Định nghĩa 4.20. Cho T : V → W là ánh xạ tuyến tính từ khơng gian véctơ V tới
khơng gian véctơ W. Khi đó được gọi là hạt nhân của
T. Ker(T) := {x|x ∈ V, T(x) = 0}
Im(T) := {y|y ∈ W, ∃x ∈ V, T(x) = y} = {T(x)|x ∈ V}
được gọi là ảnh của T.
2.1 Các tính chất của hạt nhân và ảnhĐịnh lj 4.15. Cho T : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó Định lj 4.15. Cho T : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó
(i) Ker(T) là một không gian véctơ con của V.
(ii) Im(T) là một không gian véctơ con của W.
2.2 Hạng của ánh xạ tuyến tính - Định lj về số chiều
Định nghĩa 4.21. Nếu T : V → W là một ánh xạ tuyến tính thì số chiều của khơng gian
Im(T) được gọi là hạng của T, kí hiệu là rank(T): rank(T) = dim Im(T)
Định lj 4.16 (Định lj về số chiều). Nếu T : V → W là một ánh xạ tuyến tính từ khơng gian véctơ n chiều V tới khơng gian W thì
hay
2.3 Bài tập tập
n = dimV = dim Im(T) + dimKer(T)
n = dimV = dim rank(T) + dimKer(T)
Bài tập 4.2. Cho ánh xạ f : R3 → R3 xác định bởi công thức f (x1, x2, x3) = (3x1
+ x2 −
x3, 2x1 + x3).
⇒
⇐
62 Chương 4. Ánh xạ tuy nế tính
c) Tìm một cơ sở của Ker f .
L iờ gi iả . a) Dễ kiểm tra.
c) Theo định nghĩa Ker f = (x1, x2, x3) R3 f (x1, x2, x3) = 0 nên Ker f chính là khơng gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 3x1 + x2 − x3 = 0 2x1 + x3 = 0 x1 bất kì Hệ phương trình trên có vơ số nghiệm với
x3 = −2x1 x2 = −5x1 (4.1) . Vậy dimKer f = 1 và một cơ sở của nó là (1, −5, −2).
Bài tập 4.3. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Chứng minh rằng
a) f là đơn ánh khi và chỉ khi Ker f = {0}. b) f là toàn ánh khi và chỉ khi Im f = W.
L iờ gi iả .
Giả thiết f là đơn ánh. Nếu x ∈ Ker f thì f (x) = 0 = f (0). Do f đơn ánh nên
x = 0
hay Ker f = {0}.
Giả sử có f (x1) = f (x2), khi đó f (x1 − x2) = 0 nên x1 − x2 ∈ Ker f hay x1 − x2 = 0.
Vậy x1 = x2 và theo định nghĩa f là đơn ánh. ba) Một hệ quả trực tiếp của khái niệm toàn ánh.
Bài tập 4.4. Cho V, V′ là 2 KGVT n chiều và f : V V′ là ánh xạ tuyến tính. Chứng minh các khẳng định sau tương đương:
a) f là đơn ánh. b) f là toàn ánh. c) f là song ánh. { ∈ | } →
a) ⇒ b) b) ⇒ a) 2. H tạ nhân và nhả c aủ ánh xạ tuy nế tính 63 L iờ gi iả. Thực chất chỉ cần chứng minh a) ⇒ b) và b) ⇒ a). Theo định lj về số chiều 4.16 n = dim Im f + dimKer f (1)
Do f là đơn ánh nên theo bài tập 4.3 ta có Ker f = {0}, hay dimKer f = 0 ⇒ dim Im f = n. Mặt khác Im f là một không gian véctơ con của V′ và dimV′ = n nên Im
f = V′ hay f là toàn ánh.
Ngược lại, nếu f là tồn ánh thì Im f = V′ ⇒ dim Im f = n. Từ (1) ta suy ra
64 Chương 4. Ánh xạ tuy nế tính