2.2 Dãy số
2.2.3 Lựa chọn dãy con
Các bài toán sau đây yêu cầu ta yêu cầu chọn từ các dãy cho trước một dãy con với các thuộc tính quy định (chủ yếu liên quan đến tổng các số hạng của nó). Để bắt đầu, ta làm rõ cụm từ “. . .một số số hạng ai có thể được chọn sao cho tổngScủa chúng. . .” không loại trừ trường hợp mà một số hạng đơnai được chọn; do đó rõ ràng “tổng” ta nên dùngS = ai,
Bài 2.2.8. Giả sử tổng các số nguyên dương a1,a2, . . . ,an bằng 2n trong đó số nguyên lớn nhất khác n+1. Chứng minh rằng nếu n là chẵn, thì từ dãya1,a2, . . . ,an ta có thể chọn một số số hạng có tổng bằng n.
Giải. Ta có thể liệt kê các số đã cho là 1 ≤ a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an. Từ điều kiện an = 2n−(a1+ a2+. . .+an−1) ≤ 2n−(n−1) ≤ n+1 với an 6= n+1 suy ra an ≤ n. Tiếp theo, rõ ràng ta chỉ cần xét trường hợp khơng có số nào
chia hết chon, vì từ1 ≤ Si < 2nvà n | Si suy ra Si = n. Hơn nữa, ta giả định rằng sốa1−ancũng khơng chia hết chon, vì từ−n+1 ≤ a1−an ≤
0 và n | (a1 −an) suy ra a1 −an = 0, tức là, a1 = a2 = . . . = an = 2, và do đó Si = n với i = n2 (nlà số lẻ). Do đó khơng có số nào của tập n phần tử
M = {a1−an,S1,S2, . . . ,Sn−1}
chia hết cho n. Bằng nguyên lý chuồng chim bồ câu, hai số trong M có cùng số dư khi chia cho n. Nếu đó là hai số Si,Sj (i < j), thì theo 0 < Sj −Si < 2nta có
n = Sj −Si = ai+1+ai+2+. . .+aj;
nếu đó là hai số a1 −an và Si, thì hoặc an = n (nếu i = 1) và ta chọn số nguyên đơn an, hoặc
n | Si −(a1−an) = a2+a3+. . .+ai+an (nếu1 < i ≤ n−1)
có nghĩa là a2+a3+. . .+ai +an = n. Bài toán được chứng minh.
Bài 2.2.9. Giả sử rằng các số nguyên dương x1,x2, . . . ,xn,y1,y2, . . . ,ym thỏa mãn tổngx1+x2+. . .+xn vày1+y2+. . .+ym bằng nhau và nhỏ hơnm·n. Chứng minh rằng từ phương trình
x1+x2+. . .+xn = y1+y2+. . .+ym (2.4)
ta có thể loại bỏ một số (nhưng không phải tất cả) số hạng sao cho phương trình vẫn đúng.
Giải. Ký hiệu s là giá trị chung cả hai vế của (2.4) và chứng minh bằng quy nạp theo số nguyênk = m+n. Vìmax{m,n} ≤ s < mn, ta cóm ≥ 2
và n ≥ 2, và do đó k ≥ 4. Nếu k = 4, thì m = n = 2 và s < 2·2 = 4,
có nghĩa là từ phương trình x1 +x2 = y1+y2 ta có thể loại bỏ số 1 từ cả hai vế. Nếu k > 4, ta thực hiện phép quy nạp bằng cách viết lại (2.4) dưới dạng
(x1−y1) +x2+. . .+xn = y2+y3+. . .+ym (2.5)
làm giảm giá trị của k thêm 1 đơn vị. Khi làm điều này, ta giả sử rằng x1 (tương ứng y1) là lớn nhất trong các số xi (tương ứng yi); điều này có
thể đạt được bằng cách thay đổi thứ tự của chúng. Hơn nữa, ta giả định rằng x1 > y1 (nếu x1 = y1, thì ta chỉ cần loại bỏ cặp x1,y1 từ cả hai vế của (2.4); nếu x1 < y1, ta có thể quy nó về trường hợp x1 > y1 bằng cách đổi hai vế của (2.4)). Theo giả thiết quy nạp, ta có thể loại bỏ các số hạng thích hợp từ phương trình (2.5) miễn là tổngs0 = y2+y3+. . .+ym thỏa mãn s0 < n(m−1). Nhưng điều này đảm bảo bởi kết quả rằng y1 là số lớn nhất trong các sốyt: Từs = y1+y2+. . .+ym theo đóy1 ≥ ms, và do đó s0 = s−y1 ≤ m−1m s < n(m−1), vì s < mn.
Ta kết thúc bài toán này bằng cách nhận xét rằng từ một cách khử chấp nhận được các số hạng trong (2.5), ta có thể thu được một cách khử thích hợp trong (2.4), trong đó hai số hạng x1,y1 bị xóa khi và chỉ khi số hạng(x1−y1)nằm trong các số hạng bị xóa trong (2.5). Tất cả các cách khử khác đều giống nhau trong (2.4) và (2.5).
Bài 2.2.10. Giả sử rằng tổng của tất cả 2n số hạng gồm các số thực của
dãyx1,x2, . . . ,x2nbằng A, và khơng có số|xi+1−xi|, 1 ≤ i ≤ 2n−1, nào
vượt quá số dươngε. Chứng minh rằngnsố hạng của dãyx1,x2, . . . ,x2n có thể được chọn sao cho tổng S của chúng thỏa mãn bất đẳng thức
|S− A2| ≤ ε
2.
Giải.Với mỗi dãy con c = (xi1,xi2, . . . ,xin), trong đó1 ≤ i1 < . . . < in ≤
2n, ta đặt S(c) = (xi1 +xi2 +. . .+xin), và ta ký hiệu M là tập tất cả các
dãy con có chiều dài n. Ta chứng minh rằng |S(c) − A2| ≤ ε
2 với c ∈ M. Hai phần tử c = (xi1,xi2, . . . ,xin) và d = (xj1,xj2, . . . ,xjn) sẽ được gọi là lân cận nếu |i1− j1|+|i2−j2|+. . .+|in− jn| = 1. Theo giả thiết ta có
|S(c)−S(d)| ≤ εvới mọi phần tử lân cậnc,d ∈ M. Dễ dàng viết một dãy
c1,c2, . . . ,cn2 gồm các phần tử của M, trong đó hai số hạng lân cận bất
kỳ kề nhau, trong đó c1 = (x1,x2, . . . ,xn) vàcn2 = (xn+1,xn+2, . . . ,x2n). Điều này có thể được thực hiện, ví dụ như sau: Đầu tiên ta đổi số hạng xn trong c1 từng bước một thành xn+1,xn+2, . . . ,x2n, sau đó ta đổi xn−1
thànhxn,xn+1, . . . ,x2n−1, v.v., cho đến cuối cùngx1được thay đổi thành x2,x3, . . . ,xn+1. Vì S(c1) +S(cn2) = A, số A2 nằm giữa S(c1) và S(cn2), và do đó cũng nằm giữa S(ck) và S(ck+1) với k ∈ {1, 2, . . . ,n2 −1}. Vì
với k như trên ta có S(ck)− A 2 + S(ck+1)− A 2 = |S(c k+1) −S(ck)| ≤ ε
ít nhất một trong hai số|S(ck) − A2|,|S(ck+1)− A2|nhiều nhất bằng ε
2