Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc

2.3 Biến đổi Wavelet rời rạc (Discrete wavelet transform)

2.3.3 Phân tích đa phân giải sử dụng băng lọc

Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu các bộ lọc được sử dụng phổ biến. Wavelet có thể được thực hiện bởi các bộ lọc lặp đi lặp lại với tỷ lệ thay đổi. Độ phân giải của tín hiệu là tiêu chuẩn để đánh giá lượng thơng tin chi tiết trong tín hiệu. Độ phân giải của tín hiệu được xác định bởi các quá trình lọc, và tỷ lệ được xác định bởi sự phân

chia (upsampling) và nội suy (downsampling) còn gọi là quá trình lấy mẫu con

(subsampling).

Biến đổi Wavelet rời rạc được tính tốn bởi q trình lọc thơng thấp và thơng cao liên tiếp của tín hiệu rời rạc theo thời gian, được gọi là thuật toán Mallat hay sự

phân tích cây Mallat (Mallat-tree decomposition). Ý nghĩa quan trọng của thuật

toán Mallat là thuật toán này đã kết nối sự đa phân giải liên tục theo thời gian với các bộ lọc rời rạc.

Thuật toán DWT:

Khởi đầu: Chiếu tín hiệu lên , với j được xác định bởi tần số lấy mẫu. Trong thực tế, thực hiện thay thế các hệ số tỷ lệ với các giá trị mẫu.

24

1. Chia các hệ số xấp xỉ thành hai phần xấp xỉ và chi tiết nhờ sử dụng  và

 2. Thay đổi tỷ lệ các hệ số xấp xỉ

3. Tiếp tục chia phần xấp xỉ thành hai phần xấp xỉ và chi tiết như bước (1)

4. Lặp lại bước (2) và (3)cho đến khi đạt được kết quả thoả mãn.

H H H G G G

(a) Q trình phân tích

G G G H H H (b) Q trình tổng hợp

Hình 2-2 Thu t tốn hình chóp hay thuậ ật tốn mã hố băng con

Trong hình vẽ 2-2, tín hiệu được được bi u th b i dãy ể ị ở 󰇟󰇠, với  là s nguyên. ố

B l c thông cao và b l c thông thộ ọ ộ ọ ấp được bi u diể ễn tương ứng là và . m  Ở ỗi m c, b l c thông cao ứ ộ ọ  đưa ra thông tin chi tiết 󰇟󰇠 trong khi b l c thông thộ ọ ấp

25

Ở mỗi mức phân tích, các bộ lọc nửa dải (half band filter) đưa ra các tín hiệu kéo dài duy nhất nửa băng tần. Các bộ lọc này làm tăng độ phân giải tần số lên gấp đơi vì tính bất định của tần số được giảm đi một nửa.

Theo lu t Nyquist nậ ếu như tín hiệu nguyên b n có t n s góc cao nhả ầ ố ất  rad/s yêu c u t n s góc l y m u là ầ ầ ố ấ ẫ , v y khi t n s góc cao nh t là ậ ầ ố ấ 

thì t n s góc l y m u s ầ ố ấ ẫ ẽ là , do vậy loại bỏ một nửa số mẫu cần lấy mà không gây ra sự mất mát thông tin. Việc lấy mẫu con với hệ số chia 2 làm giảm một nửa độ phân giải thời gian vì tồn bộ tín hiệu bây giờ được biểu diễn trên chỉ một nửa số lượng mẫu.

Như vậy, độ phân giải thời gian đạt được tốt ở các tần số cao, trong khi độ phân giải tần số lại trở nên tốt hơn ở các tần số thấp. Quá trình lọc và phân chia là liên tiếp nhau cho đến khi đạt được mức yêu cầu. Số lượng tối đa các mức phụ thuộc vào độ dài của tín hiệu.

Biến đổi Wavelet r i r c c a tín hiờ ạ ủ ệu thu được nh s xâu chu i (concatenating) ờ ự ỗ

các hệ ố s 󰇟󰇠 và 󰇟󰇠, bắt đầu từ mức cuối cùng của q trình phân tích.

Hình 2.9b biểu diễn q trình khơi phục tín hiệu nguyên bản từ các hệ số

Wavelet.

Về cơ bản, q trình khơi phục là sự đảo ngược của của q trình phân tích. Các hệ số xấp xỉ và các hệ số chi tiết ở mọi mức được nội suy bởi hệ số 2, qua các bộ lọc tổng hợp thơng thấp và thơng cao và sau đó được gộp vào với nhau.

Quá trình tiếp tục cho đến đạt được cùng số mức thu được trong quá trình phân tích tín hiệu nguyên bản.

Phương pháp tốt nhất để mơ tả quy trình trên cũng như đưa ra một quy trình hiệu quả để xác định các hệ số wavelet là biểu diễn phép toán của các bộ lọc.

Trở ạ l i hai bi u th c (2.41) và (2.44) trong phể ứ ần trước, m i liên h gi a  ỗ ệ ữ và :

26

Dãy 󰇛󰇜 được biết đến như là bộ ọ l c thông th p trong khi dãy ấ 󰇛󰇜 là bộ lọc thông cao. Các bộ lọc thuộc họ các bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn (FIR).

Các tính chất sau có thể được chứng minh sử dụng biến đổi Fourier và tính trực

giao:

 󰇛󰇜    󰇛󰇜   13) (2.

V i dãy ớ   󰇝󰇞 đại diện cho tín hiệu rời rạc cần được phân tích và các tốn t ử  và được xác định bởi các biểu thức:

󰇛 󰇜   󰇛  󰇜 󰇛󰇜 14) (2.

󰇛 󰇜    󰇛  󰇜 󰇛 󰇜 15) (2.

Các biểu thức (2.47), (2.48) biễu diễn phép lọc tín hiệu qua các b l c s ộ ọ ố 󰇛󰇜 󰇛󰇜 tương ứng với các phép toán tích chập với đáp ứng xung của các bộ lọc.

Hệ số 2k đại diện cho phép phân chia (downsampling). Các toán tử H và G tương ứng với bước trong phân tích wavelet.

Như vậy biến đổi wavelet rời rạc có thể tóm tắt như sau (hình 2.10):

  󰇛      󰇜       16) (2.

Chúng ta có thể gọi các hệ số       là các hệ số chi tiết và  là

hệ số xấp xỉ với  ,  

Quy trình khơi phục tín hiệu cũng tương tự như phân tích. Tín hiệu ở mọi mức được nội suy (upsampled) với hệ số 2, qua các bộ lọc tổng hợp ký hiệu 



  (thơng cao và thơng thấp tương ứng), sau đó được cộng với nhau. Các tốn tử 

   được xác định như sau: 󰇛󰇜   󰇛  󰇜󰇛󰇜 17) (2. 󰇛󰇜  󰇛  󰇜󰇛󰇜 18) (2. Áp dụng đệ quy ta có:    󰇛󰇜  󰇛󰇜  19) (2.

27

trong miền thời gian:  󰇛󰇜  󰇛󰇜,  và C được gọi là các chi tiết và xấp xỉ.