CHƢƠNG 4 : PHỤC THUỘC HÀM
2. HỆ LUẬT DẪNARMSTRONG
a. Phụ thuộc hàm được suy diễn logic từ F: Nói rằng phụ thuộc hàm X Y Nói rằng phụ thuộc hàm X Y đƣợc suy diễn logic từ F nếu một quan hệ r thỏa mãn tất cả các phụ thuộc hàm của F thì cũng thỏa phụ thuộc hàm X Y. Ký hiệu F|= X Y.
Bao đóng của F ký hiệu F+
là tập tất cả các phụ thuộc hàm đƣợc suy diễn logic từ F.
Các tính chất của tập F+
1.Tính phản xạ: Với mọi tập phụ thuộc hàm F+
ta luôn luôn có F F+ 2. Tính đơn điệu: Nếu F G thì F+ G+
3. Tính lũy đẳng: Với mọi tập phụ thuộc hàm F ta luôn luôn có (F+
)+ = F+. Gọi G là tập tất cả các phụ thuộc hàm có thể có của r, phần phụ của F ký hiệu F-
= G - F+
Chứng minh
1. X YF r thỏa X YX YF+ 2. Nếu X Y là phụ thuộc hàm thuộc F+
ta phải chứng minh X Y thuộc G+
Giả sử r thỏa tất cả các phụ thuộc hàm của G (1)
r thỏa tất cả phụ thuộc hàm của F vì F G
r thỏa phụ thuộc hàm X Y (2) vì X Yẻ F+ (1) và (2) X YG+ F+ G+
3. F F+ (tính phản xạ) F+ (F+)+ (1) Nếu X Y ( F+)+ (2) X Y ẻF+ thật vậy:(3) Giả sử r thỏa tất cả các phụ thuộc hàm của F (4)
r thỏa tất cả các phụ thuộc hàm của F+ (theo định nghĩa)
r thỏa tất cả các phụ thuộc hàm của (F+)+ (theo định nghĩa)
r thỏa X Y (vì (2)) X Y F+ (1) và (3) (F+)+ = F+
b. Hệ luật dẫn Armstrong
Hệ luật dẫn là một phát biểu cho biết nếu một quan hệ r thỏa mãn một vài phụ thuộc hàm thì nó phải thỏa mãn phụ thuộc hàm khác.
Với X, Y, Z, W là tập con của Q+. r là quan hệ bất kỳ của Q. Ta có 6 luật dẫn sau:
1. Luật phản xạ (reflexive rule): XX X Y X Y
Quy tắc này đƣa ra những phụ thuộc hàm hiển nhiên (phụ thuộc hàm tầm thường), đó là những phụ thuộc hàm mà vế trái bao hàm cả vế phải. Những phụ thuộc hàm hiển nhiên đều đúng trong mọi quan hệ.
2. Luật thêm vào (augmentation rule):
61
3. Luật hợp (union rule):
Cho X Y, X Z X YZ
4. Luật phân rã (decomposition rule):
Cho X YZ X Y
5. Luật bắc cầu (transitive rule):
Cho X Y, Y ZXZ
6. Luật bắc cầu giả (pseudo transitive rule):
Cho X Y, YZ W XZ W
Hệ tiên đề Armstrong (Armstrong‟s Axioms) gồm 3 luật: (1), (2) và (5)
Chứng minh
Với t1, t2 là hai bộ bất kỳ của quan hệ r
Luật phản xạ: Ta có (t1.X = t2.X t1.X = t2.X) theo định nghĩa suy ra X X
Luật thêm vào: giả sử có t1.XZ = t2.XZ (1)
t1.X= t2.X
t1.Y= t2.Y (do X Y) (2)
XZ Y (do (1) (2))
Luật hợp: giả sử có t1.X= t2.X (1)
t1.X= t2.X và t1.Z = t2.Z (2)
X YZ (do (1) ị (2))
Luật phân rã: giả sử có: t1.X = t2.X (1)
t1.YZ = t2.YZ (do X YZ) t1.Y = t2.Y (2)
X Y (do (1) (2))
Luật bắc cầu: giả sử có t1.X = t2.X (1)
t1.Y= t2.Y
t1.Z= t2.Z (2)
X Z (do (1) (2))
Luật bắc cầu giả: giả sử có: t1.XZ = t2.XZ (1)
t1.X = t2.X và t1.Z = t2.Z (2)
t1.Y= t2.Y (do X Y) (3)
t1.YZ= t2.YZ (Kết hợp (2) và (3))
t1.YW =t2.W (do YZ W) (4)
XZ W
Trong 6 luật trên, chỉ cần 3 luật 1, 2 và 6 là đủ, nghĩa là các luật còn lại có thể suy dẫn từ ba luật này.
62
Nói rằng X Y là phụ thuộc hàm đƣợc suy diễn nhờ vào luật dẫn Armstrong nếu tồn tại các tập phụ thuộc hàm F0 F1... Fn sao cho X Y Fn với F0,F1,...,Fn lần lƣợt đƣợc hình thành thỏa phƣơng pháp sau:
Bƣớc 1: F0 = F
Bƣơc 2: chọn một số phụ thuộc hàm trong Fi áp dụng hệ luật dẫn Armstrong
để thu đƣợc một số phụ thuộc hàm mới. Đặt Fi+1= Fi {các phụ thuộc hàm mới}
Ví dụ 3.4: Cho F ={AB C, C B, BCA} thì có F0 F1 F2 sao cho CAF2 F0 = {AB C,C B, BC A} áp dụng luật hợp cho C B và C C F1 = {AB C, C B, BC A, C BC} áp dụng luật bắc cầu.
F2 = {AB C, C B, BC A, C BC, C A}
Hệ quả:
Hệ luật dẫn Armstrong là đúng nghĩa là nếu F là tập các phụ thuộc hàm đúng trên quan hệ r và X Y là một phụ thuộc hàm đƣợc suy diễn từ F nhờ hệ luật dẫn Armstrong thì X Y đúng trên quan hệ r. Vậy X Y là phụ thuộc hàm đƣợc suy diễn logic từ F
Phần tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh hệ luật dẫn Armstrong là đầy đủ, nghĩa là mọi phụ thuộc hàm X Y đƣợc suy diễn logic từ F sẽ đƣợc suy diễn từ F nhờ hệ luật dẫn Armstrong.
