3 Không gian Euclide
3.1 Tích vô hướng và không gian có tích vô hướng
hướng
Định nghĩa 5.32. Cho V là một không gian vectơ, một tích vô hướng trên V là
một ánh xạ < ., . >: V × V → R thoả mãn các tiên đề sau:
TVH1: < u, v > xác định với mọi u, v ∈ V
TVH2: < u, v >=< v, u >
TVH3: < u + v, w >=< u, w > + < v, w > TVH4: < ku, v >= k < u, v >
TVH5: < u, u >≥ 0, < u, u >= 0 khi và chỉ khi u = 0.
Nhận xét: Tích vô hướng là một dạng song tuyến tính, đối xứng, và dạng
toàn phương sinh bởi nó xác định dương.
Định nghĩa 5.33 (Độ dài của vectơ). Cho V là một không gian có tích vô hướng. Khi đó
độ dài (hay chuẩn) của vectơ α ∈ V là số thực không âm ǁαǁ = √< α, α >.
Định nghĩa 5.34 (Khoảng cách). Cho V là một không gian có tích vô hướng.
Khi đó khoảng cách giữa hai vectơ u và v là số thực không âm d(u, v) = ǁu − vǁ.
Định nghĩa 5.35 (Sự vuông góc). Hai vectơ u và v được gọi là vuông góc hay trực giao
với nhau và được kí hiệu là u ⊥v nếu
< u, v >= 0
Định nghĩa 5.36 (Họ vectơ trực giao, trực chuẩn).
a) Hệ vectơ (e1, e2, . . . , ek) của không gian vectơ Euclide E được gọi là một hệ trực giao
nếu các vectơ của hệ đôi một vuông góc với nhau, tức là
< ei, ej >= 0 nếu i /= j
b) Hệ vectơ (e1, e2, . . . , ek) của không gian vectơ Euclide E được gọi là một hệ trực
chuẩn
nếu nó là một hệ trực giao và mỗi vectơ của hệ đều có độ dài bằng 1, tức là
< ei, ej > 0 nếu i /= j = δ ij = 1 nếu i = j
3. Không gian Euclide 79
Mệnh đề 1.
(i) Mỗi hệ trực giao không chứa vectơ 0 đều độc lập tuyến tính.
(ii) N ếu hệ vectơ e (e1, e 2, . . . , ek) là trực giao và không chứa vectơ 0 thì hệ vectơ
1 , e2 , . . . , ek là một hệ trực chuẩn.
ǁe1ǁ ǁe2ǁ ǁek ǁ