Thuật ngữ thực tế được sử dụng dường như khác nhau giữa các ngành khoa học khác nhau, mặc dù ý tưởng cơ bản là phổ biến cho tất cả các ngành. Trong những năm gần đây, thuật ngữ sơ đồ Voronoi dường như chiếm ưu thế trong các ngành khoa học thông tin và đa giác Thiessen cũng được gọi là
một vùng Voronoi. Hình 2.5 là một ví dụ sơ đồ Voronoi của một tập hợp điểm.
2.3.3. Bề mặt DTM liên tục
Bề mặt DTM liên tục là một bề mặt có một tập các bề mặt cục bộ liên kết với nhau để mô phỏng địa hình được mô hình hóa [13]. Điều này được dựa trên ý tưởng rằng mỗi điểm dữ liệu biểu diễn cho một mẫu của bề mặt liên tục giá trị- đơn. Ranh giới giữa hai bề mặt con liền kề có thể không được mịn, có nghĩa là, không liên tục trong các đạo hàm cấp 1 và cao hơn.
Đạo hàm cấp 1 của một bề mặt liên tục có thể là liên tục hoặc không liên tục. Tuy nhiên, bề mặt liên tục ở đây chỉ đề cập đến đạo hàm cấp 1 không liên tục và những bề mặt với đạo hàm cấp 1 liên tục được gọi là bề mặt mịn. Hình 2.3 cho thấy hai loại bề mặt DTM liên tục. Hình 2.6 minh họa vấn đề không liên tục trong đạo hàm cấp 1.
Việc thiếu liên tục trong đạo hàm cấp 1 là không mong muốn đối với người dùng hơn là đối với việc mô hình hóa chính nó cũng như kết quả đồ họa
Hình 2.6. Không liên tục trong đạo hàm cấp 1 của một bề mặt liên tục: (a) Một trạng thái của một bề mặt liên tục và
cuối cùng. Tuy nhiên, cũng cần chú ý rằng việc thiếu sự liên tục trong kết quả
đạo hàm cấp 1 ở đường biên phân biệt giữa các mảng liền kề, các ô lưới hoặc
tam giác là một đặc trưng không được xáo lộn trong một vài trường hợp (không
phải tất cả các trường hợp). Thật vậy, nó có thể được cân nhắc giữa việc tìm kiếm sau với việc giới thiệu vào quá trình làm mẫu.
2.3.4. Bề mặt DTM mịn
Bề mặt DTM mịn là một bề mặt thể hiện sự liên tục trong các đạo hàm cấp 1 hoặc cao hơn [13]. Thông thường, chúng được thực hiện trên một khu vực hoặc toàn cầu. Xây dựng một bề mặt DTM là dựa trên các giả định sau đây:
Tài nguyên dữ liệu luôn luôn chứa một mức độ nhất định các lỗi ngẫu nhiên hoặc nhiễu trong đo lường vì thế các bề mặt DTM không cần phải dựa trên tất cả các điểm dữ liệu mẫu.
Bề mặt được xây dựng trở nên mượt mà hơn, mức độ biến đổi phụ thuộc vào dữ liệu nguồn.
Đối với những điều kiện cần đạt được, thông thường, một mức độ nhất định dữ liệu dư thừa được sử dụng và khi đó một phương pháp ô vuông-tối thiểu được thực hiện bằng cách sử dụng một đa thức nhiều biến để mô hình hóa bề mặt. Hình 2.7 (a) cho thấy ví dụ về các bề mặt mịn.
Đối với một bề mặt đơn lẻ dựa trên một tập dữ liệu lớn, toàn bộ bề mặt được mô hình hóa bởi một đa thức bậc cao. Một số lượng lớn các dữ liệu có thể được tham gia, với một phương trình hình thành từ mỗi điểm dữ liệu. Điều này có thể dẫn đến một gánh nặng tính toán hoặc chi phí đáng kể về hoạt động mô hình hóa. Ngoài ra, các bề mặt kết quả thường thể hiện các dao động không mong muốn và không thể đoán trước giữa các điểm dữ liệu.
Hình 2.7. Ví dụ về các bề mặt mịn: (a) Bề mặt mịn toàn cầu và (b) Bề mặt mịn của một loạt các bề mặt khu vực. (b) Bề mặt mịn của một loạt các bề mặt khu vực.
Kết quả của những suy xét này đó là tập hợp dữ liệu thường được chia
thành một loạt các mảng liên tục. Các mảng này có thể đồng đều về hình dạng
và kích thước như trong trường hợp của các ô lưới hình vuông, tam giác đều hoặc chúng có thể là không đồng đều cả trong hình dạng và kích thước như trong trường hợp của các điểm phân phối ngẫu nhiên thường gặp phải trong một
hàm tam giác. Với mỗi mảng dữ liệu, một đa thức bậc thấp hơn có thể được sử dụng để mô hình bề mặt và một lần nữa sử dụng phương pháp hình vuông-tối thiểu nếu có dữ liệu dư thừa. Nếu sử dụng đa thức bảo đảm một bề mặt mịn trong mỗi mảng thì sự liên tục gần như chắc chắn sẽ xảy ra dọc theo ranh giới giữa các mảng. Kết quả của việc này là sự liên tục trong đạo hàm cấp 1 và cấp cao hơn giữa các mảng lân cận và hệ thống mô hình hóa khi đó sẽ xây dựng được một bề mặt mịn mà không có sự đứt quãng hay không liên tục theo các ranh giới.
2.4. Xây dựng mạng tam giác cho mô hình hoá bề mặt
Mạng tam giác là cơ bản nhất và có thể được áp dụng cho cả hai loại dữ liệu được phân bố đồng đều hoặc không đồng đều. Một mạng lưới đồng đều có thể được hình thành bằng cách nội suy từ một mạng lưới tam giác và bề mặt trơn mịn hay liên tục cũng có thể được xây dựng từ một mạng như vậy.
2.4.1. Xây dựng mạng tam giác đều từ dữ liệu phân phối đồng đều
Quá trình xây dựng một mạng tam giác thường được gọi là tam giác hoá. Tam giác hoá có thể được áp dụng với dữ liệu phân phối đồng đều (chẳng hạn như lưới dữ liệu) tạo thành một mạng tam giác đều (TRN) hoặc dữ liệu phân phối không đều để hình thành một mạng TIN, bao gồm một loạt các hình tam giác liền kề với hình dạng và kích cỡ không đều.
Nếu dữ liệu nguồn thu được trong một mô hình đồng đều, khi đó mạng đơn giản nhất có thể hình thành. Đối với lưới hình vuông, phân chia đơn giản bằng cách sử dụng một hoặc hai đường chéo tạo ra một loạt các hình tam giác đồng đều. Hình 2.8 cho thấy ba mô hình tam giác có thể bắt nguồn từ một mô hình lưới.
Hình 2.8. Xây dựng mạng tam giác đều từ một lưới đồng đều
Nếu mô hình được dựa trên các tam giác đồng đều, (Hình 2.9), khi đó mạng đã là tam giác.
Tất nhiên, cách tiếp cận xây dựng tam giác từ lưới hình vuông là tuỳ biến. Hình 2.9 cho thấy điều này. Hình 2.9 (a) cho thấy một bề mặt song tuyến tính được xây dựng từ một mạng lưới hình vuông. Hình 2.9 (b) cho thấy rằng một ô lưới có thể được chia thành hai hình tam giác bởi một đường chéo duy nhất trên mặt phẳng.
Hình 2.9. Các kiểu có thể có của bề mặt xây dựng từ một lưới hình vuông
Tương tự như vậy, hình 2.9 (c) cho thấy hai hình tam giác tương ứng được phân chia bởi đường chéo khác (thể hiện trong Hình 2.8 (b)). Cuối cùng, các tam giác trong hình 2.9 (d) tương ứng với sự sắp xếp (hiển thị trong hình 2.8 (c)) với bốn tam giác, điểm trung tâm được hình thành bằng cách sử dụng cả hai đường chéo. Rõ ràng các giá trị chiều cao của các điểm nội suy từ những bề mặt khác nhau được hiển thị trong hình 2.9 (a) tới hình 2.9 (d) là hoàn toàn khác nhau mặc dù có cùng một giá trị chiều cao được sử dụng tại các nút lưới trong bốn ví dụ. Đây là một vấn đề cần chú ý.
2.4.2. Xây dựng mạng tam giác không đều từ dữ liệu phân phối đồng đều
Với quá trình xây dựng mạng lưới tam giác đã nói ở trên, thông tin trên bề mặt không hề bị mất đi. Tuy nhiên, dữ liệu dư thừa có thể là một vấn đề, như trong trường hợp lấy mẫu lưới đồng đều. Nếu vậy, một số ít các điểm quan trọng (hay không quan trọng) trên bề mặt có thể bị xóa khỏi bộ dữ liệu. Ngoài ra, các điểm quan trọng được giữ lại để hình thành một mạng TIN.
Chìa khóa để lựa chọn các điểm quan trọng (VIP) là gán một giá trị ý nghĩa đối với mỗi điểm sao cho các điểm với giá trị ý nghĩa cao được lựa chọn. Chen và Guevara (1987) đã sử dụng tổng các giá trị vi phân bậc hai tại một điểm trong tất cả bốn hướng để biểu diễn cho mức độ có ý nghĩa. Giả sử chiều cao (H) của một điểm dọc theo một mặt nghiêng là một hàm ở vị trí (x) thể hiện trong hình 2.11. Khoảng cách chiều ngang giữa X i -1 , X i , X i +1 là bằng nhau vì lấy mẫu lưới đồng đều [13].
Giả sử hàm toán học của trạng thái là:
H = f (x) (2.3)
Khi đó, giá trị vi phân bậc hai tại thời điểm Xi là: 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 1 1 1 '' 2 2 i i i i X f X f X f X f dX H d (2.4) Trên thực tế, khoảng cách AC trong hình 2.11 là giá trị vi phân bậc hai tại điểm Xi. Chen và Guevara (1987) cũng xem xét bốn hướng, đó là: lên - xuống, trái - phải, trái trên - phải dưới và trái dưới - phải trên.
Hình 2.11. Trạng thái địa hình và giá trị vi phân bậc hai của nó
Đối với mỗi điểm, các giá trị vi phân bậc hai cho tất cả bốn hướng được thêm vào để biểu diễn cho mức độ quan trọng của điểm này. Trong hàm của chúng, số lượng điểm được lựa chọn là lý thuyết đầu tiên và sau đó những điểm có ý nghĩa lớn nhất được lựa chọn.
Tuy nhiên, chúng ta có thể tưởng tượng: việc lựa chọn các điểm có liên quan đến tính chính xác của DTM kết quả thay vì một số điểm được xác định trước. Thật vậy, Li (1990) và Li et al. (1998) đã tìm ra mức độ chính xác của DTM bị mất mát sau khi lựa chọn các điểm quan trọng (VIP). Trong trường hợp
này, một ngưỡng cho các giá trị ý nghĩa thay thế cho số lượng điểm giữ lại sẽ được xem xét. Bây giờ câu hỏi phát sinh là: "ngưỡng thích hợp cho giá trị ý nghĩa để xác định được độ mất mát thông tin cho phép là gì?"
Để tìm một ngưỡng cho lựa chọn điểm, việc kiểm tra chặt chẽ khoảng cách của AC trong hình 2.11 phải được thực hiện đầu tiên. Nếu có thể tìm thấy rằng AC là sai số tại x = X i thì X i được loại bỏ và trạng thái này được xây dựng bằng cách nội suy tuyến tính giữa các giá trị độ cao tại Xi-1 và Xi+1. Sai số và mật độ chính xác của DTM là kết quả của việc lựa chọn các điểm quan trọng hoặc loại bỏ những điểm được coi là không quan trọng.
Vấn đề phát sinh là: “Độ mất mát chính xác trong các số hạng về độ lệch chuẩn sẽ là bao nhiêu nếu tất cả các điểm dữ liệu với mức độ ý nghĩa thấp hơn một giá trị lý thuyết được loại bỏ”. Nói cách khác, mối quan hệ giữa mất mát độ chính xác và giá trị quy định quan trọng cần phải được kiểm tra. Nếu phân bố sai số được biết đến, khi đó mối quan hệ có thể dễ dàng được thiết lập ra. Tuy nhiên, sự phân bố là không chính xác mặc dù nó gần như bình thường. Do đó, một mối quan hệ cần phải được phát hiện thông qua những nghiên cứu thử nghiệm. Thật vậy, Li (1990) và Li et al. (1998) tìm thấy sự mất mát về độ chính xác DTM ( σloss) sau khi lựa chọn VIP và ngưỡng (SigThreshold ) được sử dụng để lựa chọn VIP [13]: 3 Threshold loss Sig (2.5) Đây là kết quả thu được từ hai khu vực thử nghiệm lớn với khoảng 2000 điểm kiểm tra.
Giả sử rằng độ chính xác yêu cầu của DTM cuối cùng (sau khi lựa chọn VIP) của số hạng khác nhau là 2
after và độ chính xác của DTM ban đầu (trước
khi lựa chọn VIP) là 2
before, Khi đó:
after2 before2 loss2 (2.6)
Bằng cách kết hợp các phương trình (2.5) và (2.6), các mối quan hệ giữa ngưỡng để lựa chọn VIP và tính chính xác DTM cuối cùng như sau:
SigThreshold 3 loss 3 after2 before2 (2.7)
Trên thực tế, cách xác định tương tự này được sử dụng bởi Makarovic (1977, 1984), người đã cải tiến quá trình xử lý bằng cách sử dụng một toán tử Laplacian cho quá trình này như sau:
0 1 0 1 4 1 0 1 0 L (2.8)
Sau khi lựa chọn VIP, các dữ liệu kết quả sẽ trở thành không đều trong phân phối. Khi đó một thủ tục hình thành TIN được áp dụng [13].
2.4.3. Xây dựng mạng tam giác không đều từ dữ liệu phân phối không đều
Sự hình thành của một TIN từ các dữ liệu phân bố không đều không phải là dễ dàng như trong trường hợp xây dựng TRN từ lưới mặc dù có rất nhiều thuật toán có sẵn. Nói chung, có ba yêu cầu cơ bản cho sự hình thành TIN:
(1). Đối với một tập các điểm dữ liệu, kết quả TIN là duy nhất nếu sử dụng cùng một thuật toán. Mặc dù người ta có thể bắt đầu từ nhiều vị trí khác nhau, ví dụ, các tâm hình, góc trên bên trái, góc dưới bên trái hoặc các điểm khác.
(2). Hình dạng của tam giác kết quả là tối ưu
(3). Mỗi tam giác được hình thành với các điểm láng giềng gần nhất, có nghĩa là tổng của ba cạnh của tam giác là tối thiểu.
Trong tất cả các lựa chọn thay thế có thể, tam giác Delaunay là một trong những lựa chọn được sử dụng rộng rãi nhất bởi vì nó đáp ứng cả ba yêu cầu. Một tam giác Delaunay là một tập hợp các hình tam giác liên kết với nhau nhưng không chồng lấp. Các vòng tròn ngoại tiếp của mỗi tam giác sẽ không bao gồm bất kỳ điểm nào khác vì đây là một trong những điều kiện được sử dụng để xây dựng tam giác Delaunay.
Tam giác Delaunay là một sơ đồ thứ hai của sơ đồ Voronoi và do đó cũng có thể được bắt nguồn từ sơ đồ Voronoi. Vì vậy, một cách tiếp cận khác cho việc xây dựng các tam giác Delaunay là đầu tiên xây dựng một sơ đồ Voronoi và từ đó chuyển hoá thành tam giác.
Tam giác Delaunay được xây dựng bằng cách kết nối ba điểm lân cận, vùng Voronoi tương ứng của chúng có một đỉnh chung, và đỉnh đó là tâm của vòng tròn ngoại tiếp tam giác Delaunay. Hình 2.5 cho thấy rằng tam giác Delaunay tuân theo định lý Euler của đồ thị phẳng như sau:
N
vùng + N đỉnh - N cạnh = 2 (2.9)
Tam giác Delaunay có thể được hình thành trong chế độ động hoặc tĩnh. Tam giác tĩnh có nghĩa là lưới tam giác đã được xây dựng sẽ không bị thay đổi khi thêm các điểm mới trong quá trình hình thành. Ngược lại, với tam giác động, mạng lưới đã được xây dựng sẽ bị thay đổi nếu một điểm mới được thêm vào, để đáp ứng nguyên tắc đường tròn ngoại tiếp Delaunay [13]-[15]-[18].
Hình 2.12. Các tam giác Delaunay của dữ liệu hỗn hợp
2.4.4. Xây dựng mạng tam giác không đều từ dữ liệu phân phối đặc biệt
Dữ liệu phân phối đặc biệt ở đây đề cập đến hai loại dữ liệu: dữ liệu hỗn hợp và dữ liệu đường đồng mức. Dữ liệu hỗn hợp là kết quả của lấy mẫu hỗn hợp, có nghĩa là: một lưới đồng đều cộng với đặc trưng của các điểm và đường. Dữ liệu đường đồng mức có thể được số hóa từ bản đồ đường đồng mức hiện tại hoặc đo trên một máy thu phát [13].
Xây dựng một mạng lưới tam giác từ dữ liệu hỗn hợp: đầu tiên lưới được chia thành các hình tam giác đồng đều và tam giác Delaunay sau đó được xây dựng trong lưới chứa các điểm đặc trưng. Hình 2.12 cho thấy một ví dụ.
Xây dựng một mạng lưới tam giác từ dữ liệu đường đồng mức với thuật toán tam giác Delaunay. Chú ý đặc biệt cần phải được đáp ứng đó là: tam giác phẳng (chiều cao tại ba đỉnh của một tam giác là như nhau) có thể là kết quả. Hình 2.13 cho thấy tam giác phẳng hình thành bởi hai đường đồng mức. Điều này là do ba đỉnh được lựa chọn từ cùng một đường đồng mức. Điều đó có thể tránh được bằng cách tuân thủ quy tắc “Không có nhiều hơn 2 điểm được lựa chọn từ một đường đồng mức riêng biệt”. Một cách khác là để tạo ra bộ khung đường đồng mức và sử dụng của các điểm dọc theo bộ khung kết hợp với nhau