Như đã trình bày trên đây, khó khăn chính của bài toán khí động lực học ô tô là việc giải một hệ các phương trình vi phân đạo hàm riêng. Tuy nhiên, trong thực tế vấn đề còn phức tạp hơn nữa do dòng chảy không khí bao quanh vỏ xe ô tô là dòng rối. Trong điều kiện này, các thông số của dòng chảy (u, v, w và p) tại một điểm bất kỳ trong không gian biến thiên liên tục theo thời gian. Mức độ phức tạp của bài toán phụ
thuộc vào kích thước của dòng rối, thời gian tồn tại và tốc độ biến thiên của các thông số của nó.
Để giải quyết các vấn đề trên, các nhà nghiên cứu đã phải đưa ra các phương pháp khác nhau để mô tả các thông số của dòng rối. Tùy theo cách mô tả dòng rối mà các người ta có được các mô hình khác nhau để giải bài toán khí động học ô tô. Dưới đây là một số mô hình thông dụng.
Hiện nay, để giải bài toán khí động học ô tô trong điều kiện dòng chảy rối, người ta sử dụng hai phương pháp sau: giải trực tiếp phương trình Navier - Stokes (Direct Numerical Simulation, viết tắt là DNS) hoặc sử dụng các mô hình dòng rối.
a) Mô phỏng trực tiếp (DNS)
Ở đây, người ta sử dụng trực tiếp phương trình Navier - Stokes làm mô hình toán học mô tả dòng chảy rối. Đây là bài toán mô tả chính xác nhất dòng chảy khí động học ô tô. Tuy nhiên, bài toán có mức độ phức tạp rất cao, việc tính toán gặp phải những vấn đề nan giải do kích thước của dòng rối và thời gian tồn tại của chúng rất nhỏ và vì vậy, thường dẫn đến những khó khăn sau:
- Kết quả tính toán không ổn định và dao động theo thời gian. - Kích thước của lưới và bước chia thời gian quá nhỏ.
- Thời gian tính toán rất lớn.
- Bị giới hạn bởi số Reynolds thấp.
Với những khó khăn trên, phương pháp DNS hiếm khi được sử dụng để nghiên cứu dòng chảy khí động lực học ô tô.
b) Các mô hình dòng rối
Do các thông số của dòng rối biến thiên liên tục, nên để mô tả một thông số a bất kỳ của nó, người ta giả thiết như sau:
Nghĩa là, thông số bất kỳ a của dòng chảy không khí được biểu diễn như tổng của hai thành phần: thành phần không biến động là giá trị trung bình của và thành phần biến động . Nếu xét trong khoảng thời gian là T, giá trị trung bình của đại lượng được tính như sau:
(2.16) Với giả thiết trên, vận tốc theo 3 phương và áp suất chất lỏng được mô tả bằng các biểu thức sau:
(2.17) (2.18) Nếu thay các thành phần vận tốc và áp suất trên vào phương trình 2.14, người ta thu được các phương trình ở dạng trung bình hóa. Các phương trình này còn được gọi là phương trình Reynolds Navier - Stokes trung bình hóa (Reynolds Average Navier Stokes, viết tắt là RANS):
(2.19) Trong phương trình trên, ta thấy xuất hiện thêm một ẩn số là đặc trưng cho ứng suất của dòng rối và thường được gọi là ứng suất Reynolds. Để tiện cho việc sử dụng, người ta ký hiệu ứng suất của dòng rối là , khi đó:
(2.20) Việc xuất hiện thêm một ẩn số làm cho bài toán trở nên không khép kín và không thể giải được. Có nghĩa là, để giải bài toán với các phương trình Reynolds trung bình hóa, người ta buộc phải mô tả mối quan hệ giữa với các thông số của dòng chảy. Nếu như được mô tả thông qua các thông số đã có trong hệ phương trình (2.14) thì hệ là khép kín, vì khi đó ứng suất Reynolds không còn là ẩn số. Nhưng nếu mô tả thông qua các thông số khác của dòng chảy thì các thông số này sẽ là các ẩn số mới và đòi hỏi phải bổ sung thêm số phương trình tương ứng với số ẩn mới.
Như vậy, có thể thấy rằng việc mô tả ứng suất của dòng rối chính là tâm điểm của việc giải bài toán RANS. Các nhà nghiên cứu đã tìm ra nhiều cách khác nhau để mô tả và cũng chính vì vậy mà sinh ra các mô hình tính toán khác nhau. Dưới đây là hai dạng mô hình điển hình để giải phương trình RANS: các mô hình dòng rối nhớt và mô hình ứng suất Reynolds.
Các mô hình dòng rối nhớt
Các mô hình sử dụng giả thiết để mô tả thông qua một ten sơ biến dạng và độ nhớt dòng rối µt được gọi là mô hình dòng rối nhớt. Ten sơ ứng suất nhớt được mô tả như sau:
(2.21) Khi đó phương trình động lượng có dạng:
Về bản chất, độ nhớt dòng rối là một ten sơ bậc 4. Tuy nhiên, hầu hết các mô hình tính toán đều giả thiết µt là đại lượng vô hướng nhằm giảm bớt mức độ phức tạp của bài toán. Mặc dù vậy, việc mô tả theo các đại lượng đặc trưng của dòng chảy vẫn là khó khăn lớn nhất trong việc giải quyết bài toán này.
Tùy theo cách mô tả mà người ta đưa ra các mô hình dòng rối khác nhau. Các mô hình này thường được phân biệt theo số phương trình cần thiết để mô tả . Dưới đây là một số mô hình điển hình.
Mô hình với 0 phương trình
Độ nhớt dòng rối được mô tả thông qua các thông số của dòng chảy như sau: (2.23) Với là độ dài đặc trưng của dòng rối.
Đây là loại mô hình đơn giản nhất (ví dụ: mô hình Prandt), nó không sử dụng thêm phương trình bổ sung nào để mô tả . Chính vì vậy, mà mô hình có tên là “mô hình với 0 phương trình”.
Mặc dù đơn giản, nhưng mô hình dòng rối nhớt với 0 phương trình hầu như không được sử dụng trong nghiên cứu khí động lực học ô tô, do nó giả thiết dòng rối là môi trường đồng nhất và điều này hoàn toàn không phù hợp với thực tế dòng chảy bao quanh vỏ xe ô tô.
Mô hình với một phương trình
Đại diện điển hình của mô hình này là mô hình Prandt Kolmogorov. Độ nhớt dòng rối được mô tả thông qua động năng k của nó:
(2.24) Với: Cµ : là hệ số
L : là độ dài đặc trưng của dòng rối.
Như vậy, trong mô hình xuất hiện thêm một ẩn số là k. Để giải được hệ phương trình, người ta buộc phải đưa thêm vào mô hình một phương trình mô tả động năng của dòng rối thông qua các thông số của dòng chảy. Vì vậy, mô hình này được gọi là “mô hình với một phương trình”.
Động năng của dòng rối được mô tả bằng phương trình sau:
(2.25) Mô hình với một phương trình được coi là mô tả tương đối đầy đủ các đặc trưng của các dòng chảy khí động. Tuy nhiên, các nghiên cứu đã chỉ ra rằng mô hình này
cũng không phù hợp với nghiên cứu khí động học ô tô do dòng chảy bao quanh vỏ xe có vùng xoáy rất rộng và luôn tồn tại sự tương tác rất mạnh giữa các dòng xoáy này [44]. Chỉ với một phương trình bổ sung là phương trình động năng (2.25) thì không thể mô tả một cách đầy đủ các yếu tố đặc trưng trên. Chính vì vậy, mô hình này không được sử dụng để nghiên cứu khí động học ô tô.
Mô hình với hai phương trình
Đại diện điển hình của mô hình với hai phương trình là mô hình k - ε tiêu chuẩn. Ở đây, độ nhớt dòng rối được mô tả thông qua 2 thông số là động năng k và hệ số tán xạ năng lượng của dòng rối ε:
(2.26) Trong đó hệ số được coi là hằng số đặc trưng của mô hình. Với cách mô tả độ nhớt của dòng rối như trên, mô hình này có tên gọi là mô hình k - ε.
Như vậy, để giải được bài toán khí động học trong mô hình này cần bổ sung thêm 2 phương trình. Các phương trình bổ sung gồm có phương trình mô tả động năng k và phương trình hệ số tán xạ năng lượng của dòng rối ε:
(2.27) (2.28) Với các hệ số: C1 = 1,44; C2 = 1,92
Trong các mô hình dòng rối nhớt, đây là mô hình hoàn thiện hơn cả và có thể được sử dụng ngay cả trong các trường hợp dòng chảy với số Reynolds lớn. Ưu điểm của mô hình k - ε là mô tả tương đối đầy đủ và chính xác quá trình vận tải năng lượng (k) trong dòng chảy rối có tính đến sự mất mát do ma sát nhớt. Mức độ tổn hao động năng do ma sát được đánh giá thông qua hệ số tán xạ ε.
Cho tới nay, mô hình k - ε vẫn đang là mô hình được sử dụng phổ biến hơn cả trong nghiên cứu khí động học ô tô. Do được sử dụng nhiều, nên nó có khá nhiều dạng biến thể khác nhau. Vì vậy, mô hình mô tả trên đây được coi là phiên bản gốc và thường được gọi là mô hình k - ε tiêu chuẩn (Standard k - ε Model).
Một trong những biến thể mới nhất của mô hình k – ε có tên gọi là realizable k -ε model được sử dụng trong mô phỏng khí động học ô tô. Khác với mô hình tiêu chuẩn, mô hình này coi hệ số Cµ trong công thức 2.33 không phải là hằng số mà thay đổi theo điều kiện của dòng chảy. Cách làm này cho phép thực hiện bài toán mô phỏng trong những điều kiện gần sát hơn với điều kiện thực của dòng chảy rối.
Mặc dù được sử dụng rộng rãi như đã nêu trên, mô hình k - ε cũng có những hạn chế nhất định.
- Mô hình này chấp nhận giả thiết rằng dòng rối là đẳng hướng (isotrope); - ε không xác định trên biên (vỏ xe);
- Mô hình tạo nên nguồn động năng dòng rối trên vỏ với sự có mặt của gradient áp suất nghịch.
Để khắc phục những yếu điểm của mô hình k - ε người ta có thể sử dụng một loại mô hình với hai phương trình khác, đó là mô hình k -. Mô hình này đưa thêm hệ số hiệu chỉnh hiệu ứng số Reynolds thấp là α* vào trong biểu thức mô tả độ nhớt rối. Khi đó độ nhớt dòng rối được mô tả như sau:
(2.29) Sau một thời gian sử dụng các mô hình với hai phương trình trên đây, các nhà nghiên cứu đã đưa ra mô hình hỗn hợp có tên gọi là mô hình vận tải ứng suất (shear- stress transport), viết tắt là SST k - ω. Đây là mô hình hỗn hợp được xây dựng từ 2 mô hình k - ε và k - ω. Mô hình này được Nhóm em lựa chọn để tính toán và được mô tả chi tiết trong mục 2.3.
Như vậy, các mô hình dòng rối trên đây đều chấp nhận các giả thiết gần đúng khác nhau trong khi mô tả độ nhớt dòng rối nên không thể tránh khỏi những khiếm khuyết dẫn đến sai số của kết quả tính toán. Bài toán tuyệt đối đúng chỉ có được khi giải được phương trình Navier-Stokes đầy đủ. Tuy nhiên, đây vẫn đang là bài toán không có lời giải lý thuyết và khả năng của các máy tính hiện nay không đủ mạnh để giải bài toán này một cách đầy đủ bằng phương pháp số.
Vì vậy, cho tới nay, các nhà nghiên cứu vẫn buộc phải tìm cách sử dụng hiệu quả nhất các mô hình gần đúng trên đây cho từng trường hợp cụ thể. Việc lựa chọn giả thiết (và tương ứng với nó là mô hình) hợp lý sẽ cho được kết quả với độ chính xác mong muốn cho từng dạng bài toán cụ thể
Mô hình ứng suất Reynolds (Reynolds Stress Model-RSM)
Thay vì sử dụng các giả thiết khác nhau để mô tả ten sơ ứng suất nhớt = như trong các mô hình dòng rối nhớt trên đây, mô hình ứng suất Reynolds thực hiện việc mô tả trực tiếp từng phần tử của ten sơ. Vì vậy, mô hình này gồm có 7 phương trình bổ sung (6 phương trình cho và một cho ε).
Nếu sử dụng cách gọi như đối với các mô hình dòng rối nhớt trên đây, thì mô hình này sẽ có tên là mô hình với 7 phương trình. Cách so sánh này cho thấy, đây là mô hình có độ phức tạp rất cao do số lượng phương trình lớn hơn nhiều so với các mô hình trên (tối đa chỉ có hai phương trình bổ sung). Vấn đề mấu chốt trong mô hình này
chính là xác định các mối liên kết giữa 6 thành phần của với nhau và với các thông số khác của dòng chảy.
Có thể thấy rằng, đây là mô hình rất phức tạp và đòi hỏi nhiều công sức, trí tuệ và thời gian để giải quyết. Tuy nhiên, nó mô tả dòng chảy khí động ô tô chính xác hơn so với các mô hình đã mô tả trên đây.
Trong điều kiện hiện nay, không có máy tính đủ mạnh để có thể sử dụng mô hình với 7 phương trình trong nghiên cứu khí động học ô tô, nên Nhóm em đã lựa chọn mô hình với 2 phương trình để mô phỏng khí động lực học ô tô.