4.1. 4.1.
4.1. Xác định bài toánXác định bài toán Xác định bài toánXác định bài toán
Cần nhắc lại là khi đưa ra một tập N các nút mạng, ấn định khoảng cho
N là một hàm của RA mà ấn định đến mọi nút n ∈N một dải phát RA(u), với 0< RA(u) < rmax, ở đây rmax là dải phát cực đại. Cần chú ý là dưới giả thiết rằng mô hình tổn thất đường dẫn là giống nhau cho tất cả các nút mạng, và rằng các ảnh hưởng của các hiệu ứng pha đinh là không được tính đến, dải phát, và mức độ công suất phát là các khái niệm tương đương. Theo truyền thống, hàm RA được định nghĩa theo khái niệm dải, thay cho khái niệm công suất và sẽ được duy trì quy ước này.
Bài toán ấn định khoảng lần đầu tiên được nghiên cứu trong [25], được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 4.1-1 (bài toán RA): Gọi N là một tập các nút trong không gian d chiều, với d=1, 2, 3. Hãy xác định hàm ấn định khoảng pppp sao cho graph thông tin tương ứng được kết nối mạnh, và c(pppp)= q (pppp()),
r∈s là tối thiểu trên toàn bộ
các hàm ấn định khoảng kết nối, ở đây α là gradient của công suất – khoảng cách.
Thước đo chi phí c(RA) thường được sử dụng khi định nghĩa bài toán
RA là tổng của các công suất phát mà tất cả các nút trên mạng sử dụng. Như vậy, có thể phát biểu một cách hình thức về RA như là bài toán của việc tìm ấn định khoảng "tối thiểu"của nút mà tạo ra một graph thông tin có kết nối, ở đó khái niệm "tối thiểu" là nhằm vào "chi phí năng lượng tối thiểu". Bên cạnh việc suy giảm tiêu tốn năng lượng, việc xâu chuỗi ấn định khoảng với chi phí năng lượng cũng như là tăng dung lượng mạng, các lý do như đã trình bày ở trên Chương 3. Những nhận xét này thúc đẩy việc quan tâm nghiên cứu bài toán RA.
Trong một ý nghĩa nhất định, bài toán RA có thể được xem như là việc tổng quát hóa của bài toán xác định CTR cho khả năng kết nối, khi mà, bỏ đi ràng buộc tất cả các nút phải có cùng dải phát. Như chúng ta sẽ thấy, việc bỏ đi ràng buộc này sẽ làm tăng đáng kể tính phức tạp của việc tìm giải pháp tối ưu.
4.2. 4.2. 4.2.
4.2. Ấn định khoảng trẤn định khoảng trong mạng một chiềuẤn định khoảng trẤn định khoảng trong mạng một chiềuong mạng một chiều ong mạng một chiều
Giải pháp tối ưu trong bài toán RA có thể tìm trong khoảng thời gian đa thức cho trường hợp các mạng một chiều. Trong phần này trình bày thuật toán tìm giải pháp tối ưu đã được giới thiệu trong [25].
Trước khi trình bày thuật toán cần có một số điều kiện sơ bộ.
Gọi N = {u1,……,un} là tập các điểm (nút) đồng thẳng hàng. Không có tổn thất nói chung, giả sử rằng các nút có thứ tự tăng phù hợp với tọa độ không gian của chúng, tức là, u1 là nút tận cùng bên trái và un là nút tận cùng bên phải. Khi đưa ra một tập nút và ấn định khoảng RA, chúng ta nói rằng cạnh (ui, uj) trong graph thông tin cuối cùng là ngược hướng nếu i>j, tức là, nếu cạnh đi từ phải sang trái. Trong trường hợp i, j bất kỳ với 1 ≤ i < j ≤ n, chúng ta định nghĩa Ei,jtập của tất cả các cạnh ngược hướng mà có cả hai điểm mút của chúng thuộc {ui,……,uj}. Một cách hình thức, Ei,j ={(us,ur): i ≤ r < s ≤ j}. Một thí dụ về tập cạnh ngược hướng được trình bày trên Hình 4-1.
Thuật toán tìm giải pháp tối ưu dựa trên lưu đồ đệ quy: khi đưa ra ấn định khoảng tối ưu cho tập nút {u1,……,uk}, với 1 ≤ k ≤ n, thì một chiến lược sẽ được đưa ra để xây dựng ấn định khoảng cho tập các nút {u1,……,uk+1}.
Trực quan đằng sau chiến lược đệ quy là như sau: Khi đưa ra giải pháp
RAk tối ưu tại bước k, và giải pháp cho bước tiếp theo cần phải được xác định, chi phí của RAk có thể xem như là zero (theo giả thiết, tại chi phí tối thiểu c(RAk) là cần thiết để kết nối các nút k tận cùng bên trái), và việc tăng tối thiểu đến ấn định khoảng mà kết nối nút uk+1 cũng phải được nhận biết.
Định nghĩa 4.2-1 (chi phí tăng RA) Gọi N = {u1,……,un} là các nút, và E
là tập các cạnh có hướng giữa các nút trong N. Ấn định khoảng, gây nên bởi tập E, biểu thị bởi RAE,là ấn định tối thiểu sao cho RAE(ui) ≥δ(ui, uj), với mọi cạnh có hướng (ui, uj) ∈E. Chi phí tăng cho ấn định khoảng RA tương ứng với
E, biểu thị bởi cE(RA), được định nghĩa như t() = ∑K:vwx(rJ)yvw(rJ)D(K)E,. Ta nói rằng các cạnh trong E là không có chi phí đối với ấn định khoảng RA.
Chiến lược dựa trên giả thiết đệ quy sau: đối với j ≤ k bất kỳ và l ≥ k
bất kỳ, tồn tại ấn định khoảng RAk với chi phí tối thiểu giữa chúng, tạo nên một graph thông tin với các thuộc tính sau:
1. Có một đường dẫn giữa cặp nút bất kỳ trong {u1,……,uk}. 2. Tồn tại cạnh có hướng (ui, uj), cho một số 1 ≤ i ≤ k.
3. Cạnh ngược hướng trong Ej,k là không có chi phí đối với ấn định khoảng RAk.
Gọi (N’,E) là graph có hướng, ở đây /′ ⊂ /và v là nút thêm vào trong N, gọi là nút thu. Ấn định khoảng được phát biểu là tổng của ((N’, E), v) khi và chỉ khi:
1. Graph trên tập nút N được tạo nên bằng việc thêm vào E các cạnh được tạo nên bằng ấn định dải RA (tức là các cạnh (ui, uj) sao cho
RAE(ui) ≥δ(ui, uj)) là kết nối mạnh;
2. Tồn tại cạnh có hướng (ui, v) cho một vài ui ∈N’; tức là, RA(ui) ≥δ(ui,v)
cho một vài ui ∈N’.
Chi phí của ấn định khoảng tổng cộng cho ((N’, E), v)là chi phí tăng đối với RAE, tức là cE(RA). Một cách trực quan, một ấn định khoảng tổng cộng có chi phí zero cho tất cả các cạnh thuộc E, và thiết lập các đường dẫn truyền thông giữa cặp các nút bất kỳ trong N’, và cả giữa một nút thuộc N’và nút thu, chỉ trong hướng này. Ấn định khoảng tổng cộng cho ((N’, E), v) với chi phí tối thiểu được gọi là tối ưu. Trong trường hợp sau, Feas((N’, E), v) biểu thị tập các ấn định khoảng tổng cộng cho ((N’, E), v)và Opt(((N’, E), v),(u, r) )
biểu thị tập các ấn định khoảng tối ưu cho ((N’, E), v). Cuối cùng, cho u∈N’
và giá trị thực dương r, chúng ta biểu thị với Opt(((N’, E), v),(u, r) ) là tập các ấn định khoảng của chi phí tối thiểu trong số các ấn định RA ∈Feas((N’, E), v) sao cho RA(u)=r.
Thuật toán OPTIMAL1DRA tìm giải pháp tối ưu của bài toán RA trong các mạng một chiều tương ứng như Hình 4-2 dưới đây. Thuật toán đầu tiên nhận dạng tập các ấn định tối ưu để kết nối nút u1 đến một nút bất kỳ nào khác (bước 1.2). Sau đó, chúng ta có một bước đệ quy, trong đó, một tập các ấn định tối ưu cho việc kết nối các nối nút trong (ui,……,uk) với nút thu ul, với k ≤ l ≤ n, được tính toán [25]. Sau n bước đệ quy, ấn định khoảng nào đó trong Opt(({u1,……,un},Ø ), un) là tối ưu theo N.
Tính chính xác của OPTIMAL1DRA đã được chứng minh trong [25]. Các tác giả đã chứng minh rằng độ phức tạp tính toán của thuật toán là O(n4).
Khi so sánh độ phức tạp tính toán của OPTIMAL1DRA với thuật toán tìm dải tới hạn (critical) cho khả năng kết nối, có thể thấy độ phức tạp tăng lên do bỏ đi giả thiết về việc tất cả các nút đều có cùng một dải phát. Trong trường hợp các điểm đồng thẳng hàng, CTR có thể tìm trong khoảng
O(nlogn) lần1, đáng để so sánh với thời gian O(n4) của OPTIMAL1DRA. Mức độ chênh lệch trong khái niệm về độ phức tạp tính toán là đáng xem xét: khi
n=100, thời gian thực hiện của thuật toán tăng từ khoảng các đơn vị 1000 lần trong trường hợp của bài toán CTR đến khoảng các đơn vị 108 lần cho bài toán RA một chiều.
Thuật toán OPTIMAL1DRA
1. Initialization
1.1 Let RAi be the range assignment such that RAi(ui)=δ(ul, ui),
and RAi(uj) = 0 otherwise
1.2 for i=2,…,... n do Opt(({u1},Ø), ui)=RAi
2. Step k:
2.1 Assume we know Opt (({u1,…,…, uk}, Ei,k), ul), for any 1 ≤ i ≤ k
and k ≤ l ≤ n and
2.2 for any j, m such that 1 ≤ j ≤ k + 1 ≤ m ≤ n
2.3 consider all possible values of RA(uk+1) (there are k+2 such
values)
2.4 for each such value r, find an assignment pppp in
1 Thuật toán tìm kiếm CTR trong khoảng thời gian O(nlogn) trong các mạng một chiều là như sau. Trước hết, thứ tự các nút phù hợp với tọa độ không gian của chúng. CTR cho khả năng kết nối là lớn nhất trong số những khoảng cách giữa các nút kế tiếp theo trật tự.
Opt(({u1,……..,uk},Ej,k+1),uk+1, (uk+1, r))
2.5 if pppp has cost lower than that of current range assignment
for j,m, store pppp (new current minimum)
2.6 at the end of step k, we know a range assignment in
Opt(({u1,……..,uk},Ej,k+1),ul), for any 1 ≤ i ≤ k + 1 ≤ l ≤ n
3. after step n, an optimal assignment is one in Opt(({u1,……..,un},Ø),un)
Hình 4-2. Thuật toán tìm ấn định khoảng tối ưu trong mạng 1 chiều
4.3. 4.3. 4.3.
4.3. Ấn định khoảng trong mạng hai chiềuẤn định khoảng trong mạng hai chiều Ấn định khoảng trong mạng hai chiềuẤn định khoảng trong mạng hai chiều
Như phần trước, vấn đề RA đã được phân tích cho trường hợp mạng một chiều, cho thấy sự gia tăng đáng kể độ phức tạp tính toán so với trường hợp giải bài toán CTR đơn giản hơn. Việc gia tăng độ phức tạp tính toán thậm chí còn trở nên lớn hơn trong trường hợp của các mạng hai chiều hoặc ba chiều, như sẽ được phát biểu dưới đây.
Định nghĩa 4.3-1: Việc giải bài toán RA trong các mạng hai chiều và ba chiều là NP-hard.
Tính chất NP-hard trong việc tìm giải pháp tối ưu cho bài toán RA trong các mạng ba chiều đã được chứng minh trong [25]. Trước đó, bài toán đã được chứng minh rằng nó có cả tính NP-hard trong trường hợp mạng hai chiều [12].
Mặc dù việc giải bài toán RA cho mạng hai hoặc ba chiều là khó khăn, việc xấp xỉ đến giải pháp tối ưu có thể tính được dễ dàng bằng việc xây dựng một cây tối thiểu MST trên các nút. Việc xây dựng ấn định khoảng là như sau:
Gọi N ={u1,……,un} là tập các điểm (nút) trong không gian hai hoặc ba chiều.
1. Xây dựng một graph đầy đủ có trọng số vô hướng G=(N,E), với trọng số của cạnh (ui, uj) ∈ E làδ(ui, uj)α.
2. Tìm cây tối thiểu (minimum weight spanning tree) T của G.
Một ví dụ minh họa cây tối thiểu được trình bày trên Hình 4-3 và tương ứng là là ấn định khoảng RAT.
Thuật toán cho việc xây dựng RAT có thời gian thực hiện là O(n2) (độ phức tạp thời gian của việc xây dựng cây MST trên n nút) và tạo ra xấp xỉ hai của giải pháp tối ưu.
Định nghĩa 4.3-2: [25] Gọi N là tập các điểm (nút) trong không gian hai hoặc ba chiều, và RAT là ấn định khoảng định nghĩa ở trên . Gọi RApppp là ấn định khoảng tối ưu cho bài toán RA. Thì C(RAT)< 2c(pppp)
Chứng minh. Việc chứng minh sẽ bao gồm hai bước. Bước đầu, cần chứng minh rằng c(pppp) lớn hơn chi phí c(T) của cây tối thiểu T. Sau đó, cần chứng minh rằng C(RAT) < 2c(pppp).
1. c(pppp) > c(T)
Bắt đầu từ ấn định khoảng pppp nào đó cho N, có thể xây dựng một cây cho graph vô hướng đầy đủ G bằng việc lựa chọn một nút u∈N, và có thể xây dựng một cây đích đường dẫn ngắn nhất có gốc tại u, với tất cả các cạnh hướng đến gốc, biểu thị các đường dẫn trọng số tối thiểu từ một nút bất kỳ đến nút gốc. Khi đưa ra một cây đích đường dẫn ngắn nhất, cây T’ tương
ứng được tạo bởi việc thay đổi các cạnh có hướng trong cây đường dẫn ngắn nhất theo các cạnh vô hướng trong G. Do mỗi một trong các nút n-1 khác nút gốc phải được ấn định khoảng để tối thiểu cũng đủ để thiết lập các cạnh trong cây đích đường dẫn ngắn nhất, chúng ta có c(pppp) > c(T’). Bất đẳng thức sít sao cho phép từ thực tế là pppp ấn định một dải dương sít sao đến nút gốc u (điều này là cần thiết cho khả năng kết nối mạnh), mà không được tính đến trong c(T’). Ngược lại, c(T’) tối thiểu lớn bằng chi phí c(T) của cây tối thiểu.
2. c(RA) > 2c(T)
Trong trường hợp này, có thể quan sát thấy rằng trong thời gian khởi tạo của RA, mỗi cạnh của T có thể được chọn như là cạnh dài nhất (tức là khoảng phát) bởi hai nút của cạnh.
4.4. 4.4. 4.4.
4.4. TínTính đối xứngTínTính đối xứngh đối xứngh đối xứng
Trong bài toán ấn định khoảng, chúng ta quan tâm về việc thiết lập graph thông tin có kết nối bền vững. Vì nói chung các nút các các khoảng phát khác nhau, các liên kết đơn hướng có thể xảy ra và chúng có thể là các liên kết quan trọng cho việc đảm bảo sự kết nối bền vững.
Mặc dù, việc thiết lập các liên kết không dây đơn hướng là công nghệ linh hoạt nhưng lợi thế của việc sử dụng các liên kết vô hướng lại đang còn phải xem xét.
Thực tế, hầu hết các giao thức định tuyến trong mạng ad hoc dựa trên giả thuyết là các liên kết đơn hướng có thể “đảo ngược” được tức là sẽ thành liên kết hai chiều. Các quan sát giống nhau ứng dụng với cài đặt đồng thời của lớp MAC trong chuẩn IEEE 802.11, trên cơ sở trao đổi thông điệp RequestToSend/ClearToSend: khi nút u muốn gửi một thông điệp đến nút v trong cùng khoảng phát, thì nó sẽ gửi một RTS và chờ đợi CTS từ nút v. Nếu CTS không được nhận trong cùng thời gian, thông điệp truyền sẽ bị hủy bỏ và nút u lại cố gắng truyển lại. Nếu liên kết không dây giữa các nút u và v là đơn hướng thì hoặc một trong hai thông điệp RTS/CTS không được nhận, và truyền thông không thể xảy ra.
Hỗ trợ cho các liên kết đơn hướng ở lớp MAC sẽ có tác dụng làm cho các nút trung gian tiếp âm nhận được thông báo RTS/CTS thay cho các nút u và v. Do vậy, cơ chế truy nhập kênh khác nhau được sử dụng ở đây.
Các lý lo trên chính là động lực để nghiên cứu xem xét về các phiên bản giới hạn của bài toán ấn định khoảng, các điều kiện ràng buộc đối xứng được trình bày trên graph thông tin. Đặc biệt, có hai định nghĩa sau đã được xem xét:
Định nghĩa 4.4-1 (Bài toán WSAR): N là tập hợp các nút trong không
gian d chiều với d=1,2,3. RA là ấn định khoảng cho N và G là graph thông tin (có hướng) tương ứng. Subgraph đối xứng của G, là graph vô hướng thu được từ G bằng cách loại bỏ các cạnh đơn hướng. WSAR xác định một hàm ấn định khoảng pppp sao cho được kết nối và (pppp) = q (r∈s pppp()),
là tối thiểu với α là distance-power gradient.
Định nghĩa 4.4-2 (Bài toán SRA): Cho N là tập các nút trong không gian
d chiều, với d=1,2,3. Ấn định khoảng RA cho N được gọi là đối xứng nếu nó sinh ra graph thông tin chỉ chứa các liên kết hai chiều, với (K) ≥ C(K, |) ⇔ (|) ≥ C(K, |). Bài toán ấn định khoảng đối xứng SRA
(Symmetric Range Assignment) là xác định một hàm SRA, pppp sao cho graph thông tin tương ứng được kết nối và () = q (r∈s pppp()),
là tối thiểu.
Lưu ý rằng các yêu cầu đối xứng khác nhau trong hai phiên bản của bài toán: trong WSRA (Weakly Symmetric Range Assignment) graph thông tin có thể chứa các liên kết đơn hướng. Còn trong SRA graph thông tin chỉ chứa các liên kết hai chiều. Đây là yêu cầu bền vững hơn trong graph thông tin, xem Hình 4-4.
4.4.1. Tính đối xứng trong mạng một chiều
Trường hợp các nút cùng trên một đường thẳng, SRA tối ưu cho tập các nút dưới đây:
1. Thứ tự các nút tuân theo tọa độ không gian của chúng {^, ,. . . } 2. Gán cho nút ^khoảng phát C(^, , nút khoảng phát là C(}^, ),
và mỗi nút khác nút K có khoảng phát tương ứng với max{C(K}^, K), C(K, Ke^)}
3. Việc gia tăng khoảng phát của một số nút dể đảm bảo tính đối xứng: đối với bất kỳ cạnh vô hướng (K, |) nào trong graph thông sinh ra ở bước trước, thì làm tăng khoảng phát của nút | và có thể tới được nút K. Quá trình này được lặp lặp lại cho đến khi tất cả các cạnh trong