Định nghĩa 4.2-1 (chi phí tăng RA) Gọi N = {u1,……,un} là các nút, và E
là tập các cạnh có hướng giữa các nút trong N. Ấn định khoảng, gây nên bởi tập E, biểu thị bởi RAE,là ấn định tối thiểu sao cho RAE(ui) ≥δ(ui, uj), với mọi cạnh có hướng (ui, uj) ∈E. Chi phí tăng cho ấn định khoảng RA tương ứng với
E, biểu thị bởi cE(RA), được định nghĩa như t() = ∑K:vwx(rJ)yvw(rJ)D(K)E,. Ta nói rằng các cạnh trong E là không có chi phí đối với ấn định khoảng RA.
Chiến lược dựa trên giả thiết đệ quy sau: đối với j ≤ k bất kỳ và l ≥ k
bất kỳ, tồn tại ấn định khoảng RAk với chi phí tối thiểu giữa chúng, tạo nên một graph thông tin với các thuộc tính sau:
1. Có một đường dẫn giữa cặp nút bất kỳ trong {u1,……,uk}. 2. Tồn tại cạnh có hướng (ui, uj), cho một số 1 ≤ i ≤ k.
3. Cạnh ngược hướng trong Ej,k là không có chi phí đối với ấn định khoảng RAk.
Gọi (N’,E) là graph có hướng, ở đây /′ ⊂ /và v là nút thêm vào trong N, gọi là nút thu. Ấn định khoảng được phát biểu là tổng của ((N’, E), v) khi và chỉ khi:
1. Graph trên tập nút N được tạo nên bằng việc thêm vào E các cạnh được tạo nên bằng ấn định dải RA (tức là các cạnh (ui, uj) sao cho
RAE(ui) ≥δ(ui, uj)) là kết nối mạnh;
2. Tồn tại cạnh có hướng (ui, v) cho một vài ui ∈N’; tức là, RA(ui) ≥δ(ui,v)
cho một vài ui ∈N’.
Chi phí của ấn định khoảng tổng cộng cho ((N’, E), v)là chi phí tăng đối với RAE, tức là cE(RA). Một cách trực quan, một ấn định khoảng tổng cộng có chi phí zero cho tất cả các cạnh thuộc E, và thiết lập các đường dẫn truyền thông giữa cặp các nút bất kỳ trong N’, và cả giữa một nút thuộc N’và nút thu, chỉ trong hướng này. Ấn định khoảng tổng cộng cho ((N’, E), v) với chi phí tối thiểu được gọi là tối ưu. Trong trường hợp sau, Feas((N’, E), v) biểu thị tập các ấn định khoảng tổng cộng cho ((N’, E), v)và Opt(((N’, E), v),(u, r) )
biểu thị tập các ấn định khoảng tối ưu cho ((N’, E), v). Cuối cùng, cho u∈N’
và giá trị thực dương r, chúng ta biểu thị với Opt(((N’, E), v),(u, r) ) là tập các ấn định khoảng của chi phí tối thiểu trong số các ấn định RA ∈Feas((N’, E), v) sao cho RA(u)=r.
Thuật toán OPTIMAL1DRA tìm giải pháp tối ưu của bài toán RA trong các mạng một chiều tương ứng như Hình 4-2 dưới đây. Thuật toán đầu tiên nhận dạng tập các ấn định tối ưu để kết nối nút u1 đến một nút bất kỳ nào khác (bước 1.2). Sau đó, chúng ta có một bước đệ quy, trong đó, một tập các ấn định tối ưu cho việc kết nối các nối nút trong (ui,……,uk) với nút thu ul, với k ≤ l ≤ n, được tính toán [25]. Sau n bước đệ quy, ấn định khoảng nào đó trong Opt(({u1,……,un},Ø ), un) là tối ưu theo N.
Tính chính xác của OPTIMAL1DRA đã được chứng minh trong [25]. Các tác giả đã chứng minh rằng độ phức tạp tính toán của thuật toán là O(n4).
Khi so sánh độ phức tạp tính toán của OPTIMAL1DRA với thuật toán tìm dải tới hạn (critical) cho khả năng kết nối, có thể thấy độ phức tạp tăng lên do bỏ đi giả thiết về việc tất cả các nút đều có cùng một dải phát. Trong trường hợp các điểm đồng thẳng hàng, CTR có thể tìm trong khoảng
O(nlogn) lần1, đáng để so sánh với thời gian O(n4) của OPTIMAL1DRA. Mức độ chênh lệch trong khái niệm về độ phức tạp tính toán là đáng xem xét: khi
n=100, thời gian thực hiện của thuật toán tăng từ khoảng các đơn vị 1000 lần trong trường hợp của bài toán CTR đến khoảng các đơn vị 108 lần cho bài toán RA một chiều.
Thuật toán OPTIMAL1DRA
1. Initialization
1.1 Let RAi be the range assignment such that RAi(ui)=δ(ul, ui),
and RAi(uj) = 0 otherwise
1.2 for i=2,…,... n do Opt(({u1},Ø), ui)=RAi
2. Step k:
2.1 Assume we know Opt (({u1,…,…, uk}, Ei,k), ul), for any 1 ≤ i ≤ k
and k ≤ l ≤ n and
2.2 for any j, m such that 1 ≤ j ≤ k + 1 ≤ m ≤ n
2.3 consider all possible values of RA(uk+1) (there are k+2 such
values)
2.4 for each such value r, find an assignment pppp in
1 Thuật toán tìm kiếm CTR trong khoảng thời gian O(nlogn) trong các mạng một chiều là như sau. Trước hết, thứ tự các nút phù hợp với tọa độ không gian của chúng. CTR cho khả năng kết nối là lớn nhất trong số những khoảng cách giữa các nút kế tiếp theo trật tự.
Opt(({u1,……..,uk},Ej,k+1),uk+1, (uk+1, r))
2.5 if pppp has cost lower than that of current range assignment
for j,m, store pppp (new current minimum)
2.6 at the end of step k, we know a range assignment in
Opt(({u1,……..,uk},Ej,k+1),ul), for any 1 ≤ i ≤ k + 1 ≤ l ≤ n
3. after step n, an optimal assignment is one in Opt(({u1,……..,un},Ø),un)