Chương 5 Dạng tồn phương, khơng gian Euclide
3 Không gian Euclide
3.2 Phép trực giao hoá Schmidt
Định lj 5.23. Cho V là một không gian vectơ có tích vơ hướng, S = {u1, u2, ..., un}
là một họ vectơ độc lập tuyến tính của V. Ta có thể thay S bởi họ trực chuẩn S′ = {v1,
v2, ..., vn} , sao cho span {u1, u2, ..., uk} = span {v1, v2, ..., vk} với mọi k = 1, 2, ..., n.
Bước 1: Đặt v1 = u1
ǁu1ǁ
Bước 2: Đặt v2 = u2 + tv1 sao cho < v2, v1 >= 0 tức là t = − < u2, v1 >. Sau đó chọn v2 v2 =
Giả sử sau k − 1 bước ta đã xây dựng được họ trực chuẩn S′= {v1, v2, ...,
vk−1}
ǁv2ǁ k−1
sao cho span u1, u2, ..., uk−1= span v1, v2, ..., vk−1 . Ta thực hiện đến bước thứ k sau:
Bước k: Đặt vk = uk + t1v1 + ... + tk−1vk−1 sao cho < vk, vj >= 0, j = 1, 2, ..., k
− 1 Tức là ta có tj = − < uk, vj >, j = 1, 2, ..., k − 1. Sau đó chọn vk = vk . Tiếp tục thực hiện đến
khik =
n ta thu được hệ trực chuẩn S′
= {v1, v2, ...,
vn}
ǁvk ǁ
Nhận xét: Về mặt lj thuyết, chúng ta vừa chuẩn hoá, vừa trực giao các
vectơ như ở trên, tuy nhiên trong thực hành nếu gặp phải các phép toán phức tạp khi sau mỗi bước phải
chuẩn hoá véctơ vk = vk , người ta thường chia làm hai phần: trực giao hệ vectơ S trước
k
rồi chuẩn hoá các vectơ sau.
Bước 1: Đặt v1 = u1 Bước 2: Đặt v2 = u2 + tv1 sao cho < v2 , v1 >= 0 , tức là t = −<u2,v11 > . 1
Giả sử sau k − 1 bước ta đã xây dựng được họ trực giao Sk′ −1 = {v1, v2, ...,
vk−1} sao cho span {u1, u2, ..., uk−1} = span {v1, v2, ..., vk−1}. Ta thực hiện đến bước thứ k sau: { } { } ǁ ǁv <v ,v
Bước k: Đặt vk = uk + t1v1 + ... + tk−1vk−1 sao cho < vk, vj >= 0, j = 1, 2, ..., k − 1 Tức là
< uk, vj >
ta có tj = − , j = 1, 2, ..., k − 1. Tiếp tục thực hiện đến khi k = n ta thu được hệ
trực giao S′ = {v1, v2, ..., vn}.
Bước n+1: Chuẩn hoá các vectơ trong hệ trực giao S′ = v1, v2, ..., vn
ta thu được hệ trực chuẩn cần tìm.
<vj,v >j
{ }
80 Chương 5. D ngạ toàn phương, khơng gian Euclide