Đối với khía cạnh tái tạo lại, điều quan trọng cần lƣu ý là các chỗ nhô ra theo tất cả các góc θ có thể đƣợc coi nhƣ là một đại diện của hình ảnh 2 – D. Một tọa độ là vị trí trong hình chiếu cạnh, r, góc θ (Hình 8.15). Do đó chúng ta có thể coi chiếu song song nhƣ là một sự biến đổi của hình ảnh 2 – D đại diện. Xây dựng lại sau đó chỉ có ý nghĩa là áp dụng việc biến đổi ngƣợc. Vấn đề quan trọng, vì vậy, là để mô tả biến đổi chụp cắt lớp
Một chùm tia chiếu đƣợc đặc trƣng bởi góc θ và độ lệch r (Hình 8.15). Góc θ là góc giữa mặt phẳng chiếu và trục x. Hơn nữa, chúng ta giả sử rằng chúng ta cắt so song đối tƣợng 3 – D với mặt phẳng xy. Sau đó, các sản phẩm vô hƣớng giữa 1 véc tơ x trên chùm tia chiếu và một véc tơ đơn vị.
n¯ = [cos ϑ, sin ϑ]T (8.23)
bình thƣờng so với chùm tia chiếu là không đổi và bằng góc lệch r của chum tia
xn¯ − r = x cos ϑ + y sin ϑ − r = 0. (8.24)
Hình 8.15 : Hình học của một chùm tia chiếu
Cƣờng độ dự kiến P(r , ϑ) đƣợc cho bởi tích hợp dọc theo chùm tia chiếu
Phân phối δ trong phƣơng trình này làm giảm tích tăng gấp đôi lên một chùm tia chiếu theo hƣớng θ rằng có một khoảng cách r từ trung tâm của hệ thống phối hợp. Chuyển đổi projective của 2-D g chức năng (x) vào P (r, θ) đƣợc đặt tên sau khi Radon nhà toán học nhƣ biến đổi Radon.
Để hiểu rõ hơn về các tính chất của biến đổi Radon, chúng ta phân tích nó trong không gian Fourier. Biến đổi Radon có thể đƣợc hiểu nhƣ là một trƣờng hợp đặc biệt của một hoặt động lọc tuyến tính thay đổi – bất biến, các ngƣời vận hành chiếu. Tất cả các giá trị mầu xám dọc theo chum tia chiếu đƣợc thêm vào. Vì vậy, các chức năng phân bố điểm của ngƣời khai thác chiếu là một đƣờng δ theo hƣớng của tia chiếu. Trong miền Fourier này hoạt động tích chập tƣơng ứng với một phép nhân với các chức năng chuyển đổi, đó là một đƣờng δ (2 – D) hoặc mặt phẳng δ (3 – D) bình thƣờng đối với đƣờng δ trong miền không gian . Bằng cách này, ngƣời điều hành chiếu cắt một đƣờng hoặc một mặt phẳng ra của phổ vuông góc với chum tia chiếu.
Mối quan hệ cơ bản này có thể đƣợc tính toán một cách dễ dàng nhất mà không mất tính tổng quát, xoay quanh một hệ thống tọa độ trong đó các hƣớng chiếu trùng với trục y. Sau đó tọa độ r trong P(r , ϑ) trùng với tọa độ x’ và ϑ sẽ trở thành số 0. Trong trƣờng hợp đặc biệt, biến đổi Radon giảm một tích hợp theo hƣớng y’:
P(x’,0) = (8.26) Chuyển đổi Fourier của chức năng chiếu có thể đƣợc viết nhƣ sau.
Thay thế P(x’,0) theo định nghĩa của biến đổi Radon, eq. (8.26) mang lại
Nếu chúng ta chèn vào hệ số exp(−2πi0y’) = 1 trong tách đôi này, chúng ta nhận ra rằng không thể thiếu là 2 – D biến đổi Fourier của g(x’,y’) cho :
Chuyển đổi quay lại tọa độ ban đầu vào hệ thống cuối cùng .
Trong đó q là tọa độ trong không gian k theo hƣớng ϑ và vector bình thƣờng. Các phổ chiếu là giồng với phổ của các đối tƣợng ban đầu về một chum tia bình thƣờng theo hƣớng của chum tia chiếu. Kết quả quan trọng này đƣợc gọi là định lý cắt Fourier hoặc định lý chiếu.