2 Đồ thị và một số bài toán phổ thông
2.5 Bài tốn liên quan đến đồ thị tơ màu
2.5.3 Thuật tốn tìm sắc số
Nhờ các kết quả trên dễ dàng phát hiện được những đồ thị 2 - sắc, song đối với các đồ thị loại khác, ta chưa có một phương pháp tổng quát để xác định sắc số của chúng. Tuy vậy, đã có một số phương pháp đặc thù, cho phép xác định sắc số của những lớp đồ thị nhất định.
Phương pháp thực nghiệm
Thoạt đầu dùng p màu tùy ý: 1,2, . . . , p để tơ trên các đỉnh. Sau đó tìm cách loại dần từng màu một trong các màu đã tô (mà người ta gọi chúng là các “màu tới hạn”), cho tới khi khơng có khẳ năng loại trừ, ta sẽ được sắc số của đồ thị.
Muốn vậy, ta xét đỉnh x có “màu tới hạn” nào đó và các thành phần liên thông: C1i,k = (X1, E1), C2i,k = (X2, E2), . . . , Cti,k = (Xt, Et) của đồ thị con sinh bởi hai màu ivà k. Dùng T(x)để ký hiệu tập đỉnh hoặc có cạnh hoặc có cung nối với x. Xét các giao Xs ∩T(x) (16 s 6t). Có bốn khả năng xảy ra:
1) Nếu tất cả các tập đỉnh Xs∩T(x) (1 6 s6 t)đều cùng một màu. Chẳng hạn màu i thì ta dùng màu i để tơ lên các đỉnh có màu k và dùng màu k tơ lên các đỉnh có màu i trong mỗi tập Xs (1 6 s 6 t) đồng thời dùng màu i tô lên đỉnh x.
2) Nếu như trong các tập Xs∩T(x) (16 s6 t)có một số tập màu ivà các tập màu cịn lại màu k, chẳng hạn các tậpX1∩T(x), X2∩T(x), . . . , Xp∩T(x)
màu i, còn các tập Xp+1∩T(x), . . . , Xt∩T(x)màu k. Khi đó các tập Xs (1 6
s6 p) giữ nguyên màu ở các đỉnh, trong các tập Xs (p+ 16 s6 t) ta đổi các đỉnh màu i sang màu k và màu k sang màu ivà dùng màu k để tô lên đỉnh x.
3) Nếu Xs ∩T(x) = ∅ (1 6 s 6 t) ta dùng một màu trong hai màu i hoặc
k để tô lên đỉnh x.
Trong cả ba trường hợp trên ta đều thay được “màu tới hạn” ở đỉnh x bằng một màu khác đã dùng để tô trên đỉnh của đồ thị, nên số màu đã giảm đi một. 4) Nếu có một trong những tập Xs ∩ T(x) (1 6 s 6 t) mà hai màu, thì khơng có khả năng áp dụng thuật tốn này.
Phương pháp chứng minh cận trên và cận dưới.
Phương pháp này thích hợp với những đồ thị chứa ít đỉnh. Thuật toán gồm hai bước:
1. Chứng minh cận dưới. Nhờ các định lí 2.5.1, 2.5.2, 2.5.3, hệ quả 2.5.1 hoặc bằng lí luận trực tiếp chỉ ra rằng:
γ(G)> p. (2.6)
2. Chứng minh cận trên.Bằng cách tô trực tiếp chỉ ra rằng với pmàu đủ để tô trên các đỉnh, sao cho hai đỉnh kề nhau tùy ý đều có màu khác nhau, nghĩa là:
γ(G)6 p. (2.7)
Khi đó suy ra rằng sắc số γ(G) của đồ thị G bằng p.