Từ cách suy đồ thị và kết hợp với quy tắc tìm cực trị của hàm số, ta rút ra các quy tắc tổng quát cho bài toán tìm tham số để hàm số có n điểm cực trị như sau :
Cho hàm số có điểm cực trị dương.
* Nếu hàm số liên tục tại thì hàm số có
* Nếu hàm số không liên tục tại thì hàm số có có điểm cực trị. (Định hướng [4.2])
Đồ thị của hàm số nhận đường thẳng là
trục đối xứng, do đó số điểm cực trị của hàm số bằng , với là số điểm cực trị lớn hơn của hàm
. (Định hướng [4.3])
b. Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số là:
A. . B. . C. . D. .
Lời giải
Hàm có 2 điểm cực trị là: . Áp
dụng định hướng [4.3]. Vậy: Số điểm cực trị của hàm bằng .
Ví dụ 2. Cho hàm số . Tất cả các
A. . B. . C. .
D. .
Lời giải
Ta có: . Hàm số có 5 điểm cực
trị khi chỉ khi (định hướng [4.1]) hàm số có hai cực trị dương.
.
Ví dụ 3. Cho hàm số có
. Có tất cả bao nhiêu số nguyên để hàm số có 5 điềm cực tri ?
A. 2. B. 3. C. 5. D. 4.
Lời giải
Áp dụng định hướng [4.1]. Ta có hàm có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số chỉ có hai điểm cực trị dương. Khi và chỉ khi phương
trình có hai nghiệm trái dấu và khác 1. Khi
và chỉ khi Mà nên
. Vậy có 3 giá trị nguyên của .
Ví dụ 4. Cho hàm số có đạo hàm
nguyên của tham số để hàm số có 3 điểm cực trị?
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Lời giải
Ta có . ( là nghiệm bội
, là nghiệm bội , là nghiệm bội ) . Áp dụng định hướng [4.1].
+ Nếu thì phương trình có 2 nghiệm bội lẻ là suy
ra hàm số có hai điểm cực trị âm. Khi đó hàm số
có một điểm cực trị là nên không thỏa mãn yêu cầu đề bài. + Nếu thì phương trình có hai nghiệm bội chẵn
suy ra hàm số không có cực trị suy ra hàm số có một điểm cực trị là nên không thỏa mãn yêu cầu đề bài.
+ Nếu thì có hai nghiệm bội lẻ
hàm số có hai điểm cực trị là . Để
hàm số có 3 điểm cực trị thì hàm số phải có hai
điểm cực trị trái dấu mà , nên
. Vậy có 5 giá trị của thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ví dụ 5. Cho hàm số có đạo hàm
, với mọi . Có bao nhiêu giá trị