Ma trận hóa n-chế độ (n-mode) của một ten-xơ X P RI1I2...IN được ký hiệu làXpnq (chế độn) là sắp xếp các sợi thành các cột của ma trận kết quả. Các phần tử ten-xơpi1, i2, ..., iNqđược ánh xạ sang thành các phần tử của ma trậnpin, jq, trong đó: j 1 N ° k1kn pik1qJk vớiJk k±1 m1mn Im 1.9. Phân tích ten-xơ
Có 2 mô hình phân tích ten-xơ cơ bản là phân tích các hệ số song song (phân tích CP hoặc phân tích PARAFAC) [18, 54, 69] và phân tích Tucker [118].
1.9.1. Phân tích CP
Phân tích CP [69] còn được gọi với một số tên khác như phân tích PARAFAC [54] hoặc phân tích CANDECOMP [18]. Cho ten-xơ bậc N X P RI1I2...IN, theo Kolda phân tích CP của ten-xơXđược biểu diễn như sau:
X R ¸ r1 λrup1q r up2q r ...upNq r Λ;Up1q,Up2q, ...,UpNq , (1.28)
Chế độncủa ten-xơXđược tính như sau: Xpnq UpnqΛ
UpNqd...dUpn 1qdUpn1qd...dUp1q T , (1.29)
trong đóΛdiagpλq.
Hình 1.14. Phân tích CP của ten-xơXbậc baXPRIJK thànhRthành phần.
Phân tích CP của ten-xơ bậc baXPRIJK được minh họa trên hình 1.14.
X rΛ;A,B,Cs R ¸ r1
λrar brcr, (1.30)
trong đóRlà một số nguyên dương vàar P RI,br PRJ vàcr PRK vớir1, ..., R Phương trình (1.30) có thể viết theo cách khác như sau:
xijk °R r1
airbjrckr vớii1, . . . , I;j 1, . . . , J;k1, . . . , K
1.9.2. Phân tích Tucker
Cho ten-xơ bậcnXPRI1I2In, phân tích ten-xơXtheo mô hình Tucker được biểu diễn như sau:
XG1U12U2 nUn G;Up1q,Up2q, . . . ,UpNq
, (1.31)
trong đó, ten-xơG PRR1R2Rn là ten-xơ lõi và các ma trậnUi PRIiRi là các ma trận hệ số, vớii1, . . . , n. Phương trình (1.31) có thể viết cách khác như sau:
xi1i2...in R1 ¸ r 1 R2 ¸ r 1 . . . R¸N r 1 gr1r2...rNap1q i1r1ap2q i2r2. . .apNq iNrN (1.32)