
xk, y) có độ dài bằng |α|+ 1 > |α|max nên cũng dẫn đến mâu thuẫn. Do đó k = n, tức là ta được xích Hamilton.
Vì m(x1) = m(xn) = 2 nên x1 phải kề với xn (khơng thể kề với đỉnh xi,
36 i6 n−1, vì bậc của mỗi đỉnh này đã bằng 2). Ta được chu trình Hamilton.
Bổ đề 2.4.6. Đồ thị vơ hướng G(X, E)có chu trình Hamilton khi và chỉ khi
nó có một đồ thị bộ phận liên thơng và thuần nhất bậc hai. Chứng minh.
1) Điều kiện cần là hiển nhiên. Bởi vì nếu đồ thị G có chu trình Hamilton thì mỗi chu trình Hamilton của G là một đồ thị bộ phận liên thông thuần nhất bậc hai.
2) Điều kiện đủ
Giả sử đồ thị G(X, E) có đồ thị bộ phận G1(X;E1) liên thơng và thuần nhất bậc hai. Theo bổ đề 2.4.5 đồ thị G1 có chu trình Hamilton α. Khi đó, chu
trình α cũng chính là chu trình Hamilton trong đồ thị G. Định lý được chứng
minh.
Bổ đề 2.4.7. Nếu α = [x1, x2, x3, ..., xk−1, xk] là xích sơ cấp có độ dài cực đại trong đồ thị G và m(x1) + m(xk) > k thì đồ thị con G1 gồm các đỉnh x1, x2, ..., xk−1, xk sẽ lập thành một đồ thị Hamilton gồm k đỉnh.
Chứng minh.
1) Nếu x1, xk kề nhau thì α là một chu trình sơ cấp đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị con G1.
2) Nếu x1, xk khơng kề nhau.
Do α là xích cực đại nên x1 cũng như xk không thể kề với một đỉnh nào ngồi α. Xét các cặp đỉnh có khả năng là cạnh của đồ thị, một đầu là x1 hoặc
(1) (x1, x2)
(2) (xk, x3) (x1, x3) (∗)
(3) (xk, x3) (x1, x4)
. . . . . . . . . . . . . . . (i) (xk, xi) (x1, xi+1)
(i+1) (xk, xi+1) (x1, xi+2)
. . . . . . . . . . . . . . . (k - 2) (xk, xk−2) (x1, xk−1)
(k-1) (xk, xk−1)
m(xk) +m(x1).
Nếu từ hàng 2 đến hàng k−2 mỗi hàng có khơng q 1 cạnh thì số cạnh của đồ thị G trong quan hệ (*) sẽ khơng vượt q k−1.
Do đó m(xk) +m(x1)6 k−1< k.
Ta đi tới mâu thuẫn với giả thiết nên trong quan hệ (*) từ hàng 2 đến hàng
k−2 phải có ít nhất một hàng mà cả hai cặp đỉnh đều là cạnh của đồ thị G. Chẳng hạn (xk, xi),(x1, xi+1),(26 i6 k−2) đều là cạnh của đồ thị G. Ta sắp
xếp lại xích α để được xích α0
α0 = [xi+1, x1, x2, x3, . . . , xi−1, xi, xk, xk−1, ..., xi+3, xi+2].
Ta có xi+1, xi+2 kề nhau nên α0 là chu trình sơ cấp đi qua tất cả các đỉnh của
G1. Vậy G1 là đồ thị Hamilton gồm k đỉnh.
Bổ đề 2.4.8. Giả sử đồ thị vô hướng G(X, E) có n đỉnh và l = n− 1 hoặc l = n. Nếu ∀x, y ∈ X : m(x) +m(y) > l thì trong G có xích sơ cấp có độ dài cực đại chứa khơng ít hơn l đỉnh.
Chứng minh.
Với điều kiện đã cho thì G là đồ thị liên thơng.
Giả sử α = [x1, x2, . . . , xk−1, xk] là một xích sơ cấp có độ dài cực đại nào đó của đồ thị G. Khi đó k >l.
Chứng minh bằng phản chứng:
Thật vậy, giả sử k < l khi đó, từ điều kiện đã cho ta có m(xk) +m(xl)> k
và theo bổ đề 2.4.7, đồ thị con G1 gồm các đỉnh x1, x2, . . . , xk có chu trình Hamilton. Giả sử β = [y1, y2, . . . , yk] là một trong những chu trình Hamlton của G1 thì trong G, chu trình β là một chu trình sơ cấp. Do k < l nên có ít nhất một đỉnh y của G nằm ngồi β. Vì G liên thông nên y phải nối với một đỉnh nào đó của β, chẳng hạn y nối với yj bằng một xích có độ dài dương. Ta được xích sơ cấp mới β0 = [y, . . . , yj, yj−1, . . . , y1, yk, yk+1, ..., yj+2, yj+1] có độ dài lớn hơn α. Ta đi đến mâu thuẫn với tính độ dài cực đại của α.
Do đó k > 1.
Định lý 2.4.1. Giả sử đồ thị vô hướng G(X;E) có n đỉnh.
a) Nếu ∀x, y ∈ X : m(x) +m(y)> n−1 (1) thì G có xích Hamilton. b) Nếu ∀x, y ∈ X : m(x) +m(y)> n (2) thì G có chu trình Hamilton.
Chứng minh.
1) Do điều kiện (1) theo bổ đề 2.4.8 trong đồ thị G có xích sơ cấp có độ dài cực đại chứa khơng ít hơn n−1 đỉnh. Giả sử α = [x1, x2, . . . , xl−1, xl] với
l> n−1 là một trong những xích có độ dài cực đại.
a) Nếu l =n thì α là xích Hamilton của đồ thị G.
b) Nếu l = n− 1, theo bổ đề 2.4.7 đồ thị con G1 của G gồm các đỉnh
x1, x2, . . . , xn−1 có chu trình Hamilton. Giả sử một trong những chu trình Hamilton của G1 là: β = [y1, y2, . . . , yn−2, yn−1].
Trong đồ thị G còn một đỉnh, chẳng hạnx không nằm trênβ. Với điều kiện
(1), theo định lý 2.3.1 đồ thị G liên thông, nênx phải kề với một đỉnh nào đó thuộc β, chẳng hạn yi (1 6 i6 n−1). Khi đó xích
γ = [x, yi, yi−1, . . . , y1, yn−1, yn−2, . . . , yi+1]
đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị G, nên γ là một xích Hamilton của đồ thị G.
cực đại chứa n đỉnh. Giả sử ω = [z1, z2, . . . , xn−1, zn] là một trong những xích có độ dài cực đại.
Khi đó, theo bổ đề 2.4.7 đồ thị conG2củaGgồm các đỉnhz1, z2, . . . , zn−1, zn
có chu trình Hamilton. Giả sửε = [p1, p2, ..., pn−1, pn]là một chu trình Hamilton củaG1. Chu trìnhε là chu trình sơ cấp và đi qua tất cảnđỉnh củaGnên trong
G, ε là một chu trình Hamilton. Định lý được chứng minh.
Từ định lý trên ta có các hệ quả sau (theo [9]): Hệ quả 2.4.3.
1) Mọi đồ thị đầy đủ vơ hướng với ít nhất 2 đỉnh đều có xích Hamilton. 2) Mọi đồ thị đầy đủ vơ hướng với ít nhất 3 đỉnh đều có chu trình Hamilton.
Hệ quả 2.4.4. (Định lý Dirac) Nếu bậc của mỗi đỉnh trong đồ thị vô hướng G không nhỏ hơn một nửa số đỉnh thì nó có chu trình Hamilton.
Hệ quả 2.4.5. (Định lý Ore) Nếu G là một đơn đồ thị có n đỉnh và bất kỳ hai đỉnh nào khơng kề nhau cũng có tổng số bậc khơng nhỏ hơn n thì G là một đồ thị Hamilton.
Hệ quả 2.4.6. Nếu G là đồ thị phân đôi với hai tập đỉnh là V1, V2 có số đỉnh cùng bằng n (n > 2) và bậc của mỗi đỉnh lớn hơn n
2 thì G là một đồ thị
Hamilton (theo [9]).
Hình 2.11
- Đồ thị G0 có 5 đỉnh bậc 4 và 2 đỉnh bậc 2 kề nhau nên tổng số bậc của hai đỉnh không kề nhau bất kỳ bằng 7 hoặc 8, nên G0 là đồ thị Hamilton.
Điều kiện tồn tại đường Hamilton
Định lý 2.4.2. (Rédei)Trong đồ thị có hướng đầy đủ ln ln tồn tại đường Hamilton.
Chứng minh.
(Thuật tốn tìm đường Hamilton trong đồ thị đầy đủ có hướng)
Giả sửG(X, E)là đồ thị có hướng đầy đủ vàα = [x1, x2, . . . , xi, xi+1, . . . , xk−1, xk]
là đường đi sơ cấp bất kỳ trong đồ thị G.
1) Nếuα đã đi qua tất cả các đỉnh của G thì nó là một đường đi Hamilton của
G.
2) Nếu trong G cịn có đỉnh nằm ngồi α, thì ta có thể bổ sung dần các đỉnh
này vào α và các đường sơ cấp nhận được tiếp theo để cuối cùng nhận được đường đi Hamilton.
Thật vậy, giả sử x là đỉnh tuỳ ý khơng nằm trên α.
a) Nếu có cung nối x với x1 thì bổ sung x vào đầu của đường đi α để được α1
mà |α1| = |α|+ 1, nghĩa là α1 = [x, x1, x2, . . . , xi, xi+1, . . . , xk−1, xk].
b) Nếu tồn tại chỉ số i (1 6 i 6 k− 1) mà từ xi có cung đi tới x và từ x có cung đi tới xi+1 thì ta chen x vào giữa xi và xi+1 để được đường đi sơ cấp α2
mà |α2| = |α|+ 1, nghĩa là α2 = [x1, x2, . . . , xi, x, xi+1, . . . , xk−1, xk].
c) Nếu cả hai khả năng trên đều không xảy ra nghĩa là với mọi i (1 6 i 6 k)
, xi đều có cung đi tới x. Khi đó bổ sung x vào cuối của đường đi α và được đường đi α2 = [x1, x2, . . . , xi, xi+1, . . . , xk−1, xk, x].
Nếu đồ thị G có n đỉnh thì sau n−k bổ sung ta sẽ nhận được đường đi Hamilton.
Định lý được chứng minh.
2.4.3 Ứng dụng
Bài toán 2.4.1. (xem [7]) Chứng minh rằng: ta có thể tơ màu các cạnh của một đồ thị liên thông G bởi hai màu xanh - đỏ sao cho số cạnh đỏ và số cạnh xanh xuất phát tại một đỉnh của đồ thị luôn bằng nhau khi và chỉ khi đồ thị
G có một số chẵn cạnh và bậc của mỗi đỉnh của G là một số chẵn.
Giải.
Nếu ta có thể tơ màu các cạnh của một đồ thị liên thông G bằng hai màu xanh - đỏ sao cho số cạnh đỏ và số cạnh xanh xuất phát tại mỗi đỉnh của đồ thị luôn luôn bằng nhau thì bậc của đồ thị tại mỗi đỉnh phải là chẵn (số cạnh xanh và số cạnh đỏ tại mỗi đỉnh bằng nhau); và đồ thị có một số chẵn cạnh (do số cạnh xanh và số cạnh đỏ của đồ thị bằng nhau).
Ngược lại, giả sử đồ thị liên thông G có chẵn cạnh và bậc của các đỉnh là số chẵn thì đồ thịG có đường một nét Euler khép kín H nào đó. DoG có số chẵn cạnh nên H có chẵn cạnh. Như thế ta có thể tơ màu các cạnh củaH bằng hai màu xanh - đỏ sao cho hai cạnh liên tiếp nhau trên H khác màu nhau. Khi đó cạnh đi ra và cạnh đi vào dọc theo H tại mỗi đỉnh khác màu nhau. Do đó, số cạnh màu xanh và màu đỏ tại mỗi đỉnh của G bằng nhau.
Bài toán 2.4.2. (xem [9]) Bài toán người phát thư Trung Hoa:
Một nhân viên đi từ Sở Bưu Điện, qua một số đường phố để phát thư, rồi quay về Sở. Người ấy phải đi qua các đường theo trình tự nào để đường đi là ngắn nhất?
Bài toán được nhà toán học Trung Hoa Guan nêu lên đầu tiên (1960), vì vậy thường được gọi là “bài tốn người phát thư Trung Hoa”. Ta xét bài toán ở một dạng đơn giản như sau.
Cho đồ thị liên thơngG. Một chu trình qua mọi cạnh của Ggọi là một hành trình trong G. Trong các hành trình đó, hãy tìm hành trình ngắn nhất, tức là
qua ít cạnh nhất.
Rõ ràng rằng nếu G là đồ thị Euler (mọi đỉnh đều có bậc chẵn) thì chu trình Euler trong G (qua mỗi cạnh của G đúng một lần) là hành trình ngắn
nhất cần tìm.
Chỉ cịn phải xét trường hợp G có một số đỉnh bậc lẻ (số đỉnh bậc lẻ là một số chẵn). Khi đó, mọi hành trình trong G phải đi qua ít nhất hai lần một số cạnh nào đó.
Dễ thấy rằng một hành trình qua một cạnh (u, v) nào đó q hai lần thì khơng phải là hành trình ngắn nhất trongG. Vì vậy, ta chỉ cần xét những hành
trình T đi qua hai lần một số cạnh nào đó của G.
Ta quy ước xem mỗi hành trình T trong G là một hành trình trong đồ thị Euler GT, có được từ G bằng cách vẽ thêm một cạnh song song đối với những cạnh mà T đi qua hai lần. Bài toán đặt ra được đưa về bài toán sau:
Trong các đồ thị Euler GT, tìm đồ thị có số cạnh ít nhất (khi đó chu trình Euler trong đồ thị này là hành trình ngắn nhất).
Định lý (Gooodman và Hedetniemi, 1973). (Theo [9]) Nếu G là một đồ thị liên thơng có q cạnh thì hành trình ngắn nhất trong G có chiều dài q+m(G),
trong đó m(G) là số cạnh mà hành trình đi qua hai lần và được xác định như sau:
Gọi V0(G) là tập hợp các đỉnh bậc lẻ (2k đỉnh) của G. Ta phân 2k phần tử của G thành k cặp, mỗi tập hợp k cặp gọi là một phân hoạch cặp của V0(G).
Ta gọi độ dài đường đi ngắn nhất từ u đến v là khoảng cách d(u, v). Đối với
mọi phân hoạch cặp Pi, ta tính khoảng cách giữa hai đỉnh trong từng cặp, rồi