2.4.1 Cơ sở toán học tam giác đạc trong ánh sáng cấu trúc
Như đã đề cập trong chương 1 về các hệ thống đo quang học sử dụng phương pháp tam giác đạc, độ dài của các cạnh còn lại cũng như độ lớn của góc thứ ba được xác định nếu biết trước độ dài của một cạnh và hai góc của một tam giác.
P3
P1
Hình 2-15 Đo khoảng cách bằng phương pháp tam giác đạc.
Giả sử trong hình trong không gian hình học phẳng 2 chiều Ơ-clít, điểm P1 và điểm P2 biết trước và cùng nằm trên một đường thẳng có chiều dài L, P3 là điểm thứ 3 của hình tam giác với cạnh biết trước và 2 góc biết trước a và q. d là chiều cao của hình tam giác từ điểm P3 được được xác định.
Chiều dài cạnh L giữa 2 điểm P1 và P2 được xác định như sau:
= tan
Do đó:
=
42
Ta có: tana = CD@@ABaa và sin(a + ) = sina cos + cos sin nên công thức (2-43) được suy ra:
=
Như vậy bất kỳ điểm P3 nào trong không gian 2 chiều ta cũng có thể xác định khoảng cách từ điểm đó đến 2 điểm cho trước P1, P2 và 2 góc biết trước a và q.
Hình 2-16 Nguyên lý đo quang học sử dụng tam giác đạc
Áp dụng tam giác đạc trong đo lường quang học, giả sử bỏ qua kích thước của vật thể đo và coi là một điểm P3, một nguồn sáng chiếu tia sáng tới vật đặt tại điểm P2. Theo đó tia sáng chiếu tới vật và phản xạ tới bộ dò quang điện đặt tại vị trí điểm P1. Như vậy B là khoảng cách từ điểm cần đo tới hệ thống đo cần được xác định như sau:
=
Từ công thức (2-44) và (2-45) ta suy ra:
=
Công thức (2-46) chỉ đúng trong trường hợp biểu diễn trong không gian 2 chiều, nguồn chiếu sáng và bộ dò quang điện xem như là một điểm vô cùng nhỏ. Trong thực thế, các hệ thống đo quang học làm việc trong không gian 3 chiều, ánh sáng di chuyển dọc theo các đường thẳng trong môi trường không khí đồng nhất nên các điểm P1, P2, P3 được biểu diễn dưới dạng cấu trúc hình học liên quan tới giao điểm của đường thằng và mặt phẳng, hoặc giao điểm gần đúng của các cặp đường thẳng bởi vì xét một số trường hợp trong không gian 3 chiều hai đường thẳng có thể không cắt nhau.
43
p=q+ p=q+
q Đường thẳng
Hình 2-17 Biểu diễn điểm dưới dạng điểm và véc tơ
Véc tơ được ký hiệu n và thỏa mãn điều kiện nÎℝ ) hoặc có thể biểu diễn dưới dạng ma trận 3 hàng x1 cột nÎℝ )4(, chiều dài của véc
tơ n là một đại lượng vô hướng ‖ ‖ ∈ ℝ. Khi đó, một điểm trong không gian được biểu diễn bằng một điểm khác đặt làm gốcvà một véc
tơ. Giả sử ta có điểm q là gốc, n là véc tơ chỉ phương từ điểm q đến điểm p; l là đại lượng vô hướng, điểm p được xác định bằng:
= +ln
Từ công thức (2-47) ta có một đường thẳng L có thể được biểu diễn dưới một điểm q
và một véc tơ chỉ phương n hình 2-3. Bất kỳ điểm p nào nằm trên đường thẳng L được
biểu diễn dưới dạng phép cộng của phép nhân vô hướngln của véc tơn và một điểm q:
= { = +ln ∶l ∈ ℝ }
Phương trình (2-48) là biểu diễn tham số của một đường trong đó l là giá trị vô hướng và
cách biểu diễn này không phải là duy nhất, ta có thể thay thế điểm q bằng bất cứ điểm nào
trên đường thẳng L và véc tơ n có thể thay thế bằng bất kỳ bộ số vô hướng khác 0 của n. Tuy
vậy, với mỗi cặp lựa chọn q và n tương ứng với các tham số l ∈ ℝ và điểm p thuộc đường
thẳng L tương ứng một một.
Cấu trúc hình học không gian trong hệ đo, chúng ta thường xác định được một điểm “gốc”, do vậy hệ phương trình sử dụng một tia R thay thế cho một đường L với điều kiện tham sốl ³ 0.
= { = +ln ∶l ³ 0 }
Tia R thay đổi khi điểm q thay đổi, vì nó là điểm duy nhất nên điểm q được gọi là điểm gốc của một tia. Véc tơ chỉ phương n có thể thay thế bằng bất kỳ bội số vô hướng thỏa mãn điều kiện ³ 0. Theo quy ước trong một hệ máy chiếu, ánh sáng truyền tia dọc theo hướng được xác định bởi véc tơ chỉ phương. Ngược lại đối với một hệ máy ảnh, ánh sáng truyền các tia theo hướng ngược lại với véc tơ chỉ phương.
Trong thực tế đối với các hệ thống đo quang học, việc xác định góc tương đối giữa tia sáng từ hệ máy chiếu với hệ máy ảnh là rất khó khăn khi chỉ sử dụng một điểm, thay vào đó người ta chiếu một chùm tia dưới dạng hình xẻ quạt, khi đó ta coi các điểm p nằm trên vật và gốc nguồn chiếu q nằm trên cùng một mặt phẳng P theo hình 2-18.
44
p
Nguồn q
chiếu sáng
P
Hình 2-18 Biểu diễn chùm tia chiếu tới vật thể dưới dạng mặt phẳng
Mặt phẳng P được biểu diễn dưới dạng 1 điểm gốc q và 2 vec tơn1 vàn2. Với bất kỳ điểm p thuộc mặt phẳng P đều thỏa mãn phương trình sau:
= { = + l(n( + l!n! ∶ l( ! ∈ ℝ}
Phương trình (2-50) không phải là cách biểu diễn duy nhất, điểm q có thể thay thế bằng một điểm khác nằm trên
mặt phẳng và hai véc tơn1,n2 có thể thay thế bằng bất kỳ tổ hợp tuyến tính khác củan1,n 2.
Trong trường hợp khác, người ta thường biểu diễn mặt phẳng dưới dạng một điểm q nằm trên mặt phẳng và một véc tơ pháp tuyến nÎℝ):
={ :/( − )=0}
Cũng tương tự như phương trình (2-50) phương trình (2-51) cũng không phải là các biểu diễn duy nhất, điểm q có thể thể thay thế bằng bất kỳ điểm nào khác trong mặt phẳng P và véc tơ pháp tuyến n bằng bất kỳ bội số vô hướng ¹ 0.
Để chuyển đổi giữa phương trình (2-50) và phương trình (2-51) chúng ta có thể lấy =n( ×n! là tích của 2 véc tơ cơ sởn1 vàn2, và đây là 2 véc tơ cần tìm. Trong thựctế, chỉ cần tìm một véc tơn1 trực giao với n, véc tơn2 = n´ n1.
Như vậy, một đường thẳng L cũng có thể được biểu diễn bằng giao của 2 mặt phẳng theo công thức sau:
={ :(/( − )=!/( − )=0}
Trong đó, 2 véc tơ pháp tuyến 1 và 2 độc lập tuyến tính, khi đó ta xác định được điểm chung của 2 mặt phẳng thay vì 2 điểm khác nhau. Như vậy phương trình (2-52) được coi là phương trình giao điểm giữa mặt phẳng của hệ chiếu sáng tại các điểm giao p trên bề mặt vật.
Thông thường các hệ chiếu sáng được sử dụng trong quá trình quét Laser và ánh sáng cấu trúc chứa các đường hoặc điểm có thể xác định được. Hệ chiếu sáng được đơn giản hóa theo mô hình lỗ nhỏ, tức là một đường chiếu tạo ra một mặt phẳng ánh sáng; mặt phẳng này là duy nhất chứa đường thẳng trên mặt phẳng hình ảnh và tâm chiếu, với mỗi điểm chiếu được tạo ra bởi một tia sáng (tia này tạo bởi tâm của hệ chiếu sáng và
45
điểm chiếu trên vật) và cũng là một điểm duy nhất, giao điểm của một mặt phẳng ánh sáng với vật thể thành nhiều đoạn cong được chiếu sáng (hình 2-18) là tập bởi các điểm được chiếu. Các điểm này được hệ máy ảnh thu được và xác định được tia ảnh duy nhất từ 1 điểm được chiếu sáng và tâm của hệ máy ảnh. Hiện tại, chúng ta giả định rằng vị trí và hướng của máy chiếu và máy ảnh được biết đến theo hệ tọa độ toàn cầu. Theo giả thiết này, phương trình của mặt phẳng và tia chiếu, cũng như phương trình của tia máy ảnh tương ứng với các điểm được chiếu sáng, được xác định bằng các tham số có thể đo được. Từ các phép đo này, vị trí của các điểm được chiếu sáng có thể được khôi phục bằng cách giao nhau giữa các mặt phẳng hoặc tia sáng với tia hệ thu ảnh tương ứng với các điểm được chiếu sáng. Thông qua các quá trình như vậy, sự không rõ ràng về độ sâu do phép chiếu mô hình lỗ nhỏ có thể được loại bỏ, cho phép khôi phục mô hình bề mặt 3D.
Gọi G là tâm của hệ chiếu sáng, P là mặt phẳng tạo bởi G và các tia chiếu sáng tới vật, n là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng P. Gọi L là đường thẳng đi
qua tâm < của hệ thu ảnh và điểm p là giao điểm giữa mặt phẳng chiếu sáng và vật (theo hình 2-19). Đường thẳng L được biểu diễn ở dạng tham số:
={=<+ ∶ ∈ℝ}
Và mặt phẳng P được biểu diễn dưới dạng:
= x : /{ − G | = 0y
Hình 2-19 Tam giác đạc giao điểm giữa mặt phẳng và đường thẳng (nguồn: [79])
46
Trong một số trường hợp đặc biệt, đường thẳng và mặt phẳng song song nên không có điểm p giao nhau, hay nói cách khác véc tơ và
n trực giao/ =0 khi này cũng xảy ra trường hợp đường thẳng L nằm trong mặt phẳng P. Do vậy, trong bài toán này, chúng ta chỉ xét trong
trường hợp véc tơ và n không trực giao thỏa mãn điều kiện:/ ¹ 0 khi đó giao của đường thẳng L và mặt phẳng P luôn có một giao điểm p. Vì
điểm p nằm trên đường thẳng L nên ta có thể viết =< + , và cần xác định giá trị của . Mặt khác, điểm p cũng nằm trên mặt phẳng cho nên
giá trị cần thỏa mãn phương trình tuyến tính:
!−"=!+−"=0
Và giá trị được xác định rút ra từ công thức (2-55)
=
Như đã nói ở trên, công thức (2-57) chỉ đúng trong điều kiện đường thẳng L và mặt phẳng P không song song hay nói cách khác / ¹ 0. Trong thực thế sẽ có một tập hợp các giao điểm p trên bề mặt vật, chúng ta cần xác định các điểm p đó trong điều kiện hẹp, nghĩa là p là giao điểm của 2 đường thẳng giao nhau trong không gian 3D theo hình 2-20.
Hình 2-20 Tam giác đạc bởi giao điểm giữa 2 đường thẳng (nguồn: [79])
Giá sử ta có đường thẳng L1 chứa điểm q1 là gốc của hệ chiếu sáng và p nằm trên vật, đường thẳng L2 chứa điểm q2 là gốc của hệ thu ảnh và điểm p. Như vậy biểu diễn 2 đường thẳng L1 và L2 dưới dạng:
47
TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com
Và:
Xét trong một số
song, trong (
và véc tơ Hai véc tơ
trường hợp này chúng không cắt nhau và không trùng nhau. Trong trường
không.
hợp khác nếu chúng độc lập tuyến tính thì véc tơ
Xét trong trong trường hợp chúng cắt nhau thì giao điểm p đó là giao điểm duy nhất thỏa mãn điều kiện cần và đủ để khi véc tơ ( và véc tơ ! là độc lập tuyến tính và các giá trị vô hướng ( à ! sao cho:
(+((=!+!!
Hoặc tương tự véc tơ( −! là phụ thuộc tuyến tính vào véc tơ( và véc tơ!. Xét trường hợp hai đường thẳng không chắt nhau, ta có xác định giao điểm gần
đúng là “điểm gần nhất với 2 đường thẳng”. Hay nói cách khác, cho dù hai đường thẳng cắt nhau hay không thì vẫn có thể xác định được giao điểm gần đúng là điểm p thỏa mãn điều kiện tổng bình phương khoảng cách nhỏ nhất đến cả 2 đường thẳng:
( , (, !)=‖ (+ ( (− ‖!+‖ !+ ! !− ‖!
Để xác định giá trị của p, hàm ( ,(,! ) được coi là một hàm không âm, 5 biến số bao gồm: Giá trị tọa độ 3 chiều của điểm p và hai biến số vô hướng( và!
Hình 2-21 Xác định giao điểm gần đúng của 2 đường thẳng (nguồn: [79])
Trước hết cần xác định hai biến số ( và ! của hàm không âm bậc 2. Giả sử điểm (= ( + ( ( là điểm nằm trên đường thẳng ( và điểm ! = ! + ! ! nằm
trênđường thẳng !. Trung điểm của đoạn thẳng nối giữa ( và ! là (!, ta cố phương trình sau:
48
TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com
(!= (+
Điều kiện để cho ( ,(,! ) của hàm là nhỏ nhất khi xét đạo hàm riêng của theo 5 giá trị là nhỏ nhất, theo đó ta xét đạo hàm riêng của
(công thức 2-60) theo 3 biến của tọa độ điểm p:
Φ
=( − ()+ ( − !)=0
Giá trị p là nhỏ nhất nếu nó là trở thành trung điểm(! của đoạn thẳng nối giữa( và!; Như vậy cần xác định bình phương tối thiểu khoảng cách từ một
điểm( trên đoạn thẳng( và một điểm! trên đoạn thẳng!. Trong trường hợp này xét tìm nhỏ nhất của phương trình không âm 2 biến:
Ψ( (, !)=2 ( (!, (, !)= ‖( !+ ! !)−( (+ ( ()‖!
Từ công thức (2-22) ta xác định đạo hàm riêng của từ biến số(,! nhỏ nhất tiến dần tới 0:
Ψ
Ψ
!= !(!!− ((+ ! Hai phương trình tuyến tính (2-64), (2-65) biến
Phương trình (2-25) phụ thuộc vào tuyến tính độc lập của 2 véc tơ( và véc tơ!, ma trận 2x2 có thể được thu gọn lại:
¢ £ =
(
!
49
Theo công thức (2-68) giao điểm gần đúng p có thể xác định được sau khi tìm được giá trị của biến số ( ℎ ặ
!.
2.4.2 Mô hình lỗ nhỏ của máy ảnh
Đối với một hệ thống đo sử dụng phương pháp ánh sáng cấu trúc, máy ảnh có vai trò thu nhận hình ảnh các tia sáng phản xạ trên bề mặt vật từ hệ chiếu sáng. Để thể hiện quá trình tạo ảnh vật thể của một hệ thu ảnh người ta sử dụng mô hình lỗ nhỏ, mô hình này bao gồm một mặt phẳng ảnh I và một tâm điểm Oc, ta có thể biểu diễn mô hình như sau:
Hình 2-22 Mô hình hệ thu ảnh lỗ nhỏ (nguồn: [79])
Tuy nhiên, với mô hình như trên hình 2-22, ảnh của vật bị đảo ngược, do đó, người ta chuyển sang một mô hình tương đương để dễ dàng hơn trong quá trình tính toán. Trên hình 2-23, đổi vị trí giữa mặt phẳng ảnh và mặt phẳng lỗ nhỏ.
Hình 2-23 Mô hình hệ thu ảnh lỗ nhỏ chuyển đổi (nguồn: [79])
Xét mô hình lỗ nhỏ (hình 2-22) với hệ tọa độ máy ảnh gồm tâm của phép chiếu q và hệ trực chuẩn cơ sở {(,!,)} và mặt phẳng ảnh tạo bởi 2 véc tơ cơ bản tại tiêu cự
f=1. Với bất kỳ điểm p trong không gian 3 chiều của hệ tọa độ thực có tọa độ ( (,!,)) đều có mối liên hệ với tọa độ của máy ảnh. Hình chiếu của điểm p lên mặt phẳng ảnh là điểm ảnh 2 chiều u được xác định bởi thông số( và), ta có thể viết tọa độ điểm u dưới dạng véc tơ 3 chiều = ((,!, 1), giả sử ta có l là một tham số vô hướng không âm, mối liên hệ giữa điểm p thực và điểm ảnh u có thể được biểu diễn như sau:
50
TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com
véc tơ ( và ! được xác định theo:
[ (| !| ]=§0 1
Với mỗi hệ thu ảnh được gắn với một hệ tọa độ ảnh, một điểm p trong hệ tọa độ thực được biểu diễn dưới dạng véc tơ K = (K(,K!,K))/, trong hệ tọa độ
ảnh cũng có dạng véc tơ9 = (9(,9! ,9))/, mối quan hệ giữa 2 véc tơK và9 được biến đổi bằng một ma trận dịch chuyển ∈ ℝ) và một ma trận quay ∈ ℝ)4):
9= K+
Xét trong hệ tọa độ của máy ảnh, mối quan hệ giữa tọa độ điểm trong không gian 3 chiều và tọa độ ảnh 2 chiều của phép
chiếu bằng mô hình lỗ nhỏ với công thức (2-69) với =9, mối liên hệ với tọa độ thực với tọa độ ảnh được thể hiện bằng công thức:
= K +
Như vậy, các tham số (R, T) được gọi là các tham số ngoại của máy ảnh biểu diễn vị trí và hướng của máy ảnh so với hệ tọa độ thực.
Giả sử đơn vị đo độ dài trên mặt phẳng ảnh bằng với hệ tọa độ thực, khoảng cách từ tâm hình chiếu đến mặt phẳng ảnh bằng một đơn vị độ dài và gốc của hệ tọa độ ảnh có tọa độ ( = 0 và ! = 0. Tuy nhiên trong thực tế, trường hợp này không xảy ra vì đơn vị đo trên mặt phẳng ảnh là điểm ảnh, còn với hệ toạ độ thực là đơn vị chiều dài (mét, milimet hoặc inch,…), khoảng cách từ tâm chiếu đến