Trong những năm gần đây, mơ hình Inokuti-Harayama [19] thƣờng đƣợc sử
dụng để khảo sát định lƣợng q trình truyền năng lƣợng giữa các tâm có bản chất giống nhau. Khi nồng độ pha tạp thấp, quá trình truyền năng lƣợng giữa các ion kích hoạt quang là khơng đáng kể thì đƣờng cong suy giảm huỳnh quang là có dạng hàm e mũ đơn (single-exponential). Khi nồng độ pha tạp đủ cao, khoảng cách giữa các ion giảm, tƣơng tác đa cực giữa các ion trở nên đáng kể, sao cho xảy ra quá trình truyền năng lƣợng giữa các ion bị kích thích (gọi là tâm đono D) và các ion chƣa bị kích thích (gọi là tâm axepto A). Kết quả là đƣờng cong suy giảm huỳnh quang khơng có dạng hàm e mũ đơn, mà có dạng phức tạp hơn. Với giả thiết quá trình truyền năng lƣợng đƣợc thực hiện theo cơ chế tƣơng tác đa cực mạnh giữa các tâm đono D và tâm axepto A, bỏ qua quá trình khuếch tán năng lƣợng giữa các tâm đono D, Inokuti-Harayama đã chứng minh rằng sau khi ngừng xung kích thích, cƣờng độ huỳnh quang suy giảm theo biểu thức sau:
( ) (1.15)
trong đó t là thời gian sau khi ngừng kích th ch, τ0 là thời gian sống của các tâm đono D khi khơng có các tâm axepto A, nghĩa là khi khơng có sự truyền năng lƣợng, S = 6, 8 hay 10 phụ thuộc vào cơ chế tƣơng tác là lƣỡng cực-lƣỡng cực, lƣỡng cực-tứ cực hay tứ cực-tứ cực, Q là thông số truyền năng lƣợng đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
( ) ( ) (1.16)
trong đó là hàm gamma, giá trị của nó bằng 1,77 với S = 6; 1,43 với S = 8 và
1,30 vơi S = 10; CA là nồng độ tâm axepto xấp xỉ bằng nơng độ của tâm kích hoạt
quang RE; là thông số tƣơng tác giữa đono và axepto.
Năm 1967 Yokota-Tanimoto [36] đƣa ra mơ hình trong đó chỉ khảo sát tƣơng
lƣợng giữa các đono (tức là quá trình truyền năng lƣợng giữa các tâm đono) và nhận đƣợc biểu thức của đƣờng cong suy giảm huỳnh quang:
[
(
) ] (1.17)
với và D là hệ số khuếch tán.
Sau này (1999, 2002) mơ hình Yokota-Tanimoto đã đƣợc Lavin và Martin [23,26] tổng quát hóa trong đó xét đến cả hai quá trình: khuếch tán năng lƣợng giữa các tâm đono và truyền năng lƣợng theo cơ chế tƣơng tác đa cực giữa các tâm đono và axepto. Lavin và Martin đã nhận đƣợc biểu thức sau đối với đƣờng cong suy giảm huỳnh quang:
[ (
) ] (1.18)
trong đó là các hệ số Pade, các hệ số này phụ thuộc cơ chế tƣơng tác và
đƣợc cho trong tài liệu [23,26]. Từ phƣơng trình tổng quát (1.18), nếu cho hệ số khuếch tán D = 0, ta nhận đƣợc biểu thức của mơ hình Inokuti-Harayama, cịn nếu cho S = 6, ta nhận đƣợc biểu thức của mơ hình Yokota-Tanimoto.
Nhƣ vậy, bằng cách làm khớp (fitting) đƣờng cong suy giảm huỳnh quang thực nghiệm theo mơ hình Yokota-Tanimoto tổng qt, ta có thể xác định đƣợc cơ chế và các thông số truyền năng lƣợng.