THEO THỜI GIAN
Như ựã ựề cập ở chương 1, lấy mẫu tắn hiệu trong miền thời gian là khâu quan trọng trong việc xử lý tắn hiệu tương tự bằng kỹ thuật xử lý tắn hiệu số. Mặt khác, tắn hiệu cũng cĩ thể ựược xử lý trong miền tần số. Trong trường hợp tắn hiệu ựược xử lý là tắn hiệu khơng tuần hồn cĩ năng lượng hữu hạn, phổ của nĩ là liên tục. Vì vậy cũng cần phải lấy mẫu trong miền tần số.
3.5.1. Lấy mẫu trong miền thời gian và khơi phục tắn hiệu tương tự.
Gọi xa(t) là tắn hiệu tương tự cần xử lý. Giả sử tắn hiệu này ựược lấy mẫu tuần hồn với chu kỳ lấy mẫu là TS, tắn hiệu rời rạc thu ựược là :
x(n) = xa(nTS) , - ∞ < n < ∞ (3.142) Các mẫu sau ựĩ ựược lượng tử hĩa trở thành tắn hiệu số. Trong các khảo sát sau này, ta giả sử số mức lượng tử ựủ lớn ựể cĩ thể bỏ qua sai số lượng tử trong quá trình biến ựổi A/D.
Ta sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa phổ của tắn hiệu liên tục xa(t) và phổ của tắn hiệu rời rạc x(n).
Nếu xa(t) là một tắn hiệu khơng tuần hồn cĩ năng lượng hữu hạn, thì phổ của nĩ ựược cho bởi cơng thức biến ựổi Fourier.
(3.143)
Ngược lại, tắn hiệu xa(t) cĩ thể ựược phục hồi từ phổ của nĩ bằng biến ựổi Fourier ngược :
(3.144) Chú ý rằng, việc tắnh tốn ựược thực hiện trên tất cả các thành phần tần số trong một dải tần vơ hạn - ∞ < F < ∞ là cần thiết cho sự khơi phục tắn hiệu tương tự, nếu tắn hiệu cĩ băng tần khơng giới hạn.
Phổ của tắn hiệu rời rạc x(n) ựược cho bởi :
Hay: (3.145) Dãy x(n) cĩ thể ựược khơi phục từ phổ X(ω) hoặc X(f) bằng biến ựổi ngược:
Hay (3.146) Quan hệ giữa các biến thời gian t và n trong sự lấy mẫu tuần hồn là : t = nTS = (3.147)
Tương ứng ta cĩ mối quan hệ giữa các biến tần số F và f bằng cách thay pt(3.147) vào pt(3.144).
(3.148) So sánh pt(3.146) với pt (3.148) ta cĩ :
(3.149)
Từùụ mối quan hệ giữa F và f, ựĩ là f =, ta thực hiện một sự biến ựổi ựơn giản cho vế trái của pt(3.149) và thu ựược :
(3.150)
Tắch phân trong vế phải của pt(3.150) cĩ thể viết dưới dạng tổng vơ hạn của các tắch phân ựược lấy trong khoảng FS, ta cĩ :
(3.151)
Ta thấy rằng Xa(F) trong khoảng tần số bằng với Xa(F - kFS) trong khoảng , kết hợp với tắnh tuần hồn của hồn mũ phức:
ta ựược kết quả là :
(3.152)
Liên kết các pt(3.152), pt(3.151) và pt(3.150) ta thu ựược :
(3.153)
Từ pt(3.153) hay pt(3.154) ta thấy ựược mối quan hệ giữa phổ X(F/Fs ) hay X(f) của tắn hiệu rời rạc với phổ Xa(F) của tắn hiệu liên tục. Vế phải của các phương trình này bao gồm sự lặp lại một cách tuần hồn của FsXa(F) với chu kỳ Fs. Sự tuần hồn này là hợp lý, bởi vì như ta ựã biết, phổ X(f) hay X(F/Fs) của tắn hiệu rời rạc là tuần hồn với chu kỳ fp = 1 hay Fp = FS.
Giả sử phổ Xa(F) của một tắn hiệu cĩ băng tần giới hạn xa(t) ựược trình bày trong hình 3.19a. Theo ựĩ, phổ bằng 0 khi|F|.
Nếu tần số lấy mẫu ựược chọn Fs > 2B thì phổ X(F/Fs) của tắn hiệu rời rạc sẽ xuất hiện như hình 3.19b. Vậy, nếu tần số lấy mẫu Fs ựược chọn lớn hơn tần số Nyquist (2B) thì :
X(F/Fs) = FSXa(F) , |F| ≤Fs /2 (3.155)
Trong trường hợp này khơng cĩ sự biệt d../Anh (aliasing), và do ựĩ phổ tắn hiệu rời rạc ựồng dạng với phổ của tắn hiệu tương tự nhân với thừa số Fs trong dải tần cơ bảnF| ≤Fs /2 ( tương ựương với |F| ≤Fs /2).
Ngược lại, nếu tần số FS ựược chọn sao cho Fs < 2B thì sự xếp chồng tuần hồn của Xa(F) sẽ ựưa ựến sự chồng lấp phổ (spectral ovelap) (hình 3.19c và d). Do ựĩ, phổ của X(F/Fs) của tắn hiệu rời rạc chứa các thành phần tần số biệt d../Anh (aliasing) của phổ Xa(F) của tắn hiệu tương tự. Hiện tượng biệt d../Anh xuất hiện và ta khơng thể khơi phục tắn hiệu tương tự từ các mẫu của nĩ.Cho một tắn hiệu rời rạc x(n) với phổ là X(F/Fs) (hình 3.19b), khơng cĩ hiện tượng biệt d../Anh, ta cĩ thể khơi phục lại tắn hiệu tương tự từ các mẫu x(n).
Ta cĩ :
(3.156)
Với X(F/Fs) là: (3.157) Biến ựổi ngược của Xa(F) là :
(3.158)
Giả sử rằng Fs = 2B thay thế phương (3.156) và phương trình (3.157) vào phương trình (3.158) ta ựược :
(3.159)
Trong ựĩ : x(n) = xa(nTs) và là thời khoảng lấy mẫu. Pt(3.159) ựược gọi là cơng thức nội suy lý tưởng (ideal interpolation formula) dùng ựể khơi phục xa(t) từ các mẫu của nĩ.
Hàm: (3.160) ựược gọi là hàm nội suy, như ựã ựề cập ở chương 1.
Cơng thức (3.159) là cơ sở cho ựịnh lý lấy mẫu ựã ựược phát biểu ở chương 1, ựĩ là:
Một tắn hiệu liên tục cĩ băng tần hữu hạn, với tần số cao nhất là B Hz, cĩ thể ựược khơi phục một cách duy nhất từ các mẫu của nĩ mà ựã ựược lấy mẫu với tốc ựộ lấy mẫu là FS ≥ 2B mẫu/giây.
Vừa rồi, ta ựã thảo luận về vấn ựề lấy mẫu và khơi phục các tắn hiệu tương tự cĩ băng tần hữu hạn. Vấn ựề này sẽ như thế nào ựối với tắn hiệu cĩ băng tần vơ hạn, ta hãy xét trường hợp này trong vắ dụ sau ựây.
Vắ dụ 3.9 : Sự lấy mẫu một tắn hiệu cĩ băng tần khơng giới hạn Xét tắn hiệu liên tục: xa(t) = xa(t) = e-At ; A > 0
Phổ của nĩ ựược cho bởi :
Hãy xác ựịnh phổ của tắn hiệu lấy mẫu : x(n) ≡ xa(nT)
Giải :
Nếu ta lấy mẫu xa(t) với tần số lấy mẫu là Fs = 1/Ts, ta cĩ : x(n) = xa(nTS) = e-ATs|n| = (e-ATs)n ; -∞ < n < ∞
Phổ của x(n) tìm ựược một cách dễ dàng bằng cách áp dụng trực tiếp cơng thức biến ựổi Fourier. Ta tắnh ựược :
Vì cos2πFTS = cos2π() tuần hồn theo F với chu kỳ Fs, nên X() cũng tuần hồn với chu kỳ Fs.
Vì Xa(F) khơng ựược giới hạn băng tần, nên khơng thể tránh ựược hiện tượng biệt d../Anh, phổ của tắn hiệu ựược khơi phục : (t) là :
Hình 3.20a vẽ tắn hiệu nguyên thủy xa(t) và phổ Xa(t) của nĩ với A = 1. Tắn hiệu x(n) và phổ X() của nĩ ựược vẽ trong hình 3.20b, với Fs=1Hz. Méo dạng do biệt d../Anh (aliasing) rõ ràng là ựáng chú ý trong miền tần số. Tắn hiệu ựược khơi phục Xa ựược vẽ trong hình 3.20c. Sự méo dạng do chồng phổ ựược làm giảm một cách ựáng kể khi tăng tần số lấy mẫu. Chẳng hạn tăng tần số lấy mẫu lên ựến Fs = 20 Hz, tắn hiệu ựược khơi phục cĩ dạng gần giống với tắn hiệu nguyên thủy ựược vẽ trong hình 3.20d.
3.5.2. LẤY MẪU TRONG MIẾN TẦN SỐ VÀ KHƠI PHỤC TÍN HIỆU RỜI RẠC THEO THỜI GIAN RỜI RẠC THEO THỜI GIAN
Nhắc lại rằng, tắn hiệu năng lượng hữu hạn khơng tuần hồn cĩ phổ liên tục. Ta xét một tắn hiệu rời rạc khơng tuần hồn x(n) cĩ biến ựổi Fourier là :
(3.161)
Giả sử ta lấy mẫu X(ω) một cách tuần hồn trong miền tần số với khoảng cách lấy mẫu là δω (radians). Vì X(ω) tuần hồn với chu kỳ 2π nên chỉ cần khảo sát các mẫu trong một chu kỳ cơ bản, ta lấy N mẫu cách ựều trong khoảng 0 ≤ ω < 2π, khoảng cách lấy mẫu tương ứng làP (hình 3.21)
Giá trị của X(ω) ở các tần số ωk = là :
(3.162)
Tổng trong pt(3.162) cĩ thể chia thành tổng của vơ số tổng con như sau :
đổi biến m = n - lN hay n = m + lN, ta ựược:
Hốn ựổi vị trắ của 2 tổng và thay lại ký hiệu biến m bằng n, ta ựược : (3.163) Với k = 0, 1, 2, ... , N-1
đặt: (3.164)
Tắn hiệu xp(n) thu ựược bằng phép lặp tuần hồn x(n) với mỗi ựoạn N mẫu, rõ ràng nĩ tuần hồn với chu kỳ N. Vì vậy, nĩ cĩ thể khai triển thành chuỗi Fourier.
(3.165)
Với các hệ số của chuỗi Fourier ựược xác ựịnh bởi :
(3.166)
So sánh pt(3.166) với pt(3.163) ta thu ựược :
(3.167)
Do ựĩ: (3.168)
Quan hệ (3.168) cho phép ta khơi phục xp(n) từ các mẫu của phổ X(ω). Tuy nhiên, nĩ chưa cho ta thấy khả năng khơi phục X(ω) hay x(n) từ các mẫu của X(ω). để thiết lập cơng thức nội suy khơi phục X(ω) hoặc x(n) từ các mẫu của X(ω)ta xét mối quan hệ giữa x(n) và xp(n).
Vì xp(n) là sự mở rộng tuần hồn của x(n) từ pt(3.164), nên ta cĩ thể khơi phục x(n) từ xp(n) nếu khơng cĩ sự biệt d../Anh hay chồng mẫu trong miền thời gian . Xét trường hợp x(n) là một dãy cĩ ựộ dài hữu hạn và nhỏ hơn chu kỳ N của xp(n). Trường hợp này ựược minh họa trong hình 3.22 (khơng làm mất ựi tắnh tổng quát), giả sử các mẫu khác 0 của x(n) nằm trong khoảng 0 ≤ n ≤ L-1 và L ≤ N thì : x(n) = xp(n) ; 0 ≤ n ≤ N-1
Vì vậy x(n) cĩ thể khơi phục từ xp(n) mà khơng bị nhằm lẫn.
Ngược lại nếu L > N, chiều dài của dãy x(n) lớn hơn chu kỳ của xp(n) ta khơng thể khơi phục x(n) từ xp(n) bởi vì cĩ sự chồng mẫu trong miền thời gian.
Kết luận : Phổ của một tắn hiệu rời rạc khơng tuần hồn cĩ ựộ dài hữu hạn x(n) hay chắnh x(n) cĩ thể ựược khơi phục một cách chắnh xác từ các mẫu của phổ ở các tần số, nếu chiều dài L của x(n) nhỏ hơn N, N là số mẫu ựược lấy trong khoảng tần số 2π.
(3.169) Sau cùng X(ω) cĩ thể ựược tắnh từ pt(3.161)
Phổ X(ω) ựược xem như là một tắn hiệu liên tục theo ω, nĩ cĩ thể ựược biểu diễn bằng các mẫu X() của nĩ k = 0, 1, ...., N-1. Giả sử rằng N≥L, khi ựĩ x(n) = xp(n) với 0 ≤ n ≤ N-1, từ pt(3.168) ta cĩ :
(3.170)
Thay pt(3.170) và pt(3.161) ta ựược :
= (3.171)
Tổng bên trong dấu ngoặc của pt(3.171) là một hàm nội suy cơ bản ựược dịch trong miền tần số. Thật vậy ta ựịnh nghĩa hàm:
(3.172)
Pt(3.170) ựược viết lại :
(3.173)
Pt(3.173) là cơng thức nội suy dùng ựể khơi phục X(ω) từ các mẫu của nĩ.
Hàm nội suy P(ω) cĩ dạng ựồ thị ựược vẽ trong hình 3.23 Vắ dụ 3.10 :
Xét tắn hiệu : x(n) = anu(n) , 0 < a < 1 phổ của tắn hiệu này ựược lấy mẫu ở các tần số (k =, k = 0, 1, ..., N-1. Xác ựịnh phổ ựược khơi phục với a=0,8 khi N=5 và N = 50.
Giải :
Thay a = 0,8 và ω = ωk = , ta ựược :
Dãy tuần hồn xp(n) tương ứng với các mẫu X(), k = 0, 1, ..., N-1 thu ựược từ pt(3.168), và: , vớin = 0, 1, ..., N-1
Kết quả ựược minh họa trong hình 3.24 với N = 5 và N = 50. để cĩ sự so sánh, dãy nguyên thủy x(n) và phổ của nĩ cũng ựược vẽ. Ảnh hưởng của hiện tượng chồng mẫu khá rõ trong trường hợp N = 5. Trong trường hợp N=50 ảnh hưởng do sự chồng mẫu rất yếu và kết quả xỖ(n) ≈ x(n), với n=0, 1, 2, ..., N-1.
3.6 BIẾN đỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT DISCRETE FOURIER TRANFORM)
3.6.1. KHÁI NIỆM:
3.6.2. QUAN HỆ GIỮA DFT VÀ CÁC BIẾN đỔI KHÁC
3.6.2.1. Quan hệ giữa DFT với các hệ số chuỗi Fourier của dãy tuần hồn 3.6.2.2. Quan hệ giữa DFT với phổ của của dãy cĩ ựộ dài hữu hạn
3.6.2.3. Quan hệ giữa DFT và biến ựổi Z
3.6.3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIẾN đỔI FOURIER RỜI RẠC 3.6.3.1. Phép dịch vịng và tắnh ựối xứng vịng của một dãy: 3.6.3.2. Chập vịng của 2 dãy:
3.6.3.3. Các tắnh chất của DFT 1/. Tắnh chất tuyến tắnh 2/. Tắnh chất ựảo thời gian: 3/. Tắnh chất dịch vịng thời gian 4/. Tắnh chất dịch vịng tần số 5/. Tắnh chất liên hợp phức 6/. Tắnh chất chập vịng 7/. Tắnh chất tương quan vịng 8/. Tắnh chất nhân hai dãy 9/. định lý Parseval
10/. Tắnh chất ựối xứng của DFT 3.6.1. KHÁI NIỆM:
Trong phần trước, ta ựã trình bày về sự lấy mẫu trong miền tần số của một tắn hiệu cĩ năng lượng hữu hạn khơng tuần hồn. Nĩi chung, các mẫu X() của biến ựổi Fourier X(ω), với k = 0,1, ... N-1 khơng ựặc trưng cho sự duy nhất của dãy x(n) khi x(n) là một dãy cĩ ựộ dài vơ hạn. Thay vào ựĩ, các mẫu tần số X() này lại tương ứng với một dãy tuần hồn xp(n) cĩ chu kỳ N. Ở ựây, xp(n) là dãy ựược tạo
ra từ sự xếp chồng tuần tuần của x(n). Như ựã ựược xác ựịnh bởi phương trình (3.164) ựĩ là :
(3.174)
Khi x(n) cĩ chiều dài hữu hạn L ≤ N thì xp(n) chắnh là sự lặp lại tuần hồn của x(n), trong một chu kỳ xp(n) ựược xác ựịnh bởi :
(3.175)
Ngược lại, dãy x(n) cĩ thể ựược khơi phục lại từ xp(n) bằng cách cắt lấy một chu kỳ của xp(n) nghĩa là :
Cần khẳng ựịnh lại rằng x(n) chỉ cĩ thể khơi phục lại từ xp(n) khi L ≤ N và lúc này ta coi như x(n) cĩ ựộ dài N bằng cách thêm vào các mẫu cĩ giá trị 0 ở các thời ựiểm L ≤ n ≤ N-1. Khi ựĩ, trong miền tần số các mẫu của X(ω) là X(), với k = 0,1, ... N-1, biểu diễn một cách duy nhất dãy cĩ ựộ dài hữu hạn x(n).
Ta cĩ thể ựược khơi phục X(ω) từ các mẫu bằng
cơng thức nội suy (3.173).
Tĩm lại, một dãy x(n) cĩ ựộ dài hữu hạn cĩ biến ựổi Fourier là :
(3.177)
Trong ựĩ các chỉ số trên và dưới của tổng hàm ý rằng x(n) = 0 với các giá trị của n ở ngồi khoảng [0, LỜ1].
với k = 0,1,... N-1 với N ≤ L ta ựược :
(3.178)
để thuận tiện, chỉ số trên của tổng cĩ thể ựược tăng lên từ L-1 ựến N-1, vì x(n)=0, khi n ≥ L.
Ta cĩ : (3.179)
Quan hệ (3.179) là cơng thức biến ựổi một dãy {x(n)} cĩ ựộ dài L ≤ N trong miền thời gian thành dãy {X(K)} cĩ ựộ dài N trong miền tần số. Vì các mẫu tần số này thu ựược bằng cách tắnh biến ựổi Fourier X(ω) ở một tập N tần số rời rạc (cách ựều nhau), nên quan hệ (3.179) ựược gọi là biến ựổi Fourier rời rạc (DFT) của x(n). Ngược lại, quan hệ (3.168) cho phép ta khơi phục x(n) từ các mẫu tần số X(K)
(3.180)
Pt(3.180) ựược gọi là biến ựổi Fourier rời rạc ngược (IDFT: Inverse DFT). Khi x(n) cĩ chiều dài L < N, IDFT N ựiểm sẽ cho kết quả x(n)=0 với L≤n≤N-1. Như vậy, ta cĩ cặp cơng thức biến ựổi DFT như sau :
Vắ dụ 3.11 :
Xét một dãy cĩ chiều dài hữu hạn L ựược ựịnh nghĩa như sau :
Xác ựịnh DFT N ựiểm của dãy này với N ≥ L
Giải :
Biên ựộ và pha của X(ω) ựược vẽ trong hình 3.25 với L = 10. DFT N ựiểm của x(n) ựơn giản là giá trị của X(ω) tại tập N tần số ωk =, k = 0,1, ..N-1 , vậy :
Nếu N ựược chọn sao cho N = L, thì DFT trở thành :
Ta thấy, trong trường hợp này chỉ cĩ một giá trị khác 0 trong DFT. Ta cĩ thể kiểm tra lại rằng x(n) cĩ thể ựược khơi phục từ X(K) bằng cách thực hiện biến ựổi IDFT L ựiểm.
Mặc dù DFT L ựiểm ựủ ựể ựặc trưng một cách duy nhất cho dãy x(n) trong miền tần số, nhưng rõ ràng nĩ khơng cung cấp ựủ chi tiết ựể cĩ một hình ảnh tốt về ựặc tắnh phổ của x(n). Nếu muốn cĩ một hình ảnh tốt hơn, ta phải ước lượng X(ω) ở các tần số cĩ khoảng cách gần nhau hơn, nghĩa là ωk = , với N > L. Ta thấy cách tắnh naụy tỏơng ựỏơng với sỏỉ kéo daụi chiều daụi của dãy x(n) bằng cách thêm vào N - L mẫu cĩ giá trị bằng 0.
Hình 2.26 vẽ ựồ thị của DFT N ựiểm, biên ựộ và pha với L = 10, N = 50 và N = 100. Ta thấy ựặc tắnh phổ của dãy rõ ràng hơn.
Hình 3.26a Biên ựộ và pha của DFT N ựiểm trong vắ dụ 3.11 với L=10 và N=50
Hình 3.26 b : Biên ựộ và pha của DFT N ựiểm trong vắ dụ 3.11 với L=10 và N =100
DFT và IDFT là các biến ựổi tuyến tắnh trên các dãy {x(n)} và {X(K)}.
để thấy ựược tắnh chất này ta ựịnh nghĩa một vectơ XN(n) của các mẫu tần số và một ma trận WN bậc N x N như sau :
Với các ựịnh nghĩa này DFT N ựiểm cĩ thể ựược biểu diễn dưới dạng ma trận như sau : XN = WN xN (3.185)
Ở ựây WN là một ma trận của sự biến ựổi tuyến tắnh . Ta thấy WN là một ma trận ựối xứng. Giả sử rằng nghịch ựảo của WN tồn tại thì pt(3.185) cĩ thể viết lại như sau :
(3.186) đây chắnh là biểu thức cho IDFT
Thực ra, IDFT chobởi phương trình (3.182) cĩ thể biểu diễn dưới dạng ma trận : (3.187)
Ở ựây là ma trận liên hợp phức của WN. So sánh pt(3.187) và pt(3.156) ta suy ra : (3.188)
Pt(3.188) hàm ý rằng : WN = NIN
Với IN là ma trận ựồng dạng (ựơn vị) bậc N x N. Do ựĩ ma trận WN là một ma trận trực giao. Hơn nữa ma trận ựảo của nĩ tồn tại và bằng /N
DFT và IDFT ựĩng vai trị rất quan trọng trong nhiều ứng dụng của xứ lý tắn hiệu số như: phân tắch phổ, ước lượng phổ mật ựộ cơng suất, phân tắch tương quan, lọc tuyến tắnh ẦCĩ nhiều thuật tốn cĩ hiệu quả ựể tắnh DFT và IDFT một cách nh../Anh chĩng và chắnh xác. Trong ựĩ thuật tốn ựược sử dụng rộng rãi gọi là
biến ựổi fourier nh../Anh (FFT : Fast Fourier Transform) (Tham khảo [11], [4], [7]).
3.6.2. QUAN HỆ GIỮA DFT VÀ CÁC BIẾN đỔI KHÁC
Trong phần này ta sẽ tổng kết lại mối quan hệ của DFT với một số biến ựổi khác. 3.6.2.1. Quan hệ giữa DFT với các hệ số chuỗi Fourier của dãy tuần hồn Một dãy tuần hồn xp(n) với chu kỳ N cĩ thể biểu diễn bằng chuỗi Fourier, ta viết lại:
, với ∞ < n < ∞ (3.189) Trong ựĩ, các hệ số của chuỗi Fourier ựược cho bởi biểu thức:
, với k = 0,1, Ầ , N-1 (3.190) ựể so sánh, ta viết lại cặp biến ựổi DFT: