Cho số nhân dài chúng ta sử dụng một nguyên tắc tương tự. Số bị nhân có bốn chữ số, như 3.214, làm việc như sau: mỗi chữ số của kết quả được tính từ tổng của 4 phần. Mỗi một phần là kết quả của phép nhân hai chữ số lại với nhau. Cụ thể: đó là hai đầu của đường cong nối chúng, hay nói cách khách, phần trong và phần ngoài. Lấy ví dụ: 2,103 nhân 3,214:
Hình vẽ trên biểu diễn 4 cặp số mà chúng ta sử dụng trong các bước làm việc của phép tính. Trong các bước này, chúng ta sẽ nói: “ 2 nhân 4 là 8, cộng 1 nhân 1 là 9, cộng 9 là 9, cộng 9 là 18”. Có 4 số 0 ở trước số bị nhân bởi số nhân có 4 chữ số. Số 0 ở ngoài cùng không cần tính vì không có nhớ ở bước cuối. Đây là cách thực hiện:
Bước 1:
Bước 3:
Bước 4:
Bước 5:
Bước 6:
Bước 7:
Ở đây không có số nhớ, và cặp số ngoài cũng đưa lại kết quả là 0, do đó chúng ta kết thúc công việc. Kết quả là 6,759,042. Từ đây, chúng ta đã hiểu rõ cách thực hiện phép nhân với số nhân có độ dài bất kỳ.
Trong chương này, chúng ta đã làm phép nhân số có hai chữ số với số có hai chữ số, như 31 nhân 23, sau đó với số bị nhân có nhiều chữ số với số nhân có hai chữ số, như 32,405 nhân 42; sau đó là phép nhân trong đó cả số bị nhân và số nhân có độ dài bất kỳ, như 32,405 nhân 422. Trong bất kỳ trường hợp nào, chúng ta luôn tính được số bên phải nhất của kết quả bằng cách nhân 2 chữ số bên phải nhất của hai số. Trong mọi trường hợp, ta tính các chữ số ở hàng giữa bằng cách sử dụng các cặp số ngoài cà cặp số trong và cộng lại ra kết quả. Cuối cùng, chúng ta có thể nhận được chữ số bên trái nhất của kết quả bằng cách viết các chữ số 0 ở đằng trước số bị nhân, với số lượng bằng số chữ số của số nhân.
Thực hiện phép nhân nhanh bằng phương pháp trực tiếp: Phép nhân các số có độ dài ngắn Thực hiện phép nhân nhanh bằng phương pháp trực tiếp: Phép nhân các số có độ dài lớn Thực hiện phép nhân nhanh bằng phương pháp trực tiếp: Số bị nhân có ba chữ số
Thực hiện phép nhân nhanh bằng phương pháp trực tiếp: Số bị nhân có độ dài bất kỳ
Bạn có thể test lại nếu muốn, và để cho các bước làm việc trở nên thuần thục hơn trong đầu, bằng cách làm các ví dụ sau:
Kết quả:
Kiểm tra kết quả:
Phương pháp kiểm tra không được sáng tạo bởi giáo sư Trachtenberg, nhưng đã được kết hợp vào hệ thống của ông bởi vì nó đơn giản và tiện lợi. Nó được biết đến từ các nhà toán học hàng trăm năm trước đây, tuy nhiên hiện nay không được phổ biến rộng rãi và có vẻ ít được sử dụng trong cuộc sống hàng ngày. Cho lý do này chúng ta sẽ giảng giải nó dưới tên “phương pháp tổng các chữ số”. Bản chất của nó là chúng ta cộng lần lượt các chữ số của mỗi số trong tích, như trong sơ đồ kế tiếp. Mỗi chữ số có một trong các giá trị từ 1 đến 9 ở mỗi hàng, (0 cũng là một chữ số, viết ở các hàng không phải là hàng đầu). Do đó bất cứ số nào cũng được tạo từ các chữ số cố định. “Tổng các chữ số” là giá trị ta đạt được khi cộng các chữ số của một số, giống như:
Số : 413
Tổng các chữ số: 4+1+3 =8
Tuy nhiên, từ đây trở đi, ta luôn hiểu tổng các chữ số là tổng thực hiện được lược giản thành kết quả có 1 chữ số duy nhất, bằng cách tiếp tục cộng lại các kết quả thu được nếu cần thiết. Lấy ví dụ, giả sử số đã cho là 6,324; chúng ta sẽ có:
Số : 6324
Tổng các chữ số: 6+3+2+4 = 15 Tổng với 15:1+5 = 6
Do đó tổng các chữ số của 6,324 là 6. Hay nói cách khác chúng ta sẽ thực hiện việc lược giản với các tổng đạt được cho đên khi không lược giản được nữa. Chúng ta sẽ sử dụng kết quả này để tạo sự đơn giản trong phương pháp kiểm tra.
Khi kiểm tra trong phép nhân chúng ta cần tìm 3 tổng các chữ số: tổng các chữ số của số bị nhân, số nhân và kết quả. Lấy ví dụ, giả sử chúng ta thực hiện xong phép nhân sau và muốn kiểm tra:
Ba số liên quan ở trên, bao gồm hai số trong tích và kết quả. Chúng ta tính tổng các chữ số của mỗi số:
Số Tổng các chữ số
Số bị nhân: 2 0 4 6
Số nhân: 3 1 4
Tích: 6 3 2 4 6 bởi vì 15 giản ước thành 1 cộng 5 là 6. Quy tắc để kiểm tra là:
Tổng các chữ số của kết quả phải có giá trị bằng với tổng các chữ số của kết quả nhận được từ tích tổng giữa hai tổng chữ số thực hiện với số bị nhân và số