C. Đường trung trực của đoạn thẳng IA D Đường trũn tõm A, bỏn kớnh AB.
Tớch vụ hướng của hai vectơ
Để tớnh gúc giữa hai vectơ, ta sử dụng định nghĩa tớch vụ hướng kết hợp cỏc kĩ thuật tớnh tớch vụ hướng.
Để tớnh gúc giữa hai đường thẳng, ta tớnh gúc giữa hai vộc-tơ cú giỏ là hai đường thẳng đĩ cho rồi suy ra gúc giữa hai đường thẳng.
Để chứng minh hai đường thẳng vuụng gúc, ta chứng minh gúc giữa hai đường thẳng bằng90◦.
Cho cỏc vộc-tơ #ằa =−#ằi + #ằj , #ằb = #ằi + 3#ằj. Tỡm gúc giữa hai vộc-tơ #ằa và #ằb.
Cho tam giỏc ABC cúAB= 2, BC = 4, CA= 3. Tớnh # ằ
AB.# ằ
AC và cosA.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 3) và B(3;−1). Tớnh gúc giữa đường thẳng OAvà AB.
Cho hai vộc-tơ #ằa và #ằb vuụng gúc với nhau,|#ằa|= 1,|#ằb|=√2. Chứng minh rằng hai
vộc-tơ 2#ằa − #ằb và #ằa + #ằb vuụng gúc với nhau.
Cho hỡnh vuụng ABCD cú M là trung điểm của AB và N là trung điểm của BC. Chứng minh rằng DM ⊥AN.
| Dạng 2. Tớnh gúc giữa hai vộc-tơ -gúc giữa hai đường thẳng-điều kiện vuụng gúc
BÀI TẬP DẠNG 2
Liờn quan đến đẳng thức về tớch vụ hướng hoặc độ dài ta cú hai bài toỏn tiờu biểu:
• Bài toỏn 1: Chứng minh đẳng thức về tớch vụ hướng hoặc độ dài. Đối với dạng này ta thường sử dụng cỏc tớnh chất của tớch vụ hướng, cỏc tớnh chất của vộc tơ để biến đổi tương đương đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức luụn đỳng hoặc biến đổi vế này thành vế kia hoặc biến đổi cả 2 vế cựng bằng một biểu thức trung gian.
• Bài toỏn 2: Tỡm điểm hoặc tập hợp điểmM thỏa mĩn một đẳng thức vộc tơ hoặc độ dài. Thụng thường ta biến đổi đẳng thức ban đầu về dạngIM =R trong đúI cố định,Rkhụng đổi hoặc # ằ
IM .#ằu = 0 trong đú I cố định và #ằu là một vộc tơ xỏc định.
Cho bốn điểm A, B, C, D bất kỡ. Chứng minh rằng:
# ằ DA.# ằ BC+ # ằ DB.# ằ CA+# ằ DC.# ằ AB = 0.
Cho tam giỏc ABC cú diện tớch bằng S. Chứng minh rằng:
S= 12 2 … AB2.AC2−Ä# ằ AB.# ằ ACọ2
Cho tam giỏc ABC cú trực tõm H và trung điểm cạnh BC là M. Chứng minh rằng
# ằ
M H.# ằ
M A= 1 4BC
2.
Cho tam giỏc đều ABC cạnh bằng a. Tỡm tập hợp tất cả cỏc điểm M sao cho
# ằ M A.# ằ M B+ # ằ M B.# ằ M C +# ằ M C.# ằ M A= a 2 4
Cho tam giỏcABC. Tỡm tập hợp những điểmM thỏa mĩnM A2−M B2+CA2−CB2 = 0.
| Dạng 3. Chứng minh đẳng thức về tớch vụ hướng hoặc về độ dài.
BÀI TẬP DẠNG 3
Phương phỏp giải, kinh nghiệm: Phương phỏp chung của dạng bài này là toạ độ hoỏ cỏc điểm và thay vào cỏc điều kiện để tỡm điểm. Đa số cỏc bài chỉ cần thay toạ độ và ỏp dụng cỏc cụng thức là tớnh được, tuy nhiờn một số bài cú cỏc tớnh chất đặc biệt mà nhờ nú, ta sẽ giảm đỏng kể lượng cụng việc.
Cho ba điểm A(2; 3), B(1; 4), C(5; 2). Chứng minh ba điểm trờn tạo thành một tam giỏc.
Cho A(3; 1), B(7; 2), tỡm C(x;y) thuộc trục Ox sao cho C thuộc đường trũn đường kớnh AB.
Cho điểm A(0,2)và điểm B(x;y)∈(d) :y = 2x−2cú hồnh độ x= 1. Tỡm trờn (d) điểm C sao cho 4ABC cõn tạiA.
| Dạng 4. Ứng dụng của biểu thức toạ độ tớch vụ hướng vào tỡm điểm thoả mĩn điều kiện cho trước
BÀI TẬP DẠNG 4
• Trực tõm tam giỏc
• Tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc • Tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc
• Hỡnh chiếu vuụng gúc của một điểm lờn đường thẳng
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giỏc ABC với A(xA, yA); B(xB, yB) và C(xC, yC) a) Tỡm tọa độ trực tõm H của tam giỏc ABC.
Gọi tọa độ H(x, y). Khi đú
# ằ AH.# ằ BC = 0 # ằ BH.# ằ AC = 0
Ta thu được hệ 2 phương trỡnh 2 ẩn x, y. Giải hệ ta được tọa độ điểm H. b) Tỡm tọa độ tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏcABC
Gọi I(x, y) là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC . Khi đú IA=IB và IA =IC. Do đú, ta cú
(x−xA)2+ (y−yA)2 = (x−xB)2+ (y−yB)2 = 0 (x−xA)2+ (y−yA)2 = (x−xC)2+ (y−yC)2 = 0 Giải hệ phương trỡnh ta được tọa độ điểm I.
c) Tỡm tọa độ tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC
B C
A
D J * Cỏch 1:
+) Gọi tọa độ điểm D(x, y). Ta tớnh độ dài cạnh AB và AC. Ta cú DB AB = DC AC, suy ra DB DC = AB AC :=k Do đú # ằ DB =−k# ằ
DC, ta được hệ phương trỡnh ẩn x, y, giải hệ ta được tọa độ điểmD. +) Gọi tọa độ tõm đường trũn nội tiếp tam giỏcABC làJ(x, y). Tớnh độ dài đoạn BD. Ta cú J D BD = J A AB suy ra J D J A = BD AB :=l. Do đú # ằ J D =−l# ằ
J A, ta được hệ phương trỡnh ẩn x, y, giải hệ ta được tọa độ điểm J. * Cỏch 2: Áp dụng đẳng thức sau a# ằ J A+b# ằ J B+c# ằ J C = #ằ 0
| Dạng 5. Tỡm tọa độ cỏc điểm đặc biệt trong tam giỏc - tỡm tọa độ
hỡnh chiếu vuụng gúc của một điểm lờn đường thẳng
BÀI TẬP DẠNG 5
d) Tỡm tọa độ hỡnh chiếu vuụng gúc của điểmA lờn đường thẳng BC Gọi tọa độ hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm A lờn đường thẳng BC làM(x, y), ta cú
# ằ
AM .# ằ
BC = 0
# ằ
BM =t.# ằ
BC Ta thu được hệ 2 phương trỡnh 2 ẩn, giải hệ ta được tọa độ điểm M.
Cho A(4,3);B(2,7);C(−3,−8).
a) Tỡm tọa độ trực tõm H của tam giỏcABC.
b) Tỡm tọa độ tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC
c) Tỡm tọa độ hỡnh chiếu vuụng gúc của điểmA lờn đường thẳng BC
ChoA(2,6); B(−3,−4);C(5,0). Tỡm tọa độ tõm đường trũn nội tiếp tam giỏcABC.
Cõu 1: (2,0 điểm) 1) Tỡm tập xỏc định của hàm số: 2 1