1.7.4.1 .Về phía giáo viên
2.2. Các biện pháp phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
2.2.2. Biện pháp 2 Nâng cao năng lực huy động kiến thức của học
sinh để phát hiện và giải quyết vấn đề bằng nhiều cách khác nhau.
2.2.2.1. Mục đích của biện pháp
Mơn Tốn là một trong những mơn học có nhiều cơ hội giúp HS phát triển tư duy. Do vậy, GV cần linh hoạt tổ chức cho HS giải các bài tốn theo nhiều cách khác nhau, vì mỗi cách giải đều có những ưu và nhược điểm riêng. Từ đó, giúp HS rút ra được những kinh nghiệm để giải một bài tốn, phát triển năng lực sử dụng ngơn ngữ, kí hiệu, cơng
2 5 ) 4 9 ( 2 4 ) 3 7 (
thức tốn học; năng lực tính tốn, năng lực suy luận và chứng minh; năng lực hệ thống hóa vấn đề toán học.
2.2.2.2. Cơ sở của biện pháp:
Năng lực huy động kiến thức không phải là bất biến, tùy từng bài toán mà HS cần huy động được những kiến thức phù hợp. Một bài toán khi đặt vào thời điểm này có thể khơng giải được, nhưng ở thời điểm khác nếu HS biết huy động kiến thức thích hợp thì việc giải bài tốn sẽ dễ dàng.
Như vậy, nếu biết áp dụng kiến thức phù hợp thì việc giải quyết bài tốn sẽ dễ dàng hơn. Nếu HS không huy động đúng kiến thức cần thiết thì việc giải bài tốn sẽ trở nên khó khăn, thậm chí là khơng tìm được lời giải.
Năng lực huy động kiến thức gồm một số đặc điểm sau:
- Là quá trình nhớ lại kiến thức một cách có chọn lọc để thích ứng với vấn đề mới đặt ra.
- Là tổ hợp các năng lực được biểu hiện dưới nhiều dạng khác nhau như: năng lực khái quát hóa, năng lực đặc biệt hóa, năng lực quy lạ về quen, năng lực chuyển đổi ngơn ngữ, năng lực giải bài tốn bằng nhiều cách khác nhau,...
2.2.2.3. Cách thức thực hiện biện pháp
GV cần rèn luyện cho HS biến đổi bài toán theo nhiều cách khác nhau để huy động kiến thức thích hợp cho từng cách giải. Với mỗi bài toán, HS cần xem xét mối liên hệ giữa các đại lượng, phán đốn các khả năng có thể xảy ra và hướng biến đổi bài toán. Một bài tốn có thể có nhiều cách giải khác nhau dựa vào các phép biến đổi tương đương.
GV cần rèn luyện cho HS năng lực huy động kiến thức thơng qua dạy học chuỗi các bài tốn. Từ đó, giúp HS có thể liên tưởng, sáng tạo ra nhiều bài toán khác nhau từ một bài toán gốc. Một
trong những phương pháp xây dựng chuỗi bài toán là dựa vào năng lực huy động kiến thức của HS thơng qua các thao tác như khái qt hóa, tương tự hóa, đặc biệt hóa,...
Ví dụ minh họa:
Các bài tốn về diện tích hình tam giác
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có diện tích là 150 cm2 . Nếu kéo dài đáy BC (về phía B) 5 cm thì diện tích tăng thêm 37,5 cm. Tính đáy BC của tam giác?
Bài giải
Cách 1: Từ A kẻ đường cao AH vng góc với BC tại H (AH
chính là đường cao của tam giác ABC và cũng là đường cao của tam giác ABD).
Độ dài của đường cao AH là: 37,5 × 2 ∶ 5 = 15 (𝑐𝑚) Độ dài đáy BC của tam giác ABC là:
150 × 2 ∶ 15 = 20 (𝑐𝑚) Đáp số: 20 cm
Cách 2: Từ A kẻ đường cao AH vng góc với BC tại H (AH
chính là đường cao của tam giác ABC và cũng là đường cao của tam giác ABD).
Tỉ số giữa 2 tam giác ABC và tam giác ABD là: 150 : 37,5 = 4
A
B
Hai tam giác có tỉ số diện tích là 4 mà chúng có chung đường cao nên tỉ số 2 đáy cũng là 4.
Độ dài đáy BC của tam giác ABC là: 5 × 4 = 20 (𝑐𝑚)
Đáp số: 20 cm
Ví dụ 2: Một hình tam giác ABC có đáy BC là 25cm. Nếu kéo dài đáy
thêm 5cm thì diện tích tăng thêm 15cm2. Tính diện tích hình tam giác ABC.
Bài giải Cách 1:
Phần tăng thêm là một hình tam giác có cạnh đáy là 5cm và diện tích là 15cm2 nên chiều cao phần tăng thêm là:
15 × 2 : 5 = 6 (cm)
Chiều cao của phần tăng thêm chính là chiều cao của hình tam giác ABC nên diện tích của hình tam giác ABC là:
25 × 6 ∶ 2 = 75 (cm2)
Đáp số: 75 cm2
Cách 2: Phần tăng thêm là một hình tam giác có chiều cao cũng là
chiều cao của hình tam giác ABC và có đáy là 5 cm. Tỉ số đáy BC và phần đáy tăng thêm là:
25 : 5 = 5
Vậy diện tích hình tam giác ABC gấp 5 lần diện tích phần tăng thêm. Diện tích hình tam giác ABC là:
A
15 × 5 = 75 (cm2)
Đáp số: 75cm2
Ví dụ 3. Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 694,4m2. Nếu mở rộng đáy thửa ruộng thêm 4m thì diện tích thửa ruộng tăng thêm 49,6m2. Tính đáy của thửa ruộng đó.
Bài giải Cách 1:
Phần mở rộng là một hình tam giác có đáy 4m và diện tích 49,6m2. Chiều cao phần mở rộng là:
49,6 ì 2 ữ 4 = 24,8 (m)
Chiều cao phần mở rộng chính là chiều cao thửa ruộng ban đầu nên chiều cao thửa ruộng là 24,8m.
Đáy của thửa ruộng ban đầu là: 694,4 × 2 : 24,8 = 56 (m)
Đáp số: 56m Cách 2:
Phần mở rộng là một hình tam giác có chiều cao chính là chiều cao thửa ruộng ban đầu do đó tỉ số diện tích bằng tỉ số đáy.
Tỉ số diện tích của thửa ruộng ban đầu và phần mở rộng là: 694,4 : 49,6 = 14
Đáy của thửa ruộng ban đầu là: 14 × 4 = 56 (m)
694,4m2
Đáp số: 56m
Ví dụ 4: Cho hình tam giác ABC. Trên BC lấy điểm D sao cho BD = 1
3
BC. Nối A với D, trên AD lấy điểm K sao cho AK = 1
3 AD. Tính diện
tích hình tam giác ABC, biết diện tích hình tam giác BDK là 12,3cm2.
Bài giải Cách 1: Do AK = 1 3 AD và AK + KD = AD nên KD = 2 3 AD. SBKD = 2 3 SBAD vì có đáy KD = 2 3 AD và chung chiều cao hạ từ B.
Diện tích hình tam giác BAD là: 12,3 : 2 × 3 = 18,45 (cm2) SBAD = 1
3 SABC vì có đáy BD = 1 3 BC và chung chiều cao hạ từ A.
Diện tích hình tam giác ABC là: 18,45 × 3 = 55,35 (cm2) Đáp số: 55,35cm2 Cách 2: Nối K với C. Do BD = 1 3 BC và BD + DC = BC nên DC = 2 × BD; AK = 1 3 AD và AK + KD = AD nên KD = 2 × AK. A B D C K
SKDC = 2 × SBKD vì có đáy DC = 2 × BD và chung chiều cao hạ từ K. Diện tích hình tam giác CKD là:
12,3 × 2 = 24,6 (cm2)
SDKC = 2 × SAKC vì có đáy KD = 2 × AK và chung chiều cao hạ từ C. Diện tích hình tam giác AKC là:
24,6 : 2 = 12,3 (cm2)
SBDK = 2 × SBAK vì có đáy DK = 2 × AK và chung chiều cao hạ từ B. Diện tích hình tam giác BAK là:
12,3 : 2 = 6,15 (cm2) Diện tích hình tam giác ABC là:
12,3 + 24,6 + 12,3 + 6,15 = 55,35 (cm2)
Đáp số: 55,35cm2
Ví dụ 5. Hình tam giác ABC có chiều cao AH. Trên AH lấy M sao cho
MH = 1
3 AH. Nối M với B, BH = 6,4cm; HC = 7,2cm. Tính diện tích hình tam giác ABC, biết diện tích hình tam giác BMH là 11,2cm2.
Bài giải Cách 1:
Chiều cao MH của hình tam giác MBH là: 11,2 × 2 : 6,4 = 3,5 (cm)
Chiều cao AH của hình tam giác ABC là: 3,5 × 3 = 10,5 (cm) Cạnh đáy BC là: A B H C M 6,4cm 7,2cm
7,2 + 6,4 = 13,6 (cm) Diện tích hình tam giác ABC là:
13,6 × 10,5 : 2 = 71,4 (cm2)
Đáp số: 71,4cm2
Cách 2:
SBMH = 1
3 SBAH vì có đáy MH = 1
3 AH và chung chiều cao hạ từ B Diện tích hình tam giác BAH là:
11,2 × 3 = 33,6 (cm2) Chiều cao AH là:
33,6 × 2 : 6,4 = 10,5 (cm) Cạnh đáy BC là:
7,2 + 6,4 = 13,6 (cm) Diện tích hình tam giác ABC là:
13,6 × 10,5 : 2 = 71,4 (cm2)
Đáp số: 71,4cm2
Ví dụ 6. Cho hình tam giác ABC. Trên BC lấy M sao cho BM = 1
4 BC,
nối A với M, trên AM lấy N sao cho NM = 1
3 AM. Nối B với N, biết diện tích hình tam giác BMN = 4cm2. Tính diện tích hình tam giác ABC.
Cách 1:
SBMN = 1
3 SBAM vì có đáy MN = 1
3 AM và chung chiều cao hạ từ B.
Diện tích hình tam giác BAM là: 4 × 3 = 12 (cm2)
SBAM = 1
4 SABC vì có đáy BM = 1
4 BC và chung chiều cao hạ từ A. Diện tích hình tam giác ABC là:
12 × 4 = 48 (cm2) Đáp số: 48cm2 Cách 2: Nối N với C. SBNM = 1 3 SMNC vì có đáy BM = 1 3 MC (do BM = 1 4 BC) và có chung chiều cao hạ từ N.
Diện tích hình tam giác MNC là:
4 × 3 = 12 (cm2)
SBNM = 1
3 SAMC vì có đáy MN = 1
3 AM và có chung chiều cao hạ từ C. Diện tích hình tam giác AMC là:
A C B M N A B M C N
12 × 3 = 36 (cm2)
SABN = 2 × SBMN vì có đáy AN = 2 × NM (do N = 1
3 AM) và chung chiều cao hạ từ B.
Diện tích hình tam giác ABN là: 4 × 2 = 8 (cm2)
Diện tích hình tam giác ABC là: 4 +8 + 36 = 8 (cm2)
Đáp số: 48cm2
Các bài tốn về diện tích hình thang
Ví dụ 1. Một hình thang ABCD có đáy nhỏ AB = 15cm, đáy lớn
CD = 18cm. Nối B với D. Tính diện tích hình tam giác ABD và diện tích tam giác BCD, biết diện tích hình thang ABCD là 121cm2.
Bài giải Cách 1:
Chiều cao hình thang ABCD là:
121 × 2: (15 + 18) = 242
33 (cm)
Diện tích hình tam giác ABD là:
15 ×242
33 ∶ 2 = 55 (𝑐𝑚2)
Diện tích hình tam giác BCD là: 18 ×24233 ∶ 2 = 66(𝑐𝑚2) Đáp số: 55cm2 và 66 cm2 A B D C C 15cm 18cm
Cách 2: Tỉ số đáy AB và CD là: 15 : 18 = 5 6 SABD = 5 6 SBCD vì có đáy AB = 5
6 CD và chiều cao đều là chiều cao của hình thang ABCD.
Mặt khác SABD + SBCD = SABCD nên ta có sơ đồ: SABD :
SBCD :
Diện tích hình tam giác ABD là: 121: (5 + 6) × 5 = 55 (𝑐𝑚2) Diện tích hình tam giác BCD là:
121 − 55 = 66 (𝑐𝑚2)
Đáp số: 55cm2 và 66 cm2
Ví dụ 2: Một thửa ruộng hình thang vng có đáy lớn 12,9m. Người
ta mở rộng thêm đáy nhỏ 4,3m để thửa ruộng trở thành hình chữ nhật thì diện tích thửa ruộng tăng thêm 12,9m2. Tính diện tích thửa ruộng ban đầu.
Bài giải 121cm2 4,3m 12,9m A B C D
Cách 1:
Khi mở rộng đáy bé 4,3m thì thửa ruộng mở rộng thêm phần đất hình tam giác có đáy 4,3m và diện tích 12,9m2..
Chiều cao phần đất tăng thêm là: 12,9 × 2 : 4,3 = 6 (m)
Chiều cao phần đất tăng thêm chính là chiều cao thửa ruộng hình thang ban đầu nên chiều cao thửa ruộng ban đầu là 6m.
Đáy nhỏ của thửa ruộng ban đầu là: 12,9 – 4,2 = 8,6 (m)
Diện tích thửa ruộng ban đầu là: (12,9 + 8,6) × 6 : 2 = 64,5 (m2)
Đáp số: 64,5m2.
Cách 2:
Chiều cao của phần đất tăng lên tính như cách 1. Chiều cao này chính là chiều rộng thửa ruộng mới.
Diện tích thửa ruộng mới là: 12,9 × 6 = 77,4 (m2) Diện tích thửa ruộng ban đầu là:
77,4 – 12,9 = 64,5 (m2)
Đáp số: 64,5m2.
Cách 3:
Đáy nhỏ thửa ruộng là: 12,9 – 4,3 = 8,6 (m)
Tỉ số 2 đáy thửa ruộng ban đầu và đáy phần mở rộng là: (12,9 + 8,6) : 4,3 = 5
Vì thửa ruộng ban đầu và phần mở rộng có chiều cao bằng nhau nên diện tích thửa ruộng ban đầu là:
12,9 × 5 = 64,5 (m2)
Đáp số: 64,5m2.
Ví dụ 3: Cho hình thang có đáy nhỏ 16cm, đáy lớn 28cm và diện
tích là 330cm2. Kéo dài đáy nhỏ về hai phía để hình thang trở thành hình chữ nhật. Hãy tính diện tích phần mở rộng.
Bài giải
Cách 1:
Chiều cao của hình thang là:
330 × 2: (16 + 28) = 15 (𝑐𝑚)
Chiều cao của hình thang chính bằng chiều rộng của hình chữ nhật nên diện tích hình chữ nhật là: 28 × 15 = 420 (𝑐𝑚2) Diện tích phần mở rộng là: 16cm 28cm 330cm2
420 – 330 = 90 (cm2)
Đáp số: 90cm2
Cách 2:
Phần mở rộng là hai hình tam giác có chiều cao đều bằng chiều cao hình thang, tổng đáy phần mở rộng là:
28 – 16 = 12 (cm)
Chiều cao hình thang hay chiều cao phần mở rộng là: 330 × 2: (16 + 28) = 15 (𝑐𝑚)
Diện tích phần mở rộng là: 12 × 15 : 2 = 90 (cm2)
Đáp số: 90cm2
Các bài toán về diện tích hình trịn
Ví dụ 1: Chu vi hình trịn A là 18,84cm, chu vi hình trịn B là
56,52cm. Hỏi diện tích hình trịn B gấp mấy lần diện tích hình trịn A? Bài giải Cách 1: Bán kính hình trịn A là: 18,84 : 3,14 : 2 = 3 (cm) Bán kính hình trịn B là: 56,52 : 3,14 : 2 = 9 (cm) Diện tích hình trịn A là: 3 × 3 × 3,14 = 28,26 (𝑐𝑚2) Diện tích hình trịn B là:
9 × 9 × 3,14 = 254,34 (𝑐𝑚2) Diện tích hình trịn B gấp diện tích hình trịn A là: 254,34 – 28,26 = 9 (lần) Đáp số: 9 lần Cách 2: Chu vi hình trịn B gấp chu vi hình trịn A là: 56,52 : 18,84 = 3 (lần)
Vì chu vi hình trịn bằng bán kính nhân với 2 rồi nhân với 3,14 nên chu vi gấp lên bao nhiêu lần thì bán kính gấp lên bấy nhiêu lần. Vậy bán kính hình trịn B gấp bán kính hình trịn A là 3 lần.
Bán kính hình trịn B gấp 3 lần bán kính hình trịn A nên diện tích hình trịn B gấp diện tích hình trịn A số lần là:
3 × 3 = 9 (lần)
(Vì diện tích hình trịn bằng bán kính nhân với bán kính nhân với 3,14)
Đáp số: 9 lần
Ví dụ 2: Ở giữa một mảnh ruộng trồng rau người ta đào một cái giếng
để lấy nước tưới rau có bán kính 1,5m. Thửa ruộng có diện tích 384m2. Tính diện tích cịn lại của thửa ruộng đó. Biết rằng bờ giếng chiếm mất 4,5m2.
Bài giải Cách 1:
Diện tích của cái giếng hình trịn là: 1,5 × 1,5 × 3,14 = 7,065 (𝑚2) Diện tích giếng và bờ giếng là:
7,065 + 4,5 = 11,565 (𝑚2) Diện tích đất cịn lại của thửa ruộng là:
384 – 11,565 = 372,435 (m2)
Đáp số: 372,435m2
Cách 2:
Diện tích của cái giếng hình trịn là: 1,5 × 1,5 × 3,14 = 7,065 (𝑚2)
Diện tích đất cịn lại và diện tích bờ giếng là: 384 – 7,065 = 376,935 (m2)
Diện tích cịn lại của thửa ruộng là: 376,935 – 4,5 = 372,435 (m2)
Đáp số: 372,435m2
Cách 3:
Diện tích hình trịn là:
1,5 × 1,5 × 3,14 = 7,065 (𝑚2) Diện tích cịn lại và diện tích giếng là:
384 – 4,5 = 379,5(m2) Diện tích cịn lại là: 379,5 – 7,065 = 372,435 (m2) Đáp số: 372,435m2 Các bài tốn về diện tích, thể tích hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
Ví dụ 1: Diện tích tồn phần của cái hộp khơng nắp hình lập phương
là 500cm2. Nếu tăng chiều dài cạnh hộp lên 2 lần thì diện tích tồn phần của nó là bao nhiêu xăng-ti-mét vuông?
Bài giải Cách 1:
Cái hộp hình lập phương khơng nắp có diện tích tồn phần bằng 5 lần diện tích một mặt.
Diện tích một mặt của hộp đó là: 500 : 5 = 100 (cm2)
Vì 100 = 10 × 10 nên cạnh của cái hộp hình lập phương đó là 10cm. Khi cạnh gấp lên 2 lần thì cạnh của cái hộp là:
10 × 2 = 20 (cm)
Diện tích tồn phần của cái hộp khi đó là: 20 × 20 × 5 = 2000 (cm2)
Đáp số: 2000cm2
Cách 2:
Gọi cạnh của cái hộp đó là a thì diện tích tồn phần của hộp khơng nắp đó là a × a × 5.
Khi cạnh của hộp giấy gấp lên 2 lần thì diện tích tồn phần của hộp là: (a × 2) × (a × 2) × 5 = a × a × 5 × 4
Diện tích tồn phần của hộp gấp lên:
𝑎 × 𝑎 × 5 × 4
𝑎 × 𝑎 × 5 = 4 (lần)
500 × 4 = 2000 (cm2)
Đáp số: 2000cm2
Ví dụ 2: Một khối đá hình hộp chữ nhật, có đáy là một hình vng.
Tính cạnh của khối đá đó, biết diện tích xung quanh của nó là 3200cm2 và chiều cao của khối đá gấp đơi đáy của nó.
Bài giải Cách 1:
Nếu cạnh đáy hình vng là a thì chiều cao là a × 2. Diện tích xung quanh của khối đá là:
a × a × 2 × 4 = a × a × 8
Vì diện tích xung quanh là 3200cm2 nên ta có: a × a × 8 = 3200
a × a = 3200 : 8 a × a = 400