Những phương trình liên tục và động lượng nói trên có thể giải theo phương pháp số bằng cách biểu thị chúng ở dạng sai phân hữu hạn nhờ sử dụng một sơ đồ sai phân thích hợp (Richtmyer và Morton, 1967). Để tránh những vấn đề khi triều lên và xuống làm cho mặt nước đi qua những điểm lưới cố định, tốt hơn cả là biến đổi những phương trình để cho lưới mở rộng và co hẹp theo hướng đứng cùng thủy triều. Điều này có nghĩa là đều có cùng một số lượng những hàng mắt lưới theo độ sâu tại những chỗ sâu hơn và chỗ nông hơn của cửa sông và như vậy độ cách đều của mắt lưới thẳng đứng có thể chỉ là một vài xentimet tại đầu phía đất, nhưng có thể là hơn 1,0 m tại chỗ sâu hơn phía biển của cửa sông.
Ví dụ
Một số lượng tiêu biểu những hàng mắt lưới có thể là 11 giữa mặt nước và đáy, nên trong một cửa sông có độ sâu 10 m, độ cách đều là 1,0 m một. Sự biến thiên của mắt lưới nhận được bằng việc đưa vào một phân số xác định bằng
) ( ) ( ξ h ξ z η (6.64)
sao cho = 1 tại đáy (z = h) và = 0 tại mặt nước chuyển động ( z = - ). Một lưới sai phân hữu hạn có thể có độ cách đều tiêu biểu dọc theo chiều dài của cửa sông khoảng 0,5 km giữa những tuyến kề nhau.
Những điều kiện biên về vận tốc, dao động mặt nước và độ mặn được đặc trưng theo cùng cách như đối với mô hình một chiều biến đổi theo thời gian. Những điều kiện biên cũng xác định cho nồng độ chất ô nhiễm tại những biên phía biển và biên phía đất của cửa sông; nếu nguồn sông nhập vào và biển là 'sạch' do chúng không chứa chất ô nhiễm để mô tả, thì c = 0 tại biên phía biển và tại biên phía đất của mô hình. Đối với mô hình biến đổi theo thời gian, thường đặc trưng nồng độ biên cho giai đoạn chảy vào của thủy triều, do vậy nồng độ của nước biển đi vào được chỉ rõ khi triều lên, nhưng biên khi triều xuống là tự do và do đó xác định từ mô hình.
Một tiếp cận tiêu biểu để thể hiện hiệu ứng của ma sát trong cửa sông phân tầng một phần là giả thiết rằng hệ số nhớt rối là một hàm của số Richardson cục bộ đối với dòng chảy như đã mô tả trong mục (3.5.2). Nó có dạng tiêu biểu là
u m 0 z z 1 β Ri N N ( ) (6.65)
trong đó Nz, Nz0 là những hệ số nhớt rối dưới những điều kiện phân tầng và đồng nhất tương ứng, , m là những hằng số và Ri là số Richardson gradient. Mô hình được điều khiển bởi dao động mặt nước tại biên phía biển của cửa sông theo từng bước thời gian cho đến khi hầu như đạt được một trạng thái cân bằng, trong đó những thay đổi đối với những dự đoán từ một chu kỳ đến chu kỳ tiếp theo là nhỏ để bỏ qua. Nói chung điều này phù hợp với việc chạy mô hình cho hai mươi đến ba mươi chu kỳ thủy triều, giả thiết dòng chảy nước ngọt và dao động thủy triều cố định.
Hiệu ứng phân tầng đối với xáo trộn
Một công thức tương đương với phương trình (6.65) được sử dụng để mô tả hiệu ứng tắt dần của rối bởi phân tầng đối với hệ số xáo trộn thẳng đứng. Công thức này có dạng n s 0 z z 1 Ri K K ( β ) . (6.66)
Trong ví dụ này, Kz, Kz0 là những hệ số xáo trộn thẳng đứng trong những điều kiện phân tầng và đồng nhất, tương ứng, và s và n là những hằng số. Những giá trị đối với K z0 dọc theo trục sông được chọn tại giai đoạn hiệu chỉnh mô hình.
Những tham số Nzo và Kz0 dự kiến biến đổi theo chu kỳ thủy triều vì chúng phụ thuộc vào rối phát sinh trong dòng chảy đồng nhất bởi thủy triều. Sử dụng mô hình trung bình mặt cắt ngang, Bowden và Hamilton (1975) chỉ ra rằng sự phù hợp tốt nhất với dữ liệu có thể nhận được bằng việc cho Nzo và Kz0 là những hàm của dòng chảy trung bình độ sâu và độ sâu toàn bộ. Sự phù hợp được cải thiện tốt hơn bằng việc giả thiết mối phụ
thuộc của những giá trị trung bình độ sâu Nz và Kz (mục 3.6.1) vào số Richardson tổng hợp, theo cách đã mô tả ở những biểu thức nói trên.
Trong mô hình trung bình hướng ngang, độ lớn của Nzo và Kz0 có thể giả thiết là những hàm của dòng chảy trung bình độ sâu và độ sâu toàn bộ, nhưng có thể lấy những giá trị cục bộ của Ri do vậy Nz và Kz biến đổi theo độ sâu tại bất kỳ bước thời gian đã cho nào. Đã áp dụng hiệu ứng phân tầng lên mức độ xáo trộn thẳng đứng, ví dụ để mô hình hóa dòng chảy ra của nước nhiễm mặn từ sông Rhine đổ vào Biển Bắc (mục 9.3.3).