Xây dựng một số nhiệm vụ khám phá cho bài 4: Phép thử và biến cố

CHƢƠNG 1 : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIẾN

2.2. Xây dựng một số nhiệm vụ khám phá chủ để Tổ hợp, Xác suất lớp

2.2.4. Xây dựng một số nhiệm vụ khám phá cho bài 4: Phép thử và biến cố

NVKP 4.1:

Mục tiêu:

Kiến thức: HS nhận biết được các khái niệm phép thử, không gian mẫu, biến cố. Kĩ năng: Học sinh xác định được phép thử, không gian mẫu, biến cố của phép thử.

Chuẩn bị:

- Giáo viên: Câu hỏi gợi mở mang tính tìm tịi, khám phá

- Học sinh: Lớp chia 4 nhóm, mỗi nhóm chuẩn bị: Giấy A0 kẻ sẵn như phía dưới, bút dạ, 1 đồng tiền xu, 1 con súc sắc

Bảng 1 Khả năng xảy ra Bảng 2 x y (x,y) Bảng 3 Khả năng xảy ra Bảng 4 i j (i,j)

Tình huống khám phá: Học sinh tham gia trò chơi.

+ Giáo viên cho học sinh thực hiện gieo đồng tiền 1 lần rồi tìm các khả năng xảy ra của phép thử, điền vào giấy A0 đã chuẩn bị sẵn (Bảng 1).

+ Giáo viên cho học sinh thực hiện gieo đồng tiền 2 lần rồi tìm các khả năng xảy ra của phép thử, điền vào giấy A0 đã chuẩn bị sẵn. (Bảng 2, giả sử x là khả năng xảy ra của đồng tiền gieo lần 1, y là khả năng xảy ra của đồng tiền gieo lần 2)

+ Giáo viên cho học sinh thực hiện gieo con súc sắc 1 lần rồi tìm các khả năng xảy ra của phép thử, điền vào giấy A0 đã chuẩn bị sẵn (Bảng 3)

+ Giáo viên cho học sinh thực hiện gieo một con súc sắc 2 lần rồi tìm các khả năng xảy ra của phép thử, điền vào giấy A0 đã chuẩn bị sẵn (Bảng 4, giả sử i là khả năng xảy ra của con súc sắc khi gieo lần 1, j là khả năng xảy ra của con súc sắc khi gieo lần 2)

Dự kiến hoạt động của HS:

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

+ Giáo viên cho học sinh tham gia trò chơi: Gieo đồng tiền 1 lần rồi tìm các khả năng xảy ra của phép thử, điền vào bảng 1 trong giấy A0 đã chuẩn bị sẵn. (Giả sử kết quả của gieo đồng tiền xuất hiện mặt sấp là S, kết quả của gieo đồng tiền xuất hiện mặt ngửa là N)

+ Giáo viên cho học sinh thực hiện gieo đồng tiền 2 lần rồi tìm các khả năng xảy ra của phép thử, điền vào bảng 2 trong giấy A0. (Giả sử x là khả năng xảy ra của đồng tiền gieo lần 1, y là khả năng xảy ra của đồng tiền gieo lần 2)

+ Giáo viên cho học sinh thực hiện gieo con súc sắc 1 lần rồi tìm các khả năng xảy ra của phép thử, điền vào bảng 3 trong giấy A0.

1. Phép thử

- Học sinh điền các kết quả xảy ra của phép thử vào giấy A0

- Kết quả của việc gieo 1 đồng tiền là: xuất hiện mặt sấp (S) hoặc mặt ngửa (N).

- Kết quả của việc gieo 1 đồng tiền hai lần là: SS, SN, NS, NN.

- Gieo 1 con súc sắc là: xuất hiện mặt 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm, 4 chấm, 5 chấm, 6 chấm.

Vậy: Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta khơng đốn trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

Chú ý: Ta chỉ xét các phép thử có một

+ Giáo viên cho học sinh thực hiện gieo một con súc sắc 2 lần rồi tìm các khả năng xảy ra của phép thử, điền vào bảng 4 trong giấy A0. (Giả sử i là khả năng xảy ra của con súc sắc khi gieo lần 1, j là khả năng xảy ra của con súc sắc khi gieo lần 2)

Có nhận xét gì về kết quả các phép thử? GV giới thiệu khái niệm không gian mẫu.

2. Không gian mẫu

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là .

Từ các kết quả của phép thử ta có: - Gieo đồng tiền 1 lần:  S N,  - Gieo đồng tiền 2 lần: SS NS SN NN, , ,    - Gieo con súc sắc 1 lần: 1,2,3,4,5,6   - Gieo con súc sắc 2 lần:    i j, | ,i j 1,2,3,4,5,6   

Học sinh tham gia trò chơi gieo đồng tiền, gieo con súc sắc đã giúp các em hứng thú trong học tập, nhớ lâu được các kết quả của phép thử. Nhiều HS cảm thấy lúng túng, nghi ngờ khi điền vào bảng 4 vì các kết quả của phép thử nhiều. GV cần quan sát, tìm hiểu rõ các vấn đề của HS để giải quyết các mâu thuẫn của HS, từ đó biết được bao nhiêu nhóm HS hồn thành được nhiệm vụ học tập và nắm được mức độ tiếp thu bài học của các em. Kết quả của những phép thử này được điền vào bảng phụ và sử dụng cho nhiều bài tập tính xác suất.

2.2.5. Xây dựng một số nhiệm vụ khám phá cho bài 5: Xác suất của biến cố

NVKP 5.1:

Mục tiêu:

Kiến thức: Học sinh nhận biết, hiểu được khái niệm xác suất của biến cố, tính được xác suất của các biến cố.

Kĩ năng: Học sinh tính được xác suất của các biến cố, áp dụng vào trong thực tiễn.

Chuẩn bị:

- Giáo viên chuẩn bị nhiều phiếu học tập, mỗi phiếu có 1 trong các bài tập sau:

1) Một con súc sắc cân đối đồng chất được gieo hai lần. Tính xác suất sao cho:

a) A: “Tổng số chấm của hai lần gieo là 6”

b) B: “ t nhất một lần gieo xuất hiện mặt một chấm” c) C: “Số chấm trong hai lần gieo bằng nhau”

d) D: “Tổng số chấm của hai lần gieo là 8”

2) Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất một lần. Giả sử con súc sắc xuất hiện

mặt b chấm, được thay vào phương trình bậc hai: 2

2 0

x bx  . Tính xác suất sao cho:

a) Phương trình có nghiệm b) Phương trình vơ nghiệm

c) Phương trình có nghiệm ngun

- Học sinh chuẩn bị một hộp đựng 3 bi xanh, 5 bi vàng, giấy A0 đã có kẻ sẵn bảng như sau: Lần 1 Lần 2 Lần 3 Lần 4 Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4 Tình huống khám phá: Tình huống 1:

Giáo viên yêu cầu mỗi nhóm học sinh cử 2 bạn lên tham gia trò chơi, một bạn lên lấy ngẫu nhiên 1 viên bi (lấy xong bỏ lại), một bạn ghi kết quả vào giấy A0 đã chuẩn bị. Thực hiện liên tiếp như vậy 4 lần.

Tình huống 2: Học sinh tham gia trò chơi bốc thăm lựa chọn phiếu học tập và trả lời câu hỏi.

Dự kiến hoạt động của HS:

Tình huống 1: Hai HS của từng nhóm lên bảng để tham gia trị chơi, một bạn lên lấy ngẫu nhiên 1 viên bi (lấy xong bỏ lại), một bạn ghi kết quả vào giấy A0 đã chuẩn bị.

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Một đặc trưng định tính quan trọng của biến cố iên quan đến phép thử à nó có thể xảy ra, hoặc khơng xảy ra khi phép thử đó được tiến hành. Người ta dùng

khái niệm xác suất để đánh giá khả năng xảy ra của biến cố trong phép thử đó.

Ví dụ 1: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất.

- Hãy mô tả không gian mẫu?

- Hãy nhận xét khả năng xuất hiện các mặt? (Khả năng xuất hiện từng mặt của con súc sắc có như nhau khơng? Vì sao?)

- Ta thấy các mặt đồng khả năng xuất hiện. Vậy khả năng xuất hiện của mỗi mặt có thể tính được là bao nhiêu? - Xác định số khả năng xuất hiện mặt lẻ?

Số khả năng xuất hiện mặt lẻ gọi là xác suất của biến cố A: “Con súc sắc xuất

hiện mặt lẻ”.

Vậy, xác suất của một biến cố được định nghĩa như thế nào?

Khi gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất thì khơng gian mẫu là: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Ta thấy do con súc sắc cân đối, đồng chất và được gieo ngẫu nhiên nên khả năng xuất hiện từng mặt của con súc sắc là như nhau.

Vậy khả năng xuất hiện của mỗi mặt là 1

6, và khả năng xuất hiện mặt lẻ là:

1 1 1 1

6  6 6 2

Định nghĩa

Giả sử A là biến cố liên quan đến một

phép thử với không gian mẫu  chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện.

Ta gọi tỉ số    

n A

n  là xác suất của biến

cố A, kí hiệu P(A).

Vậy P A  n A  

n

 

Chú ý: n(A) là số phần tử của A hay cũng là số kết quả thuận lợi của biến cố

A, còn n  là số kết quả có thể xảy ra của phép thử.

Tình huống 2: Học sinh tham gia trị chơi bốc thăm lựa chọn phiếu học tập và trả lời câu hỏi.

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

ý và chốt kiến thức.

1) Một con súc sắc cân đối đồng chất

được gieo hai lần. Tính xác suất sao cho:

a) A: “Tổng số chấm của hai lần gieo là

6”

b) B: “ t nhất một lần gieo xuất hiện mặt một chấm”

c) C: “Số chấm trong hai lần gieo bằng

nhau”

d) D: “Tổng số chấm của hai lần gieo là 8”

- Có mấy khả năng xuất hiện biến cố A, B, C, D?

- Nêu số phần tử của không gian mẫu? - Tính xác suất của biến cố A, B, C, D?

2) Gieo một con súc sắc cân đối và đồng

chất một lần. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm, được thay vào phương trình bậc hai: 2

2 0

x bx  . Tính xác suất sao cho:

a) Phương trình có nghiệm b) Phương trình vơ nghiệm

c) Phương trình có nghiệm ngun

- Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào, vô nghiệm khi nào?

xác định không gian mẫu và các biến cố. ( ; ) /1i j i j; 6 , ( ) n 36       a) A(1,5), (2, 4), (3,3), (4, 2), (5,1) 5 ( ) 5 ( ) 36 n A  P A  b) ( ) 11 ( ) 11 36 n B  P B  c) (1,1), (2, 2), (3,3), (4, 4), (5,5), (6, 6) C 1 ( ) 6 ( ) 6 n C  P C  d) D(2, 6), (3,5), (4, 4), (5,3), (6, 2) 5 ( ) 5 ( ) 36 n D  P D 

2) Không gian mẫu

1, 2,3, 4,5, 6 , ( ) n 6

   

Kí hiệu A, B, C lần lượt là các biến cố tương ứng với các câu a), b), c)

Ta thấy phương trình 2

2 0

x bx  có nghiệm khi và chỉ khi 2

8 0 b     . Do đó: a)  2    / 8 0 3, 4,5, 6 A b b    2 ( ) 4 ( ) 3 n A  P A  b) Vì BA nên 1 ( ) ( ) 1 ( ) 3 P B P A  P A  c)   1 3 , ( ) 1 ( ) 6 C  n C  P C 

Theo GV, HS có thể khơng gặp khó khăn khi tính xác suất của biến cố bằng phương pháp liệt kê như bài tập 1, nhưng HS sẽ gặp khó khăn khi tính xác suất của biến cố đối hay các biến cố không liệt kê được các phần tử như ở bài tập 2. Khơng ít

HS vẫn chưa định hình được các kết quả xảy ra của phép thử, chưa xác định được khả năng xảy ra của các biến cố. Giáo viên cần hướng dẫn, định hướng quá trình khám phá của HS.

NVKP 5.2:

Mục tiêu:

Kiến thức: Học sinh nhận biết, hiểu được các tính chất của xác suất, áp dụng vào giải bài tập xác suất.

Kĩ năng: Học sinh tính được xác suất của các biến cố, áp dụng vào trong thực tiễn.

Chuẩn bị: Giáo viên chuẩn bị nhiều phiếu học tập.

1) Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng, hai quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2

quả. Hãy tính xác suất sao cho hai quả đó: a) Khác màu

b) Cùng màu

2) Xét tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số{0; 1; 2;

3; 5; 6; 7; 8}. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của tập hợp trên. Tính xác suất để phần tử đó là một số chia hết cho 5.

3) [22]. Khi học về xác suất, Hà đã đố Bình một câu đố như sau:

“Có hai con súc sắc đồng chất, Bình có thể chọn một trong hai cách chơi như sau:

Cách 1: Gieo một con súc sắc 4 lần nếu xuất hiện một mặt 6 chấm là thắng. Cách 2: Gieo 24 lần một cặp súc sắc, xuất hiện một cặp (6; 6) thì thắng.”

Nếu em là Bình, em sẽ chọn cách chơi nào?

4) [22]. Trong 1 bài thi trắc nghiệm khách quan có 30 câu, mỗi câu có 4 phương án

trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Một học sinh không học bài nên làm bài thi bằng cách với mỗi câu chọn một phương án bất kì. Nếu làm bài theo cách đó có hiệu quả khơng?

Tình huống khám phá:

Tình huống 1: Giáo viên yêu cầu học sinh từng nhóm nghiên cứu, thảo luận, đề xuất lời giải.

Cho A và B là hai biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả

a) P  0, P  1.

b) 0P A 1, với mọi biến cố A.

c) Nếu A và B xung khắc thì P A BP A P B 

d) Với mọi biến cố A, ta có P A  1 P A 

Tình huống 2: Giáo viên phát phiếu học tập cho từng nhóm nghiên cứu, thảo luận, đề xuất lời giải.

Dự kiến hoạt động của HS:

Tình huống 1:

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Giáo viên yêu cầu học sinh từng nhóm nghiên cứu, thảo luận, đề xuất lời giải: Cho A và B là hai biến cố liên quan đến

một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xảy ra, hãy chứng minh: a) P  0, P  1.

b) 0P A 1, với mọi biến cố A.

c) Nếu A và B xung khắc thì

     

P AB P A P B

d) Với mọi biến cố A, ta có:

  1  

P A  P A

Gợi ý:

a) Số phần tử của tập , không gian mẫu là bao nhiêu? Từ đó tính được xác suất của tập  và không gian mẫu. c) Nếu A và B xung khắc thì A  B =  d) Hai biến cố A và A có mối quan hệ gì?

1. Định lí

Hs thảo luận, chứng minh bài tập a/ n   0 P  0,   n   1 P n      b/ Ta có:              0 0 0 1 n A n n A n n n P A             c/ A và B xung khắc nên A  B =   n A B    n A n B Vậy   n A  B n A   n B   P A B n n n             P A P B   P A BP A P B 

d) Với mọi biến cố A, ta có: ;

    P P A A         1 P A P A      1   P A P A    Định lí: a) P  0, P  1.

b) 0P A 1, với mọi biến cố A.

c) Nếu A và B xung khắc thì

     

P AB P A P B

Hệ quả:

Với mọi biến cố A, ta có:

  1  

P A  P A

Tình huống 2:

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Giáo viên phát phiếu học tập cho từng nhóm nghiên cứu, thảo luận, đề xuất lời giải.

Gợi ý:

1)

- Tính số phần tử khơng gian mẫu?

- Tính số phần tử của biến cố lấy hai quả khác màu P A 

- Áp dụng hệ quả tính P B ?

2) Số phần tử của khơng gian mẫu là bao

nhiêu? (Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ tập các chữ số đã cho)

Số phần tử của biến cố A là bao nhiêu?

HS thảo luận nhóm, đề xuất lời giải

1) Ta có: n(Ω) = 2 5

C = 10

Gọi A, B là hai biến cố tương ứng phần a), b)n A = 3 . 2 = 6

  6 3

10 5

P A  

Vì B = Ā nên theo hệ quả thì

    3 2

1 1

5 5

P B  P A   

2) Gọi A là biến cố “Lập được số tự

nhiên có 5 chữ số khác nhau, chia hết cho 5”.

Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau kể cả số 0 đứng đầu: 5

8

(Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, chia hết cho 5 được lập từ tập