2 Đồ thị và một số bài toán phổ thông
2.5 Bài tốn liên quan đến đồ thị tơ màu
2.5.4 Lớp đồ thị có chu trình tam giác cùng màu
Để phục vụ cho việc giải quyết một lớp bài tốn nào đó cần xét những dãy số đặc biệt và đưa ra các khẳng định thích hợp, chẳng hạn, để xây dựng một lớp đồ thị có chu trình tam giác cùng màu người ta đưa ra các dãy số nguyên dương:
a1 = 2, a2 = 5, ..., an+1 = (n+ 1)an + 1
u2 = 3, u3 = 6, ..., un+1 = (un −1)n+ 2
Định lý 2.5.4.
a) Một đồ thị đầy đủ vô hướng với an + 1 đỉnh, các cạnh được tơ bằng n màu ln có chu trình tam giác cùng màu.
b) Một đồ thị đầy đủ vô hướng với un + 1 đỉnh, các cạnh được tô bằng n màu ln có chu trình tam giác cùng màu.
Chứng minh.
1) Cơ sở quy nạp: n= 1. Đồ thị đầy đủ tương ứng gồm a2+ 1 = 2 + 1 = 3
đỉnh lập thành một chu trình tam giác. Các cạnh của đồ thị này được tơ bằng một màu, nên chu trình tam giác lập nên G1 cùng màu.
2) Quy nạp: Giả sử khẳng định đã đúng với n= k, nghĩa là, đồ thị đầy đủ
bất kỳ Gk gồm ak + 1 đỉnh với các cạnh được tơ bằng k màu đã có chu trình tam giác cùng màu. Cần chứng tỏ khẳng định đúng với n= k+ 1.
Xem xét đồ thị đầy đủ tùy ý Gk+1 với ak+1+ 1 đỉnh và các cạnh tô bằng
k+ 1 màu.
Giả sử P là một đỉnh tùy ý của Gk+1. Khi đó P được nối với ak+1 = (k+ 1)ak+ 1 đỉnh bằng các cạnh được tô bằng không quá k+ 1 màu, nên xuất phát từ P phải có ít nhấtak+ 1 cạnh được tơ bằng cùng một màu. Giả sử màu này là màu đỏ và các cạnh P A1, P A2, . . . , P Aak, P Aak+1 được tơ màu đỏ. Có hai khả năng xảy ra:
1) Nếu một trong các cạnh nối giữa các đỉnh Ai, Aj (16 i, j 6 ak+ 1) được tô màu đỏ, chẳng hạn cạnh(A1, A2)màu đỏ. Khi đó chu trình tam giácA1P A2
màu đỏ nên đồ thị Gk+1 có chu trình tam giác màu đỏ.
2) Trong trường hợp ngược lại, khơng có cạnh nào trong các cạnh(Ai, Aj) (16
i, j 6 ak + 1) được tơ màu đỏ. Khi đó đồ thị con đầy đủ Gk với tập đỉnh {A1, A2, ..., Aak, Aak+1} có các cạnh được tơ bằng khơng quá k màu nên theo giả thiết qui nạp Gk đã có chu trình tam giác cùng màu. Bởi vậy Gk+1 có chu trình tam giác cùng màu. Khẳng định được chứng minh.
Phần b) chứng minh tương tự.
Định lý 2.5.5. (Định lý bốn màu của Appel - Haken) Mọi đồ thị phẳng đều có thể tơ đúng bằng 4 màu.
Định lý bốn màu đầu tiên được đưa ra như một phỏng đoán vào năm 1850 bởi một sinh viên người Anh tên là F.Guthrie. Đến năm 1976, nhờ cơng cụ máy tính điện tử, hai nhà tốn học Mỹ là Kenneth Appel và Wolfgang Haken đã tìm ra lời giải của “bài tốn bốn màu” (theo [7]).
2.5.5 Ứng dụng
Bài toán 2.5.1. (xem [9]) Bài toán lập lịch thi: Hãy lập lịch thi trong trường
đại học sao cho khơng có sinh viên nào có hai mơn thi cùng một lúc.
Giải.
Có thể giải bài tốn lập lịch thi bằng mơ hình đồ thị, với các đỉnh là các mơn thi, có một cạnh nối hai đỉnh nếu có sinh viên phải thi cả hai môn được biểu diễn bằng hai đỉnh này. Thời gian thi của mỗi môn được biểu thị bằng các màu khác nhau. Như vậy việc lập lịch thi sẽ tương ứng với việc tơ màu đồ thị này.
Hình 2.18
Chẳng hạn, có 7 mơn thi cần xếp lịch. Giả sử các môn học đuợc đánh số từ 1 tới 7 và các cặp mơn thi sau có chung sinh viên: 1 và 2, 1 và 3, 1 và 4, 1 và 7, 2 và 3, 2 và 4, 2 và 5, 2 và 7, 3 và 4, 3 và 6, 3 và 7, 4 và 5, 4 và 6, 5 và 6, 5 và 7, 6 và 7. Hình dưới đây biểu diễn đồ thị tương ứng. Việc lập lịch thi chính là việc tơ màu đồ thị này. Vì số màu của đồ thị này là 4 nên cần có 4 đợt thi. Bài toán 2.5.2. Trên mặt phẳng lấy 6 điểm, khơng có ba điểm nào thẳng hàng, khoảng cách giữa các cặp điểm khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một cặp điểm, mà đoạn thẳng nối giữa chúng là cạnh ngắn nhất thuộc một tam giác nào đó, đồng thời cạnh dài nhất của một tam giác khác trong các tam giác có đỉnh là các điểm đã cho?
Để giải bài toán trên trước hết dùng màu xanh để tô mỗi đoạn thẳng là cạnh ngắn nhất của một tam giác nào đó trong các tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Phần cạnh cịn lại được tơ màu đỏ. Khi đó được đồ thị G2 gồm 6 đỉnh, các cạnh được tô bằng hai màu.
Theo định lý 2.5.4, đồ thị G2 có chu trình tam giác cùng màu. Do khoảng cách giữa các cặp điểm đã cho khác nhau từng đôi một, nên tam giác bất kỳ với đỉnh là các điểm đã cho đều có cạnh ngắn nhất, mà cạnh này được dùng màu xanh để tơ trước. Bởi vậy chu trình tam giác cùng màu phải là tam giác xanh. Khi đó cạnh dài nhất trong tam giác này chính là đoạn thẳng cần tìm. Bài tốn 2.5.3. Mười bảy nhà khoa học đã đến dự hội nghị quốc tế: Mỗi người trong số họ chỉ biết một trong ba ngoại ngữ: Anh, Nga, Pháp. Chứng minh rằng có ít nhất ba nhà khoa học cùng biết một trong ba ngoại ngữ nói trên.
Giải.
Lấy 17 điểm, khơng có 3 điểm nào thẳng hàng và tương ứng với 17 nhà khoa học đến dự họp. Đoạn thẳng nối giữa hai điểm tương ứng với hai nhà khoa học:
- Cùng biết tiếng Anh được tô màu xanh. - Cùng biết tiếng Nga được tô màu đỏ. - Cùng biết tiếng Pháp được tơ màu vàng.
Khi đó được đồ thị đầy đủ gồm G3 gồm 17 đỉnh, các cạnh được tô bằng 3 màu, nên theo định lý 2.5.4, tương ứng với n= 3, đồ thị G3 có chu trình tam giác cùng màu. Do đó ba nhà khoa học tương ứng với ba đỉnh thuộc chu trình này biết cùng một ngoại ngữ.
Bài tốn 2.5.4. Chứng minh rằng trong khơng gian có 6 đường thẳng, trong đó khơng có 3 đường thẳng nào đồng qui tại một điểm, khơng có 3 đường thẳng nào đồng phẳng và khơng có 3 đường thẳng nào song song, thì nhất định có 3 đường thẳng đơi một chéo nhau.
Ta chuyển bài toán về dạng đồ thị bằng cách lấy 6 điểm khơng có 3 điểm nào thẳng hàng và tương ứng với 6 đường thẳng đã cho. Mỗi cặp điểm được nối bằng một đoạn thẳng màu xanh khi và chỉ khi các đường thẳng tương ứng với chúng chéo nhau. Các cặp điểm cịn lại được nối bằng một đoạn thẳng tơ màu đỏ. Ta được một đồ thị G đầy đủ gồm 6 đỉnh và các cạnh được tô bằng hai màu: xanh, đỏ; theo định lý 2.5.4, đồ thị G có tam giác cùng màu. Theo điều kiện đầu bài ba đường thẳng bất kỳ đều có hai đường thẳng chéo nhau, nên tam giác tùy ý có đỉnh là các điểm đã chọn đều có ít nhất một cạnh màu xanh nên tam giác cùng màu phải là tam giác màu xanh. Ba đường thẳng tương ứng với 3 đỉnh của tam giác xanh sẽ chéo nhau đơi một.
Bài tốn 2.5.5. (xem [6]) Cho n điểm trên mặt phẳng sao cho khơng có ba điểm nào thẳng hàng. Một số cặp điểm được nối bằng các đoạn thẳng tô màu xanh hoặc đỏ, sao cho hai điểm bất kỳ đều được nối với nhau bằng một đường gấp khúc duy nhất gồm các đoạn thẳng đã được tô màu.
Chứng minh rằng có thể tơ nốt các đoạn thẳng cịn lại (có hai đầu tại n
điểm đã cho) bằng màu xanh hoặc đỏ, để bất kỳ tam giác nào (có các đỉnh tại
n điểm đã cho) cũng có số cạnh tơ đỏ là lẻ.
Giải.
Coi mỗi điểm đã cho là 1 đỉnh, còn các cạnh là các đoạn thẳng đã nối giữa các cặp điểm của đồ thị G. Theo điều kiện đầu bài G liên thông nên giữa hai đỉnh được nối bằng một xích duy nhất và các cạnh của đồ thị được tô bằng hai màu.
Giả sử x, y là hai đỉnh không kề nhau. Ta bổ sung và đồ thị G cạnh nối x
với y và tô màu cho cạnh này như sau:
Ký hiệu D(x, y) là xích duy nhất nối giữa x và y. Khi đó:
- Cạnh (x, y) được tơ màu xanh, nếu D(x, y) có một số lẻ cạnh xanh; - Cạnh (x, y) được tô màu đỏ, nếu D(x, y) có một số chẵn cạnh xanh; Rõ ràng cách tô màu này phù hợp với cả trường hợpD(x, y)trùng với(x, y),
Xét chu trình tam giác bất kỳ(x, y, z, x). Ta sẽ chỉ ra rằng: có thể chọn thêm
một đỉnh a, sao cho các đường đã tô màu trước đó D(x, a), D(y, a), D(z, a)
khơng có đỉnh chung nào khác đỉnh a (a có thể trùng với x, y, z, chẳng hạn a
trùng với x. Khi đó D(x, a) là một đỉnh. Thật vậy, từ z đi theo xích D(z, x)
cho đến khi gặp được D(x, y)tại một đỉnh. Đó chính là đỉnh a (nếu khơng gặp các đỉnh trên đường đi, thì sẽ gặp ở đầu mút x). Ký hiệu p, q, r là số cạnh tơ màu xanh của các xích D(x, a, y) D(y, a, z), D(z, a, x). Theo cách chọn màu,
số các cạnh tơ màu xanh của chu trình(x, y, z, x)đúng bằng số các số lẻ bộ ba
p, q, r.
Do mỗi cạnh tô xanh của D(a, x), D(a, y), D(a, x) được tính hai lần, nên
p+q+r là một số chẵn. Bởi vậy các số lẻ trong bộ ba p, q, r là số chẵn. Do đó số cạnh xanh của chu trình tam giác (x, y, z, x) chẵn. Từ đó suy ra số cạnh đỏ của chu trình này phải lẻ.
Bài tốn 2.5.6. Có 5 thành phố, từ mỗi thành phố có đường hàng khơng đến một số thành phố khác. Biết rằng cứ 3 thành phố bất kỳ trong 5 thành phố đó thì chỉ có 2 thành phố có đường hàng khơng với nhau. Chứng minh rằng:
a) Mỗi thành phố được nối bằng đường hàng không với đúng hai thành phố khác.
b) Từ mỗi thành phố bất kỳ có thể theo các đường hàng khơng đi qua các thành phố cịn lại đúng một lần và quay về thành phố ban đầu.
Giải.
Biểu thị 5 thành phố là 5 đỉnh A, B, C, D, E của đồ thị 5 đỉnh G. Giữa hai
thành phố nào đó có đường hàng khơng thì cạnh nối hai đỉnh tương ứng được tơ màu đỏ, cịn nếu khơng có đường hàng khơng thì tơ màu xanh.
Vậy G là đồ thị đầy đủ 5 đỉnh có cạnh tơ bằng 2 màu: đỏ - xanh.
Lấy ba thành phố bất kỳ, chẳng hạn A, B, C. Vì có 2 thành phố nối với nhau bằng đường hàng khơng nên có một cạnh tơ màu đỏ, và tương tự có 2 cạnh tơ màu xanh. Do đó G khơng có tam giác cùng màu.
Như vậy, trong 4 cạnh có đầu mút tại mỗi đỉnh đã cho phải có 2 và chỉ 2 cạnh màu đỏ (vì nếu tại đỉnh A có 3 cạnh AB, AC, AD cùng màu đỏ thì do
một trong 3 cạnh BC, CD, DB có màu đỏ nên sẽ có một tam giác có 3 cạnh màu đỏ, trái giả thiết. Suy ra ý a) được chứng minh.
Hình 2.19
Để chứng minh ý b), ta chứng minh rằng trong đồ thị G có một chu trình sơ cấp (với cạnh màu đỏ) qua tất cả các đỉnh A, B, C, D, E.
1. Giả sử tại A, có AB và AE được tơ màu đỏ, cịn AC vàAD được tơ màu xanh. Khi đó (hình 2.20a) CD phải là màu đỏ (tam giác ACD) và BE phải là màu xanh (tam giác ABE).
Hình 2.20
- Nếu cạnh ED được tơ màu đỏ thì cạnh EC được tơ màu xanh (tam giác
CDE), suy raBC được tô màu đỏ (tam giác BEC) vàABCDEA là chu trình cần tìm (hình 2.20b).
- Nếu cạnh EC được tơ màu xanh thì cạnh CE được tơ màu đỏ (tam giác
CDE) và BD đỏ (tam giác BDE) và ABDCEA là chu trình cần tìm (hình 2.20c)
2. Nếu tại A có hai cạnh AB và AD được tơ màu đỏ cịn cạnh AC và AE
Khi đó, nếu cạnh ED màu đỏ thì cạnh CD màu xanh và BC đỏ, ta có chu trình ABCEDA; cịn nếu ED màu xanh thì CD màu đỏ, suy ra BE màu đỏ và ta có chu trình ABECDA (hình 2.21b).
Hình 2.21
Như vậy, trong mọi trường hợp ta đều có chu trình có cạnh màu đỏ cần tìm. Ý b) được chứng minh.
Từ bài tốn trên ta có kết quả: Cho đồ thị G đầy đủ có 5 đỉnh và các cạnh được tô một trong hai màu (xanh, đỏ). Nếu trong G khơng có tam giác nào có 3 cạnh cùng màu thì G có thể biểu diễn đồ thị dưới dạng ngũ giác lồi có các cạnh cùng màu đỏ (hoặc xanh) và các đường chéo cùng màu xanh (hoặc đỏ).
Bài tốn 2.5.7. Chứng tỏ rằng trong một nhóm 9 người mà tất cả bộ 3 người bất kì trong nhóm quen nhau từng đơi thì có thể chọn ra 4 người quen nhau từng đơi.
Giải.
Mỗi một người có thể đặt tương ứng với một đỉnh của đồ thị. Nối các đỉnh của đồ thị này tạo nên đồ thị 9 đỉnh đầy đủ. Tô màu xanh cho cạnh mà hai người tương ứng quen nhau, màu đỏ cho cạnh mà hai người tương ứng khơng quen nhau. Theo điều kiện bài ra thì trong đồ thị đã tơ màu các cạnh như vậy, sẽ khơng có một tam giác mà các cạnh tồn màu đỏ.
Yêu cầu đề bài cần chứng minh tỏ rằng có một tứ giác mà các cạnh và đường chéo được tô màu xanh.
Giả sử trong đồ thị có đỉnh A mà qua A có lớn hơn 3 cạnh màu đỏ. Chọn trong đó 4 cạnh màu đỏ: AB, AC, AD, AE. Khi đó 2 trong 4 người tương ứng
B, C, D, E phải quen nhau từng đơi (vì nếu có 2 người, chẳng hạn B, C khơng quen nhau thì tam giác ABC có các cạnh màu đỏ). Khi đó tứ giác BCDE có các cạnh và đường chéo tô màu xanh. Trường hợp này được giải.
Vì khơng thể qua mỗi đỉnh của đồ thị này có đúng 3 cạnh màu đỏ (bởi vì nếu có như vậy thì xét đồ thị 9 đỉnh này với các cạnh tô màu đỏ ta được đồ thị 9 đỉnh mà bậc mỗi đỉnh bằng 3 (là lẻ) trái định lý 2.1.2).
Vậy trường hợp còn lại phải xét là: trong các đỉnh của đồ thị, có đỉnh có 6
2 cạnh đỏ đi qua. Giả sử đỉnh đó là A. Bỏ đi đỉnh A ở đồ thị và các đỉnh nối với A bằng cạnh màu đỏ, cũng như bỏ các cạnh qua đỉnh này ta có đồ thị > 6 đỉnh. Theo định lý 2.5.4, tìm được một tam giác, giả sử là tam giác BCD có các cạnh cùng màu. Màu này khơng thể là màu đỏ (theo giả thiết), vậy đó là màu xanh. Vì AB, AC, AD là các cạnh màu xanh nên ABCD là tứ giác cần tìm.
Vậy bài tốn được giải.
Bài tốn 2.5.8. Trong hội nghị chun đề về ngơn ngữ của quốc tế có nngười tham dự. Biết rằng trong 4 người bất kỳ ln có một người mà anh ta có thể nói chuyện trực tiếp với mỗi một trong 3 người kia bằng một thứ tiếng nào đó. Chứng tỏ rằng trong hội nghị ln có một người có thể nói chuyện trực tiếp với mỗi người còn lại.
Giải.
Thiết lập đồ thị tương ứng là đồ thị n đỉnh, có các cạnh được tơ bởi một trong hai màu (màu xanh cho hai người tương ứng có thể nói chuyện với nhau trực tiếp và màu đỏ trong trường hợp ngược lại). Theo đề bài thì trong 4 đỉnh bất kỳ ln có ít nhất một đỉnh nối với ba đỉnh còn lại bằng 3 cạnh màu xanh. Ta sẽ chứng tỏ rằng trong đồ thị có đỉnh mà mọi cạnh qua nó màu xanh.
Trường hợp mà mọi cạnh đồ thị đều có màu xanh, bài tốn là tầm thường, đỉnh cần tìm là bất kỳ đỉnh nào cũng được.
Giả sử có cạnh AB màu đỏ. Xét thêm hai đỉnh C và D khác. Trong 4 đỉnh có 3 cạnh màu xanh đi qua chỉ là C hoặc D, có thể giả sử đó là C. Ta chứng
tỏ rằngC là đỉnh cần tìm. Thật vậy, lấy E là đỉnh bất kỳ khác A, B, D. Trong
4 đỉnh A, B, C, E đỉnh có 3 cạnh xanh đi qua phải là C hoặc E, và vì vậy bao