Bài toán về mặt cầu ngoại tiếp hình trụ

C. a bc   4 D a bc  1 0.

3) Bài toán về mặt cầu ngoại tiếp hình trụ

Bài toán 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A3; 2; 0 ;  B1; 2; 4. Xét hình trụ  T nội tiếp mặt cầu đường kính AB và có trục nằm trên đường thẳng AB. Khi thể tích của khối trụ  T đạt giá trị lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của

 T đi qua điểm nào dưới đây?

A. C0; 1; 2 3 . B. C1; 0; 2 3 . C. C0; 1; 2 3  . D. C1; 0; 2 3. Lời giải Lời giải Ta có AB  4; 4; 4n1; 1; 1   và 4 3 AB .

AB là đường kính mặt cầu ngoại tiếp hình trụ  T nên bán kính mặt cầu là

2 32 2

AB

R  .

Gọi I là tâm mặt cầu và O,O’ lần lượt là tâm của mặt trụ  T . Giả sử OO 2x0x2 3OIx. Suy ra bán kính hình trụ  T là 2 2 2 12 r R OI  x . O' O I x r R

Thể tích khối trụ  T là 2  2  3 12 .2 2 12 V r h x x  xx , có  2 2 12 3 0 2 V   x V  x  . Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra Vmax32 khi x2.

Khi đó, mặt phẳng chứa đáy của hình trụ  T nhận vectơ AB  4; 4; 4

là vectơ pháp tuyến (do AB trùng với trục của hình trụ  T ), suy ra n1; 1; 1  

cũng là 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đáy của hình trụ  T .

Phương trình mặt phẳng chứa đáy hình trụ  T có dạng  P :xy z m0. Mà  ,  2 1 2 1 2 3 1 2 3

3

m

d I P      m  m  .

Phương trình mặt phẳng chứa đáy hình trụ  T là  P1 :x   y z 1 2 30 và

 P2 :x   y z 1 2 30.

Vậy điểm C1; 0; 2 3 thuộc mặt phẳng  P1 :x   y z 1 2 30. Nhận xét:

Bài toán xây dựng trên cơ sở của bài toán hình học không gian tổng hợp được xây dựng trong chương 2 của hình học lớp 12 chương mặt tròn xoay: “Trong các khối trụ nội tiếp khối cầu cố định, tìm khối trụ có thể tích lớn nhất”. Việc giải bài toán này được thực hiện trên cơ sở thiết lập mối liên hệ giữa bán kính đường tròn đáy của khối trụ và chiều cao của nó. Thông qua tính chất hình học tâm I của khối cầu là trung điểm của đoạn OO' nối tâm hai đáy của khối trụ ta thiết lập được mối liên hệ

22 2 2 2

4

h

R r  để tính r theo h. Giải bài toán tọa độ không gian bằng lập phương trình mặt phẳng nhờ cách đặt dạng và công thức khoảng cách để tìm ra các hệ số của phương trình đó.

Nhận xét chung mục 2.3.3.3:

Mục này đề tài nghiên cứu mối quan hệ giữa các đối tượng mặt cầu với hình nón và hình trụ. Trên cơ sở của bài toán cực trị tìm điều kiên để thể tích các khối lớn nhất, nhỏ nhất rút ra được điều kiện cho bài toán là vị trí các điểm để xác định

Phương pháp giải cho các bài toán này là dựa vào các tính chất hình học để thiết lập mối quan hệ giữa các yếu tố đường cao và bán kính để tính thể tích, sau đó sử dụng tính chất biến thiên của hàm số hoặc bất đẳng thức để tìm điều kiện đạt cực trị cho bài toán, khi đó bài toán tọa độ không gian sẽ dựa trên kết quả có được này để lập các phương trình mặt phẳng tương ứng. Qua mục này chúng ta thấy rằng vốn dĩ bài toán cực trị đã là một bài toán khó nên để giải quyết được bài toán tọa độ trên cơ sở bài toán cực trị thì cần dạy cho học sinh thành thạo bài toán cực trị trước sau đó mới đến áp dụng bài toán tọa độ.

Nhận xét chương 2:

Trong chương 2, đề tài đã làm sáng tỏ được rất nhiều nội dung về tính chất được khai thác trong bài toán tọa độ không gian, áp dụng phương pháp tọa độ không gian vào bài toán hình học hay sử dụng bài toán cực trị hình học để phát triển bài toán tọa độ không gian. Chúng tôi đã tổng kết theo sơ đồ sau:

Qua sơ đồ này giáo viên có thể rút ra cho mình được phương pháp giải và áp dụng theo tư duy bản chất của mỗi bài toán, đó chính là tính chất hình học cốt lõi. Khi học sinh hiểu được cơ sở của tính chất cũng đồng nghĩa với việc các em đã hình thành được năng lực tư duy giải toán cho mình trong quá trình học tập. Để chứng thực tính khả thi của đề tài, chúng tôi tiến hành thực nghiệm trong chương 3 của đề tài.

Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đưa ra trong đề tài.

3.2. Đối tượng thực nghiệm

Tại trường THPT Diễn Châu 4, huyện Diễn Châu, Tỉnh Nghệ An tôi chọn lớp 12A1 làm lớp thực nghiệm và lớp 12A2 làm lớp đối chứng.

3.3. Tiến hành thực nghiệm *Nội dung thực nghiệm *Nội dung thực nghiệm Bài toán hình học

không gian tổng hợp

Bài toán tọa độ trong không gian Tính chất hình học

Bài toán cực trị hình học

Mối quan hệ hình học và biểu thức tọa độ

Chúng tôi tiến hành dạy thực nghiệm dạy học theo chủ đề bài:

“ Khai thác tính chất hình học giải bài toán tọa độ không gian”

Lớp dạy: 12A1 - Trường THPT Diễn Châu 4.

I. MỤC TIÊU

1. Kiến thức

Học sinh thực hiện được:

- Gắn hệ trục vào bài toán hình không gian tổng hợp để giải quyết bài toán.

- Phát hiện các tính chất hình học không gian trong bài toán hình tọa độ không gian.

- Giải các bài toán tọa độ không gian trên cơ sở các bài toán cực trị hình học không gian tổng hợp.

2. Năng lực

- Năng lực tự học:Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót.

- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu hỏi. Phân tích được các tình huống trong học tập.

- Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao.

- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.

- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học.

3. Phẩm chất

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.

- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao.

- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV.

- Năng động, trung thực sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới ,biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.

- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.

- Kiến thức về hình học không gian tổng hợp và hình học tọa độ. - Máy chiếu.

- Bảng phụ. - Phiếu học tập.