2.2 Dãy số
2.2.4 Nhóm các số hạng lân cận
Trong giới thiệu về phần này, ta đã đề cập đến các số hạng lân cận của một dãy. Bây giờ ta khái quát khái niệm này như sau: Một dãy con
ai,a+1, . . . ,ai+k−1của một dãy a1,a2, . . .được gọi là bộ k số hạng lân cận
của dãy đã cho. Nếu ta không muốn định rõ chiều dài của nó k ≥ 1, ta xem nó như là một nhóm các số hạng lân cận (hoặc liên tiếp).
Bài 2.2.11. Tìmk lớn nhất sao cho k ≤ 10mà ta có thể đặtk chữ số khác nhau trên đường tròn của một hình trịn sao cho cặp chữ số lân cận bất kỳ tạo thành (theo thứ tự thích hợp) một số nguyên chia hết cho 7.
Hình 2.2
Giải.Ta xác định các cặp có thể có của các chữ số lân cận bằng cách viết tất cả các bội số của 7 với tối đa hai kí tự 07, 14, 21, . . . , 98. Điều này có thể được biểu diễn trên Hình 2.2, trong đó mỗi cạnh giữa hai kí tự có nghĩa là những kí tự này tạo thành một bội số của 7. Như ta thấy hình vẽ bao gồm ba phần liên thơng (thành phần). Vì rõ ràng là ta chỉ có thể đặt các chữ số của cùng một thành phần trên đường trịn của hình trịn, ta thu được cậnk ≤ 5. Thực tế, giá trịk = 5 có thể đạt được, ví dụ bằng dãy số 1, 2, 4, 8, 9 (có thể tìm được bởi một đường đi đóng thích hợp dọc
Bài 2.2.12. Giả sử số nguyênklớn hơn số nguyên dươngn, nhưng không phải là bội của n. Chứng minh rằng tồn tại một dãy gồm các số thực có chiều dài k với thuộc tính như sau: Tổng của n số hạng liên tiếp bất kỳ âm, trong khi tổng của tất cảk số hạng dương.
Giải.Để cho dễ dàng ta tìm dãy có dạng
x1,x2, . . . ,xn,x1,x2, . . . ,xn, . . . ,
khi đó tất cả tổng nsố hạng liên tiếp cùng bằng A = x1+x2+. . .+xn. Để biểu diễn tổng Bcủa tất cả ksố hạng của dãy trên, ta chia kchonvới phần dư: k = np+q (p,q ∈ N, 0 < q < n). Do đó B = pA+x1 +x2 +
. . .+xq và ta thấy rằng nó dễ dàng thỏa mãn các điều kiện A < 0,B > 0:
Chỉ cần đặt x1 = p+1,xi = 0(1 < i < n), và xn = −p−2; thì A = −1
vàB = 1
Bài 2.2.13. Giả sử rằng dãy a1,a2, . . . ,am và b1,b2, . . . ,bn gồm các số nguyên dương thỏa mãn bất đẳng thức ai ≤ n (1 ≤ i ≤ m) và bi ≤
m (1 ≤ i ≤ n). Chứng minh rằng từ một trong hai dãy có thể chọn một nhóm các số hạng lân cận sao cho tổng các số trong cả hai nhóm đều bằng nhau.
Giải. Đặt A(i) = a1+. . .+ai (1 ≤ i ≤ m), B(i) = b1+. . .+bi (1 ≤ i ≤
n) và giả sử rằng A(m) ≥ B(n) (trong trường hợp A(m) < B(n) ta đổi chỗ hai dãy). Với mọii = 1, 2, . . . ,ntồn tại một chỉ số nhỏ nhấtksao cho A(k) ≥ B(i); ta ký hiệu nó làki. Vì A(ki) = A(ki−1) +aki < B(i) +n, tất cảnsố di = A(ki)−B(i) nằm trong tập{0, 1, . . . ,n−1}. Nếudi = 0với mọii, thì ta hồn thành chứng minh a1+a2+. . .+aki = b1+b2+. . .+ bi; mặt khác theo nguyên lý chuồng chim bồ câu, tồn tại chỉ số i,j(1 ≤
i < j ≤ n)sao chodi = dj, và do đóB(j)−B(i) = A(kj)−A(ki). Nhưng điều này có nghĩa làbi+1+bi+2+. . .+bj = aki+1+aki+2+. . .+akj