Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell

8. Cấu trúc nội dung của luận án

2.2 Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell

Trường điện từ là một dạng tồn tại đặc trưng của vật chất, chuyển động với vận tốc c trong mọi hệ quy chiếu quán tính trong chân không, nó thể hiện sự tồn tại và vận động qua những tương tác với một dạng vật chất khác là những hạt hoặc những

môi trường mang điện đặc trưng bởi tập hợp các tính chất điện và từ. Tất cả các hiện

tượng điện từ xảy ra trong thiết bị điện từ nói chung hay CKBN nói riêng đều được mô tả bởi hệphương trình Maxwell cùng với các luật trạng thái của chúng thông qua

4 vectơ đặc trưng cho trường điện từ: vectơ cường độđiện trường E (V/m), vectơ cảm

ứng điện D (C/m2), vectơ cảm ứng từhay vectơ mật độ từthông B (T) và vectơ cường

độ từtrường H (A/m). Hệ phương trình Maxwell bao gồm bốn phương trình có thể được viết theo dạng vi phân hoặc tích phân, dưới đây là hệphương trình dạng vi phân:

Định luật cảm ứng Faraday: rot E = −∂B

∂t (2.1)

Định luật Gauss về từtrường: div B = 0 (2.2)

Định luật Ampere: rot 𝐻 = 𝑗 +𝜕𝐷𝜕𝑡 (2.3)

Định luật Gauss vềđiện trường: div D = ρ (2.4) Hoặc biểu diễn dưới dạng tích phân như sau:

∮ 𝐸 𝑑𝐿 = − ∫ 𝜕𝐵𝜕𝑡

𝑆 𝑑𝑆 (2.5)

∮ 𝐻 𝑑𝐿 = 𝐼 + ∫ 𝜕𝐷 𝜕𝑡 𝑆 𝑑𝑆 (2.7) ∮ 𝐷 𝑑𝑆 = − ∫ 𝜌𝑣𝑑𝑣 𝑣 (2.8) Trong các phương trình trên: j (A/m2) là mật độ dòng điện,  (C/m3) là mật

độđiện tích, đặc trưng cho nguồn gây ra bởi các trường trong các môi trường có các hệ số: từ thẩm 𝜇 (H/m); hệ số điện dẫn suất γ; hằng số điện môi 𝜀 (F/m). Từ các

phương trình cơ bản này dẫn ra hàng loạt các định lý và nguyên lý quan trọng của

trường điện từ.

Trong hệ tọa độ Descartes:

𝑑𝑖𝑣𝐴⃗ = 𝛻𝐴⃗ =𝜕𝐴𝜕𝑥𝑥 +𝜕𝐴𝜕𝑦𝑦+𝜕𝐴𝜕𝑧𝑧 (2.9) i j k rot x y z A A A        = x = x y z A A (2.10)

Trong đó i, j và k tương ứng là vectơ đơn vị của trục x, y và z.

Bằng cách lấy div hai vế của phương trình (2.3), sau đó thay vào (2.4), ta được

phương trình bảo toàn điện tích được viết như sau:

div j +𝜕ρ𝜕𝑡 = 0 (2.11)

Nếu như mật độ dòng điện j tồn tại mọi thời điểm, điện tích có thể đạt được bằng cách lấy tích phân hai về của phương trình (2.11) trong một miền khối V. Sau

đó áp dụng lý thuyết Gauss, phương trình (2.11) được viết lại như sau: ∫ j. 𝑛𝑑𝑠

𝜕𝑉 =𝜕𝜕

𝑡∫ ρ𝑑𝑥

𝑉

(2.12)

Phương trình (2.12) cho ta thấy toàn bộđiện tích nằm trong miền khối V thay

đổi theo dòng chảy điện ngang qua bề mặt của ∂V.