BIỂU DIỄN VÀ PHÂN TÍCH HỆ THỐNG RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ
4.2.1. QUAN HỆ VÀO RA TRONG MIỀN TẦN SỐ
4.2.2. TÍNH HÀM đÁP ỨNG TẦN SỐ
Trong phần trước, phương pháp trong miền tần số ựã ựược dùng ựể xác ựịnh ựáp ứng xác lập của hệ thống LTI ổn ựịnh với tắn hiệu vào tuần hồn, phương pháp này cĩ thể ựược tổng quát hĩa ựể giải các bài tốn tắnh ựáp ứng trạng thái khơng của tắn hiệu cĩ năng lượng hữu hạn khơng tuần hồn. Cơng cụ tốn học ựược dùng là biến ựổi Fourier của tắn hiệu rời rạc.
4.2.1. QUAN HỆ VÀO - RA TRONG MIỀN TẦN SỐ
Xét một hệ thống LTI cĩ ựáp ứng xung h(n) ựược kắch thắch bởi tắn hiệu cĩ năng lượng hữu hạn x(n). đáp ứng của hệ thống là :
Pt(4.27) chắnh là quan hệ vào - ra trong miền tần số. Theo ựĩ, phổ của tắn hiệu ra bằng phổ của tắn hiệu vào nhân với ựáp ứng tần số của hệ thống.
Quan hệ này cĩ thể ựược viết ựược dưới dạng cực :
Kết quả, biên ựộ và pha của Y(ω) là :
Y(ω)=H(ω)X(ω) (4.29) và ∠Y(ω) = ∠X(ω) + ∠H(ω) (4.30) hay θy(ω) = θx(ω) + θh(ω) (4.31)
Về bản chất, tắn hiệu khơng tuần hồn cĩ năng lượng hữu hạn cĩ phổ bao gồm một dải tần liên tục. Hệ thống LTI thơng qua hàm ựáp ứng tần số của nĩ, làm suy giảm một số thành phần tần số nào ựĩ của tắn hiệu vào ựồng thời cĩ thể khuếch ựại các thành phần tần số khác. đồ thị của |H(ω)| cĩ thể cho ta biết ựược các vùng tần số này. Mặt khác, gĩc pha của H(ω) xác ựịnh sự dịch pha của tắn hiệu vào khi ựi qua hệ thống như một hàm của tần số.
Ta thấy, tắn hiệu ra của một hệ thống LTI khơng chứa các thành phần tần số mà nĩ khơng cĩ trong tắn hiệu vào. Nghĩa là, hệ thống khơng sinh ra các thành phần tần số mới (hệ thống biến ựổi theo thời gian hoặc phi tuyến tắnh sẽ sinh ra các thành phần tần số khơng chứa trong tắn hiệu vào)
Hình 4.3 minh họa một hệ thống LTI ổn ựịnh (BIBO)-nghỉ với các phương pháp phân tắch trong miền thời gian và miền tần số. Ta thấy, phân tắch trong miền thời gian xử lý bằng tổng chập giữa tắn hiệu vào và ựáp ứng xung ựể thu ựược ựáp ứng của hệ thống trong miền thời gian, ngược lại, phân tắch trong miền tần số, ta sẽ xử lý phổ X(ω) của tắn hiệu và ựáp ứng tần số H(ω) thơng qua phép nhân ựể thu ựược phổ của tắn hiệu ở ngã ra của hệ thống. Một cách tương ựương, ta cĩ thể dùng biến ựổi Z của tắn hiệu vào X(z) và hàm truyền ựạt H(z) ựể thu ựược biến ựổi Z của tắn hiệu ra Y(z) và tìm ựáp ứng y(n) qua biến ựổi Z ngược.
Trở lại quan hệ (4.27), giả sử rằng ta ựã cĩ Y(ω), ta sẽ tìm biểu thức của tắn hiệu ra trong miền thời gian bằng biến ựổ Fourier ngược.
Ở ựây Syy(ω) và Sxx(ω) lần lượt là phổ mật ựộ năng lượng của y(n) và x(n) ta cĩ quan hệ Parseral cho năng lượng của tắn hiệu ra, ựĩ là :
Vắ dụ 4.6 :
Cho một hệ thống LTI ựược ựặc tả bởi ựáp ứng xung :
Xác ựịnh phổ và phổ mật ựộ năng lượng của tắn hiệu ra, khi hệ thống ựược kắch thắch bởi tắn hiệu :
4.2.2. TÍNH HÀM đÁP ỨNG TẦN SỐ
Nếu ựáp ứng xung h(n) của hệ thống LTI ựã ựược biết, hàm ựáp ứng tần số H(ω) ựược tắnh từ cơng thức biến ựổi Fourier
Nếu hệ thống ựược mơ tả bởi phương trình sai phân tuyến tắnh hệ số bằng :
H(ω) thu ựược bằng cách tắnh H(z) trên vịng trịn ựơn vị :
Ta thấy H(ω) chỉ phụ thuộc vào các hệ số{ }ak
và{ }bk
đặc biệt ựối với hệ thống thuần zero (FIR) nghĩa là ak = 0, k = 1,2, ... N thì H(ω) cĩ dạng :
điều này phù hợp với hệ thống FIR ựã ựề cập ở chương 1, cĩ ựáp ứng xung là:
Nếu hệ thống thuần cực hay thuần ựệ qui nghĩa là bk = 0, k = 1,2, ..., M; H(ω) cĩ dạng :
Nếu hệ thống là hệ cực - zero, ựược mơ tả bởi phương trình sai phân (4.36). Hàm truyền ựạt H(z) cĩ thể viết dưới dạng tắch :
Trong ựĩ z1, z2 ... zM là M zero khác khơng của H(z) và p1, p2, ... pN là N cực khác khơng của H(z). G là một hằng số.
Hàm ựáp ứng tần số H(ω) cĩ ựược bằng cách tắnh H(z) trên vịng trịn ựơn vị (thay z = ejω). Ta cĩ :
Khi ựĩ, biên ựộ của H(ω) là :
Pha của H(ω) là tổng pha của các thừa số ở tử số trừ cho tổng pha của các thừa số ở mẫu số cộng cho pha của G và cộng ω (N - M). Ta cĩ :
∠H(ω) = ∠G + ω(N - M) + θ1(ω) + θ2(ω) +
... + θM(ω) - [φ1(ω) + φ2(ω) + ... + φN(ω)] (4.49) Trong ựĩ, pha của G là 0 khi G dương và là π khi G âm.
Rõ ràng, khi biết ựược các cực và zero của hàm hệ thống H(z), ta cĩ thể tắnh ựáp ứng tần số từ các pt(4.48) vàpt(4.49), cách tắnh này rõ ràng là khá phức tạp, nhưng nĩ thuận lợi khi tìm thuật tốn cho một chương trình máy tắnh.
Hình 4.4 trình bày cách biểu diễn tương ựương của các hệ thống mắc song song và mắc liên tiếp trong miền thời gian và miền tần số.
Vắ dụ 4.7 : Lọc Hanning
Xác ựịnh và vẽ ựồ thị ựáp ứng biên ựộ, ựáp ứng pha của hệ thống FIR ựược ựặc tả bởi phương trình sai phân (hệ thống trung bình di ựộng).
Giải :
Áp dụng phương trình (4.39) ta ựược :
Hình 4.5 vẽ ựồ thị của ựáp ứng biên ựộ và ựáp ứng pha của hệ thống này. Ta thấy lọc Hanning cĩ ựặc tuyến ựáp ứng tần số của một bộ lọc hạ thơng.
đáp ứng biên ựộ bằng 1 ở ω = 0 (dc) và suy giảm ựến 0, ở ω =π. đáp ứng pha của nĩ là một hàm tuyến tắnh theo tần số. Bộ lọc ựơn giản này ựược dùng ựể Ổlàm trơnỖ (smooth) dữ liệu trong nhiều ứng dụng.
4.3. Hệ thống LTI và mạch số lọc
4.3.1. LỌC CHỌN TẦN LÝ TƯỞNG