Chương 2 LÝ THUYẾT PHÂN TÍCH MẠCH QUANG TỬ
2.1. Kỹ thuật DSP ứng dụng trong mạch quang tử
Kỹ thuật xử lý tín hiệu số DSP (Digital Signal Processing) , tập trung vào công cụ biến đổi z (ZT- Z Transform) để phân tích các mạch quang tử được đề xuất lần đầu tiên bởi Moleshi và đồng nghiệp [3]. Sau đó kỹ thuật này đã được phát triển để phân tích các mạch quang phức tạp, gồm cả các thiết bị vi cộng hưởng [25]. Luận văn sẽ sử dụng công cụ biến đổi z để phân tích một vài mạch quang tử, ứng dụng trong các hệ thống thông tin và kết nối quang băng rộng và trong các hệ thống tính toán hiệu năng cao.
2.1.1. Biến đổi z
Biến đổi z là một công cụ quan trọng trong kỹ thuật xử lý tín hiệu số và tín hiệu rời rạc. Biến đổi z của một chuỗi tín hiệu rời rạc trong miền thời gian h(n) được định nghĩa như sau [32]:
H(z) =
+∞
∑
Trong miền thời gian, khi tín hiệu vào x(n), đi qua hệ thống có đáp ứng xung h(n), đáp ứng ra y(n) của hệ thống được tính theo quan hệ tích chập (convolution) là:
y(n) =x(n)∗h(n) =
+∞
∑
n=−∞x(m)h(n−m) (2.2) Trong miền z, quan hệ này được viết dưới dạng sau:
Y(z) =X(z)H(z) (2.3) Hàm truyền của hệ thống H(z) từ đó được tính theo đáp ứng ra và tín hiệu vào theo công thức:
H(z) = Y(z)
X(z) (2.4)
2.1.2. Cực và không (Poles and zeros)
Hệ thống tuyến tính bất biến được đặc trưng bởi phương trình sai phân:
N−1 ∑ k=−∞ aky(n−k) = M−1 ∑ r=−∞brx(n−r) (2.5) Biến đối z hai vế ta có:
Y(z) =b0X(z)+b1z−1X(z)+...+bM−1z−(M−1)X(z)−a1z−1Y(z)−...−aN−1z−(N−1)Y(z)
(2.6) Do vậy, hàm truyền của hệ thống là:
H(z) = Y(z)
X(z) =
b0+b1z−1+...+bM−1z−(M−1)
a0+a1z−1+...+aN−1z−(N−1) (2.7) Điểm không là các điểm mà tại đó tử số của H(z) nhận giá trị không, tức H(z)=0:
z =zi. Điểm cực là điểm mà tại mẫu số của H(z) nhận giá trị không:z= pj.
2.1.3. Biểu diễn tín hiệu quang trong miền z
Xét một ống dẫn sóng (tín hiệu quang) với tham số suy hao γ và pha φ như Hình 2.1. Thay đổi về biên độ và pha của tín hiệu là do truyền dẫn qua ống dẫn sóng
chiều dài L. Hàm truyền của ống dẫn sóng có thể được viết dưới dạng sau:
H = Eout
Ein =γe−jφ (2.8) Trong đó, Ein và Eout là trường quang tín hiệu vào và ra của ống dẫn sóng. Tham số pha của cấu trúc này có thể viết z−1 =e−jφ. Do vậy, với τ = ngL
c , hàm truyền của hệ thống trên được viết dưới dạng
H = Eout
Ein =γz−1 (2.9)
Trong đó, τ, ng, L vàclần lượt là độ trễ, vận tốc nhóm của tín hiệu, chiều dài ống dẫn sóng và vận tốc ánh sáng.
Hình 2.1: Tín hiệu quang truyền qua ống dẫn sóng thẳng
Áp dụng nguyên tắc trên, đối với cấu trúc vi mạch quang bất kỳ, chúng ta đều có thể biểu diễn trong miền z.
2.1.4. Trễ nhóm và tán sắc
Từ biến đổi z, có thể biểu diễn hàm truyền của hệ thống trong miền tần số như sau:
H(ejω) =H(z)|z=ejω =|H(ejω)|exp{jarg(H(ejω))} (2.10) Trong đó,|H(ejω)|là hàm truyền biên độ vàφ(ejω) =arg(H(ejω))là hàm truyền pha của H(ejω).
Trong hệ thống truyền dẫn quang, không những biên độ của hàm truyền quan trọng mà pha của hàm truyền cũng quan trọng. Nó có ảnh hưởng lên băng thông và độ dãn xung quang. Trễ nhóm tuyệt đối của hệ thống được định nghĩa là:
τg =τ.τn (2.11)
Ω=ωτ. Tức trễ là vi phân của pha tại tần số cần tính. Trong kỹ thuật phân tích mạch quang tử dùng biến đổi z, người ta còn định nghĩa tần số chuẩn hóa ν = fτ,
f = f/λlà tần số quang.
Tán sắc chuẩn hóa của bộ lọc (hệ thống) được định nghĩa như sau:
Dn = dτn
dν (2.12)
Tán sắc tuyệt đối (đơn vị ps/nm.km) là:
D=−c(τ
λ)2Dn (2.13)