Định nghĩa 2.2(Hàm khối lượng xác suất). Cho biến ngẫu nhiên rời rạcX. Đặt
pX(x) = P(X =x), x ∈R (2.1)
Hàm pX(x) được gọi là hàm khối lượng xác suất (probability mass function) của biến ngẫu nhiên rời rạcX.
Hàm khối lượng xác suất có tính chất sau.
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Tính chất 2.1. (a) pX(xk) >0với mọixk ∈SX;
(b) ∑x
k∈SX pX(xk) = 1;
(c) pX(x) =0với mọixk ∈/SX.
Định nghĩa 2.3(Bảng phân phối xác suất). Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạcXlà bảng ghi sự tương ứng giữa các giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận được với giá trị của hàm khối lượng xác suất tương ứng.
(i) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có hữu hạn (n) phần tử thì bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiênX là:
X x1 x2 . . . xn
p p1 p2 . . . pn (2.2)
trong đó {x1,x2, . . . ,xn} là tập các giá trị của X đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần, pi =pX(xi) = P(X =xi), i=1, 2 . . . ,n.
(ii) Nếu Xlà biến ngẫu nhiên rời rạc có vô hạn đếm được phần tử thì bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiênXlà:
X x1 x2 . . . xn . . .
p p1 p2 . . . pn . . . (2.3)
trong đó {x1,x2, . . . ,xn. . .} là tập các giá trị của X đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần, pn = pX(xn) = P(X =xn),n=1, 2 . . ..
Ví dụ 2.3. Một xạ thủ có 3 viên đạn được yêu cầu bắn lần lượt từng viên cho đến khi trúng mục tiêu hoặc hết cả 3 viên thì thôi. Tìm bảng phân phối xác suất của số đạn đã bắn, biết rằng xác suất bắn trúng đích của mỗi lần bắn là 0,8.
Lời giải:GọiXlà số đạn đã bắn,X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 1, 2, 3. GọiAilà sự kiện "bắn trúng mục tiêu ở lần bắn thứi",i =1, 2, 3. Khi đó,
P(X =1) = P(A1) =0, 8.
P(X =2) = P(A1A2) = P(A1)P(A2) = 0, 2×0, 8 =0, 16.
P(X =3) = P(A1A2(A3+A3)) =P(A1)P(A2)P(A3+A3) =0, 2×0, 2×(0, 8+0, 2) = 0, 04. Vậy bảng phân phối xác suất củaXlà
X 1 2 3
MI2020-KỲ 20192–TÓM TẮT BÀI GIẢNG Nguyễn Thị Thu Thủy–SAMI-HUST Ví dụ 2.4. Một người đem 10 nghìn VNĐ đi đánh một số đề. Nếu trúng thì thu được 700 nghìn VNĐ, nếu trượt thì không được gì. Gọi X(nghìn VNĐ) là số tiền thu được. Ta có bảng phân phối xác suất củaX
X 0 700 p 99/100 1/100
Ví dụ 2.5. Một chùm chìa khóa gồm 4 chiếc giống nhau, trong đó chỉ có một chiếc mở được cửa. Người ta thử ngẫu nhiên từng chiếc cho đến khi mở được cửa. Gọi X là số lần thử. Tìm phân phối xác suất củaX.
Lời giải: Xcó thể nhận các giá trị 1, 2, 3, 4.
GọiAilà sự kiện "mở được cửa ở lần thử thứi",i =1, 2, 3, 4. Khi đó, P(X =1) = P(A1) = 1 4 P(X =2) = P(A1A2) =P(A1)P(A2|A1) = 3×1 4×3 = 1 4 P(X =3) = P(A1A2A3) = P(A1)P(A2|)P(A3|A1A2) = 3×2×1 4×3×2 = 1 4 P(X =4) = P(A1A2A3A4) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3) = 1 4. Suy ra bảng phân phối xác suất củaX
X 1 2 3 4
p 1/4 1/4 1/4 1/4