V ( là thểtich dung dich; m là khối lợ ng ;D là khối lợ ng riêng) D
3. Tam giỏc ABC cú AH là đường cao nờn cũng là đường phõn giỏc => ∠HA P=
∠HAQ => ( tớnh chất gúc nội tiếp ) =>∠HOP = ∠HOQ (t/c gúc ở tõm) => OH là tia phõn giỏc gúc POQ. Mà tam giỏc POQ cõn tại O ( vỡ OP và OQ cựng là bỏn kớnh) nờn suy ra OH cũng là đường cao => OH ⊥ PQ
Bài 18 Cho đường trũn (O) đường kớnh AB. Trờn đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kỡ (
H khụng trựng O, B) ; trờn đường thẳng vuụng gúc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường trũn ; MA và MB thứ tự cắt đường trũn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC.
1. Chứng minh MCID là tứ giỏc nội tiếp .
2. Chứng minh cỏc đường thẳng AD, BC, MH đồng quy tại I.
3. Gọi K là tõm đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc MCID, Chứng minh KCOH là tứ giỏc nội tiếp .
Lời giải:
1. Ta cú : ∠ACB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường trũn ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ằ ẳ HP HQ=
=>∠MCI = 900 (vỡ là hai gúc kề bự).
∠ADB = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường trũn ) =>∠MDI = 900 (vỡ là hai gúc kề bự).
=>∠MCI + ∠MDI = 1800 mà đõy là hai gúc đối của tứ giỏc MCID nờn MCID là tứ giỏc nội tiếp.
2. Theo trờn Ta cú BC ⊥ MA; AD ⊥ MB nờn BC và AD là hai đường cao của tam giỏc MAB mà BC và AD cắt nhau tại I nờn I là trực tõm của tam giỏc MAB. Theo giả thiết thỡ MH⊥AB nờn MH cũng là đường cao của tam giỏc MAB => AD, BC, MH đồng quy tại I.
3. ∆OAC cõn tại O ( vỡ OA và OC là bỏn kớnh) =>∠A1 = ∠C4∆KCM cõn tại K ( vỡ KC và KM là bỏn kớnh) =>∠M1 = ∠C1 . ∆KCM cõn tại K ( vỡ KC và KM là bỏn kớnh) =>∠M1 = ∠C1 .
Mà ∠A1 + ∠M1 = 900 ( do tam giỏc AHM vuụng tại H)
=>∠C1 + ∠C4 = 900 =>∠C3 + ∠C2 = 900 ( vỡ gúc ACM là gúc bẹt) hay ∠OCK = 900 . Xột tứ giỏc KCOH Ta cú ∠OHK = 900; ∠OCK = 900 =>∠OHK + ∠OCK = 1800 mà
∠OHK và ∠OCK là hai gúc đối nờn KCOH là tứ giỏc nội tiếp.
Bài 19. Cho đường trũn (O) đường kớnh AC. Trờn bỏn kớnh OC lấy điểm B tuỳ ý (B
khỏc O, C ). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dõy cung DE vuụng gúc với AB. Nối CD, Kẻ BI vuụng gúc với CD.
1. Chứng minh tứ giỏc BMDI nội tiếp .
2. Chứng minh tứ giỏc ADBE là hỡnh thoi.
3. Chứng minh BI // AD.
4. Chứng minh I, B, E thẳng hàng.
5. Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O’).
Lời giải:
1. ∠BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường trũn ) =>∠BID = 900 (vỡ là hai gúc kề bự); DE⊥AB tại M =>∠BMD = 900 DE⊥AB tại M =>∠BMD = 900
=>∠BID + ∠BMD = 1800 mà đõy là hai gúc đối của tứ giỏc MBID nờn MBID là tứ giỏc nội tiếp.
2. Theo giả thiết M là trung điểm của AB; DE⊥AB tại M nờn M cũng là trung điểm của DE (quan hệ đường kớnh và dõy cung)
=> Tứ giỏc ADBE là hỡnh thoi vỡ cú hai đường chộo
vuụng gúc với nhau tại trung điểm của mỗi đường .
3. ∠ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường trũn ) => AD ⊥ DC; theo trờn BI⊥DC => BI // AD. (1)