a. Các kiến thức cơ bản cần sử dụng.
Quy tắc I: Các bước tìm cực trị của hàm số .
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tìm . Tìm các điểm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
b. Định hướng:
Bài toán: Cho hàm số (Đề có thể cho bằng hàm, đồ thị, bảng
biến thiên của ). Tìm số điểm cực trị của hàm số
Từ quy tắc tìm cực trị của hàm số ta có thể khái quát nên quy tắc tìm cực trị của hàm số như sau: (Định hướng [5])
Bước 1. Tính đạo hàm
Bước 2. Giải phương trình
Bước 3. Tìm số nghiệm đơn và bội lẻ hoặc các điểm mà không xác định.
Bước 4. Kết luận.
c. Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc
bốn có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị
của hàm số là:
A. . B. C. . D. .
Lời giải
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số như sau
Áp dụng định hướng [5].
Cho
Xét hàm số . Cho
Bảng biến thiên
Ta có đồ thị của hàm như sau
Từ đồ thị ta thấy:
Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm. Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm. Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm. Như vậy phương trình có tất cả 7 nghiệm đơn
phân biệt. Vậy hàm số có 7 cực trị.
Ví dụ 2. (Đề Minh Họa 2022) Cho hàm số có . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để
hàm số có đúng 9 điểm cực trị?
A. 16. B. 9. C. 15. D. 10.
Ta có . Áp dụng định hướng [5]. Ta có ; . Giải : Giải : . Đặt ; ; .
Bảng biến thiên của hàm số
Để hàm số có 9 điểm cực trị thì
phải có 6 nghiệm phân biệt. Suy ra phương trình (3) phải có 2 nghiệm phân biệt và phương trình (4) phải có 4 nghiệm phân biệt. Khi đó:
. Do
Ví dụ 3. Cho hàm số xác định và liên tục trên tập số thực
có đạo hàm là và giá trị . Hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Từ giả thiết ta có Bảng biến thiên của
Từ bảng biến thiên của suy ra nên .
Áp dụng định hướng [5]. Xét hàm số
Xét
Từ bảng biến thiên trên suy ra hàm số có ba điểm cực trị.
Ví dụ 4. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm số điểm cực trị của hàm số trên ..