CHƢƠNG 1 : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIẾN
2.2. Xây dựng một số nhiệm vụ khám phá chủ để Tổ hợp, Xác suất lớp
2.2.2. Xây dựng một số nhiệm vụ khám phá cho bài 2: Hoán vị Chỉnh hợp
Tổ hợp
NVKP 2.1:
Mục tiêu:
Kiến thức: Học sinh nhận biết, hiểu được khái niệm hoán vị. Kĩ năng:
- Học sinh áp dụng được khái niệm hoán vị vào giải bài toán.
- Lựa chọn được dùng khái niệm hoán vị hay các quy tắc đếm khác trong tình huống thực tế.
Chuẩn bị: Lớp chia 4 nhóm, mỗi nhóm chuẩn bị 4 cái bút khác nhau và 4 hộp giấy
đựng bút khác nhau.
Tình huống khám phá: Giáo viên cho HS quan sát đồ vật đã chuẩn bị sẵn, đặt ra
câu hỏi cho cả lớp: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 cái bút khác nhau vào 4 hộp giấy khác nhau? (mỗi hộp xếp 1 bút). Sau đó yêu cầu học sinh hợp tác nhóm rồi đại diện từng nhóm lên thực hiện cách xếp bút vào hộp và phân tích, đánh giá kết quả.
Dự kiến hoạt động của HS:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
GV cho HS quan sát đồ vật, đặt ra câu hỏi: Có bao nhiêu cách xếp 4 cái bút khác nhau vào 4 hộp giấy khác nhau (mỗi hộp xếp 1 bút)?
Còn cách nào để tính được các cách sắp xếp bút vào hộp nữa không?
GV: Mỗi kết quả của việc sắp thứ tự 4 bút khác nhau vào 4 hộp khác nhau như trên được gọi là một hoán vị của 4 phần tử
Vậy, theo em một hoán vị của tập A
gồm n phần tử n1 là gì?
Giáo viên cho học sinh phát biểu định nghĩa hoán vị theo cách hiểu của mình.
- GV nhận xét, chốt kiến thức
- HS sắp xếp 4 cái bút khác nhau vào 4 hộp giấy khác nhau (mỗi hộp xếp 1 bút), thay đổi vị trí và đưa ra kết quả. - Báo cáo các kết quả của nhóm mình. - HS có thể dùng quy tắc nhân để tính tốn và đưa ra đáp số bài toán
Xếp bút thứ nhất vào một hộp, có 4 cách Còn 3 hộp, xếp bút thứ hai vào một hộp cịn lại, có 3 cách Cịn 2 hộp, xếp bút thứ ba vào một hộp cịn lại, có 2 cách.
Cịn 1 hộp, xếp bút thứ tư vào hộp cuối cùng, có 1 cách.
Theo quy tắc nhân, có 4 . 3 . 2 . 1 = 24 cách sắp xếp.
NVKP 2.2:
Mục tiêu:
Kiến thức: Học sinh nhận biết, hiểu được cơng thức số các hốn vị. Kĩ năng:
- Học sinh áp dụng được cách tính số các hốn vị vào giải bài toán.
- Lựa chọn được dùng khái niệm hoán vị hay các quy tắc đếm khác trong tình huống thực tế.
Chuẩn bị: Giáo viên chuẩn bị câu hỏi.
Tình huống khám phá: Học sinh trả lời câu hỏi: Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn
bạn An, Bình, Chi, Dung ngồi vào một bàn học gồm bốn chỗ? [7]
Dự kiến hoạt động của HS:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
tắc nhân để trả lời bài toán
Bốn em là một nhóm có thể đổi chỗ cho nhau trên một bàn rồi liệt kê để xem có bao nhiêu cách xếp?
Có cách nào nhanh hơn phương pháp liệt kê khơng?
Vậy nếu có n phần tử thì có bao nhiêu
hốn vị của n phần tử đó?
GV nhận xét, đánh giá kết quả, chốt kiến thức
hỏi của giáo viên.
- Báo cáo các kết quả của mình
- Có thể dùng quy tắc nhân để tính tốn và đưa ra đáp số bài toán.
Cách 1: Liệt kê ta có 24 cách sắp xếp, mỗi cách là một hoán vị tên của bốn bạn.
Cách 2:
Xếp bạn đầu tiên vào một vị trí, có 4 cách Còn 3 bạn, xếp một bạn vào một vị trí cịn lại, có 3 cách Còn 2 bạn, xếp một bạn vào một vị trí cịn lại, có 2 cách Còn 1 bạn, xếp một bạn vào một vị trí cuối cùng, có 1 cách
Theo quy tắc nhân, có 4 . 3 . 2 . 1 = 24 cách sắp xếp.
Cả lớp suy nghĩ, một học sinh trả lời:
Để lập được một hoán vị của n phần tử, ta làm như sau: - Chọn một phần tử vào vị trí thứ nhất, có n cách. - Chọn một phần tử vào vị trí thứ hai, có n - 1 cách. ….
Sau khi chọn n – 2 phần tử cho n – 2 vị trí đầu tiên, có hai cách chọn cho một trong hai phần tử cuối để xếp vào vị trí
n – 1.
Phần tử cịn lại có 1 cách xếp vào vị trí thứ n.
tự hay có n.(n-1)…2.1 hốn vị của n
phần tử.
Kí hiệu Pn là số hốn vị của n phần tử,
ta có: 1 2 3 ...3.2.1 n P n n n n Chú ý: Kí hiệu n n 1n2n3 ...3.2.1 là !
n (n giai thừa), vậy ta có: Pn n!
NVKP 2.3:
Mục tiêu:
Kiến thức: Học sinh nhận biết, hiểu và vận dụng được khái niệm và định lí số các hốn vị vào giải bài tập.
Kĩ năng:
- Học sinh áp dụng được cách tính số các hốn vị vào giải bài toán.
- Lựa chọn được dùng khái niệm hoán vị hay các quy tắc đếm khác trong tình huống thực tế.
Chuẩn bị: Giáo viên chuẩn bị nhiều phiếu học tập, mỗi phiếu có một bài tập đựng
trong hộp giấy.
Tình huống khám phá: Học sinh tham gia trò chơi bốc thăm lựa chọn phiếu học
tập và trả lời câu hỏi:
1) Trong một trận đấu bóng đá, sau hai hiệp phụ hai đội vẫn hòa nên phải thực hiện
đá luân lưu 11m. Một đội đã chọn được năm cầu thủ để thực hiện đá năm quả 11m. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp đá phạt?
2) Có bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3? [7]
3) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số
khác nhau? Có bao nhiêu số chẵn?
4) Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội học sinh gồm mười người
Dự kiến hoạt động của HS:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Yêu cầu HS bốc thăm câu hỏi, suy nghĩ và trả lời các bài tập trong phiếu học tập. Giáo viên quan sát hoạt động của học sinh, gợi ý nếu cần.
GV: Mỗi số lập được có phải là hốn vị của 3 phần tử? Có bao nhiêu hốn vị? Nếu không liệt kê hãy tìm số các hốn vị?
- Mỗi hoán vị khác nhau ở yếu tố nào?
Giáo viên yêu cầu cả lớp nghe và nhận xét. Sau đó GV nhận xét bài làm, đánh giá kết quả, chốt kiến thức.
Học sinh làm việc cá nhân.
Lên bàn GV bốc thăm phiếu học tập, suy nghĩ, phân tích bài tốn trong 2 phút và đưa ra đáp án.
1) Mỗi cách sắp xếp đá phạt là một
hoán vị của năm cầu thủ. Vậy số cách sắp xếp đá phạt là 5! = 120 (cách)
2) Mỗi số tự nhiên thỏa mãn bài toán là
một hoán vị của ba phần tử. Vậy số các số thỏa mãn là 3! = 6 số.
Các số đó là: 123, 132, 213, 231, 321, 312
3) a) Mỗi số là một hốn vị của 6 phần
tử. Vậy, có tất cả 6! = 720 (số)
b) Chữ số hàng đơn vị là chữ số chẵn nên có 3 cách chọn. Năm chữ số còn lại được sắp xếp theo thứ tự sẽ tạo nên một hoán vị của 5 phần tử nên có 5! cách chọn. Vậy có tất cả: 3 . 5! = 360 (số).
4) Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của
10 phần tử. Vậy số cách sắp xếp là 10! Lớp nhận xét, góp ý.
Học sinh nghe nhận xét để biết các tồn tại để khắc phục.
NVKP 2.4:
Mục tiêu:
Kiến thức:
- Học sinh nhận biết, hiểu được khái niệm chỉnh hợp chập k của n phần tử.
- Giúp học sinh hình thành và khắc sâu công thức tính số chỉnh hợp chập k của n
Kĩ năng:
- Học sinh áp dụng được cách tính số các chỉnh hợp vào giải bài tốn.
- Lựa chọn được dùng khái niệm chỉnh hợp, hoán vị hay các quy tắc đếm khác trong tình huống thực tế.
Chuẩn bị:
- Giáo viên chuẩn bị nhiều phiếu học tập, mỗi phiếu có 1 trong các bài tập sau:
1) Trên mặt phẳng, cho bốn điểm phân biệtA B C D. Có tất cả bao nhiêu vectơ , , ,
khác vectơ – không mà điểm đầu và điểm cuối của chúng thuộc tập điểm đã cho. [7]
2) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2,
…, 9? [7]
3) Cho tập B0;1; 2;3; 4;5. Có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm năm chữ số khác nhau?
- Học sinh: Lớp chia 4 nhóm, mỗi nhóm chuẩn bị 3 cái bút khác nhau và 5 hộp giấy đựng bút khác nhau; bảng phụ, bút dạ.
Tình huống khám phá:
Tình huống 1: Giáo viên cho học sinh quan sát đồ vật đã chuẩn bị sẵn, đặt ra câu hỏi: Có bao nhiêu cách xếp 3 bút khác nhau vào 5 hộp giấy khác nhau? (mỗi hộp xếp 1 bút). Sau đó yêu cầu học sinh hoạt động nhóm rồi đại diện từng nhóm lên thực hiện cách xếp bút vào hộp và phân tích, đánh giá kết quả.
Tình huống 2: Học sinh tham gia trò chơi hái hoa dân chủ lựa chọn phiếu học tập và trả lời câu hỏi.
Dự kiến hoạt động của HS:
Tình huống 1: HS làm việc cá nhân
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Mỗi một cách xếp 3 bút khác nhau vào 5 hộp giấy khác nhau (mỗi hộp xếp 1 bút) là một chỉnh hợp chập 3 của 5.
- HS xếp 3 bút khác nhau vào 5 hộp giấy khác nhau và trả lời xem có bao nhiêu cách xếp.
Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử
Vậy thế nào là một chỉnh hợp chập k
của n phần tử?
GV yêu cầu học sinh phát biểu định nghĩa theo cách hiểu.
? Ngoài cách xếp 3 bút khác nhau vào 5 hộp khác nhau theo phương pháp liệt kê, ta cịn có một cách khác là sử dụng quy tắc đếm. Theo các em đó là quy tắc nào? Được sử dụng như thế nào?
Vậy, theo quy tắc nhân có 60 số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử.
Theo các em số chỉnh hợp chập k của n phần tử là bao nhiêu? Tính như thế nào?
GV hướng dẫn học sinh tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử theo quy tắc nhân. Từ đó rút ra định lí số các chỉnh hợp chập k của n phần tử.
? So sánh hai khái niệm hoán vị và chỉnh hợp từ đó rút ra cơng thức liên hệ giữa hoán vị và chỉnh hợp.
từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp
chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử
đã cho.
HS suy nghĩ trả lời: Có thể sử dụng quy tắc nhân.
- Xếp 1 bút vào hộp đầu tiên, có 5 cách. - Còn 4 hộp, xếp 1 bút vào 1 trong 4 hộp cịn lại, có 4 cách.
- Còn 3 hộp, xếp 1 bút còn lại vào 1 trong 3 hộp cịn lại, có 3 cách.
Vậy, theo quy tắc nhân có 5 . 4 . 3 = 60 cách xếp thỏa mãn bài toán.
- HS suy nghĩ trả lời:
Để tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử, ta tiến hành như sau:
Chọn một trong n phần tử xếp vào vị trí thứ nhất, có n cách.
Chọn tiếp một trong n – 1 phần tử cịn lại xếp vào vị trí thứ hai, có n – 1 cách. …
Sau khi chọn k – 1 phần tử rồi, chọn một trong n – (k – 1) phần tử cịn lại xếp vào vị trí thứ k, có n – (k – 1) cách. Vậy, có n. (n – 1)…. (n – k + 1) chỉnh hợp chập k của n phần tử. Kí hiệu k n A là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử, ta có: Định lí: k 1 2 ... 1 n A n n n n k Chú ý:
! !;1 k n n A k n n k b) n n n P A
Trong hoạt động này, HS được quan sát đồ vật, phân tích số sắp xếp 3 bút khác nhau vào 5 hộp khác nhau sẽ khơng phải là số hốn vị của ba hay năm phần tử, HS thấy được rằng mỗi cách sắp xếp này có thứ tự, khi thay đổi vị trí sẽ được các kết quả khác nhau.
Tình huống 2: Học sinh tham gia trị chơi hái hoa dân chủ lựa chọn phiếu học tập
và trả lời câu hỏi ra bảng phụ.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
GV cho HS tham gia trò chơi, quan sát và gợi ý từng nhóm (nếu cần)
Gợi ý
1) Hãy phân biệt đoạn thẳng và vectơ? Vectơ có phân biệt điểm đầu và điểm cuối khơng?
3) Gọi số cần tìm là abcde. Khi đó các chữ số thỏa mãn điều kiện gì?
Dùng các quy tắc đếm nào để giải bài toán này?
HS tham gia trò chơi, hoạt động theo nhóm, phân tích bài tốn rồi đưa ra lời giải.
1) Mỗi vectơ là một chỉnh hợp chập 2 của 4 nên số vectơ là: 2
4
A = 12 vectơ. (Đó là các vectơ AB AC AD, , ,
, ,
BA BC BD, CA CB CD, , ,DA DB DC, , ) 2) Mỗi số tự nhiên thỏa mãn bài toán là một chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử. Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn là:
5 9 A = 15120 số 3) Gọi số cần tìm là: abcde ĐK:a0;e0; 2; 4và , , , 0;1; 2;3; 4;5 a b c d . Xét các trường hợp: TH1. Dạng số abcd0;a0, chọn , , , 1; 2;3; 4;5 a b c d
có 4 5 5! 120 (5 4)! A (số dạng abcd0) TH2. Dạng số abcd2;abcd4;a0. Chọn 1;3; 4;5 a hay a1; 2;3;5 đều có 4 cách chọn, chọn b c d, , 0;1; 2;3; 4;5 \ a e, có 3 4 4! 24 (4 3)! A số.
Vậy số dạng abcd2;abcd4;a0 có 2 . 4 . 24 = 192(số)
Vậy số cần tìm là: 120 + 192 = 312 (số) Theo GV, ở bài 1 HS có thể gặp khó khăn khi xác định số vectơ vì:
- Chưa nắm rõ được khái niệm vectơ (Vectơ là đoạn thẳng có hướng), do đó cịn chưa phân biệt được sự khác nhau giữa vectơ và đoạn thẳng.
- Không để ý đến sự phân biệt điểm đầu và điểm cuối của vectơ nên khơng tính đến sự sắp thứ tự giữa hai điểm.
- Phân vân không biết nên sử dụng quy tắc đếm nào cho bài tốn liên mơn với hình học. Đơi khi học sinh lựa chọn phương pháp liệt kê.
Với những bài tốn dạng số tự nhiên thì HS thường gặp những khó khăn khi chia các trường hợp của chữ số a. HS đôi khi khơng để ý đến điều kiện số cần tìm là số chẵn hay các chữ số khác nhau.
NVKP 2.5:
Mục tiêu:
Kiến thức:
- Học sinh nhận biết, hiểu được khái niệm tổ hợp chập k của n phần tử.
- Giúp học sinh hình thành và khắc sâu cơng thức tính số tổ hợp chập k của n phần tử.
Kĩ năng:
- Phân biệt được dùng khái niệm tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị hay các quy tắc đếm khác trong tình huống thực tế.
Chuẩn bị:
- Giáo viên chuẩn bị phiếu học tập có bài tập sẵn.
1) Trên mặt phẳng, cho bốn điểm phân biệt , , ,A B C D. Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu của đoạn thẳng thuộc tập điểm đã cho.
2) Cho tậpA{1,2,3,4,5 .} Hãy liệt kê các tổ hợp chập 3, chập 4, chập 5 của 5 phần tử của A.
3) a) Tính và so sánh C C52; 53 b) Tính và so sánh C52C53 và C63
4) Có 16 đội bóng đá tham gia thi đấu. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu sao
cho hai đội bất kì đều gặp nhau đúng một lần? [7]
- Học sinh: Lớp chia 4 nhóm, mỗi nhóm chuẩn bị 3 cái bút giống nhau và 5 hộp