2.2 Dãy số
2.2.2 Bài toán về dãy con
Nếu ta chọn một phần các số hạng trong một dãy và giữ nguyên thứ tự của chúng, ta có được một dãy con từ dãy gốc. Điều này được thể
hiện chính xác hơn như sau: Một dãyB = (b1,b2, . . .)là dãy con của dãy
A = (a1,a2, . . .) nếu mỗi chỉ số k của B tồn tại một chỉ số ik của A sao
cho bk = aik, trong đó ik > ik−1 cho k > 1. Vì ta đã xác định dãy con là một dãy với các tính chất nhất định, rõ ràng thuật ngữ dãy con vơ hạn và và dãy con (hữu hạn) độ dài ncó nghĩa.
Bài 2.2.5. Chứng minh rằng từ dãy bất kỳ gồm 101 số nguyên khác nhau, ta có thể chọn một dãy con tăng hoặc giảm có độ dài 11, tức là một dãy con b1,b2, . . . ,b11 mà trong đó hoặc b1 < b2 < . . . < b11 hoặc b1 > b2 >
. . . > b11 xảy ra.
Giải. Ký hiệu dãy đã cho là a1,a2, . . . ,a101. Với mỗi k = 1, 2, . . . , 101 ta tìm chiều dài lớn nhất n = nk của tất cả các dãy con b1,b2, . . . ,bn trong
đó b1 < b2 < . . . < bn = ak. Nếu nk > 10với mọi k ∈ {1, 2, . . . , 101}, thì
việc chứng minh hồn thành. Ngược lại, có 101 số ngun nk trong tập 10 phần tử {1, 2, . . . , 10}. Do đó bằng nguyên lý chuồng chim bồ câu có
11 chỉ số k1 < k2 < . . . < k11 sao cho nk1 = nk2 = . . . = nk11. Lưu ý rằng số nk có tính chất sau: Nếu k < k0 vàak < ak0, thì nk0 ≥ nk+1. (Thực tế, mỗi dãy conb1 < b2 < . . . < bn = ak có thể được mở rộng theo số hạng bn+1 = ak0). Đối với các chỉ số k1,k2, . . . ,k11 điều này có nghĩa là khơng có bất kỳ bất đẳng thức nào trong chuỗiak1 < ak2 < . . . < ak11 có thể xảy ra; tức là, ta có ak1 > ak2 > . . . > ak11 (nhắc lại là các số a1,a2, . . . ,a101
khác nhau). Bài toán được chứng minh.
Bài 2.2.6. Chứng minh rằng với ba dãy vô hạn bất kỳ(a1,a2, . . .),(b1,b2, . . .)
và (c1,c2, . . .) gồm các số nguyên dương, tồn tại chỉ số p > q sao cho
ap ≥ aq,bp ≥ bq vàcp ≥ cq xảy ra đồng thời.
Giải. Đầu tiên từ một dãy vô hạn (x1,x2, . . .) các số nguyên dương bất kỳ, ta chỉ ra cách chọn một dãy con vô hạn (y1,y2, . . .) không giảm, tức là nó thỏa mãn điều kiệnyk ≤ yk+1 với mọik ≥ 1.Ta sử dụng phép quy nạp và tập đầu tiên lày1 = x1.Bây giờ giả sử vớin ≥ 1 ta chọn được các số
y1 = xi1 ≤ y2 = xi2 ≤ . . . ≤ yn = xin, khii1 < i2 < . . . < in
và giả sử rằng không thể chọn được số yn+1. Điều này có nghĩa là xi <
1, 2, . . . ,yn−1 phải bằng vô hạn số hạng xi (với chỉ số i > in); do đó từ
dãy (x1,x2, . . .) ta có thể chọn một dãy con khơng giảm vơ hạn gồm các
số bằng nhau(y,y, . . .).
Bây giờ ta dễ dàng chứng minh khẳng định của bài toán. Đầu tiên, ta chọn từ dãy (a1,a2, . . .) một dãy con vô hạn không giảm (ai1,ai2, . . .); sau đó ta lấy dãy (bi1,bi2, . . .) và chọn một dãy con vô hạn không giảm
(bj1,bj2, . . .), và cuối cùng ta chọn từ dãy(cj1,cj2, . . .)một dãy con vô hạn
không giảm(ck1,ck2, . . .). Vì dãy con bất kỳ của một dãy khơng giảm thì khơng giảm, nên cho dãy các chỉ sốk1 < k2 < . . .vừa có được ta có
ak1 ≤ ak2 ≤ ak3 ≤ . . . , bk1 ≤ bk2 ≤ bk3 ≤ . . . , ck1 ≤ ck2 ≤ ck3 ≤ . . . ,
kết quả trên còn mạnh hơn điều phải chứng minh.
Bài 2.2.7. Chứng minh rằng từ một dãy số thực tùy ý (a1,a2, . . . ,an) ta có thể chọn một phần các số hạng sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn:
(a) Từ mỗi bộ ba số hạng ai,ai+1,ai+2với (1 ≤ i ≤ n−2) thì một hoặc hai số hạng được chọn,
(b) giá trị tuyệt đối của tổng tất cả các số hạng được chọn không nhỏ hơn
1
6(|a1|+|a2|+. . .+|an|).
Giải.Ta chia dãy đã cho thành ba phần,
X1 = (a1,a4,a7, . . .),X2 = (a2,a5,a8, . . .),X3 = (a3,a6,a9, . . .),
và giả định rằnga1+a2+. . .+an ≥ 0(mặt khác, ta thay thế mỗi số hạng ai bằng giá trị đảo dấu của nó, điều này khơng ảnh hưởng đến bài toán). Ta xét sáu dãy sốX1∪(X2∩R+),X1∪(X3∩R+),X2∪(X1∩R+),X2∪ (X3∩R+),X3 ∪(X1 ∩R+), và X3∪(X2∩R+), khi đó tốn tử được sử dụng phải được hiểu như sau: X∩R+) là dãy con bao gồm tất cả các số hạng dương của dãy X; nếu Y = (xi1,xi2 . . .) và Z = (xj1,xj2. . .) là hai
dãy con của cùng một dãy (x1,x2, . . .), thì ta đặt Y∪Z = (xk1,xk2 . . .), trong đó k1 < k2 < . . . là sự sắp xếp tăng dần của tập {i1,i2, . . .} ∪
{j1,j2, . . .}. Các dãyX1,X2,X3 được chọn sao cho một trong sáu dãy con
được giới thiệu ở trên có thuộc tính (a); bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng một số trong số chúng cũng có thuộc tính (b). Với mục đích này, ta ký hiệu s+i , tương ứng s−i , là tổng các số hạng dương, tương ứng số hạng âm, của
dãy Xi,i = 1, 2, 3.Ta phải chứng minh rằng ít nhất một trong sáu số
s+1 +s−1 +s2+,s+1 +s1−+s3+,s+2 +s−2 +s1+,
s+2 +s−2 +s3+,s+3 +s3−+s1+,s+3 +s−3 +s2+, (2.3) không nhỏ hơn 16(s+1 −s−1 +s2+−s−2 +s+3 −s−3 ). Để làm điều này, kiểm tra rằng tổng S gồm sáu số trong (2.3) thỏa mãn S ≥ s+1 −s−1 +s+2 −
s2−+s+3 −s−3 , tức làS = 4(s1++s+2 +s+3 ) +2(s1−+s−2 +s−3 ) ≥ s+1 −s−1 + s2+−s−2 +s+3 −s3− là đủ. Nhưng bất đẳng thức này tương đương với
s+1 +s−1 +s+2 +s2−+s+3 +s−3 ≥ 0,
điều này xảy ra vì vế trái là a1+ a2 +. . .+an, được giả định là không
âm.