tức thời.
Công thức tính chữ ký ( , ) trong toàn bộ các lược đồ chữ ký số dựa trên
đường cong elliptic đã được ban hành thành chuẩn như DSA, GOST R 34.10-94, GDSA, Schnorr và ECDSA, GOST R 34.10-2012, ECGDSA, EC-Schnorr đều được
xác định theo công thức sau:= ( , , )
= ( , , , )
Với , là các quan hệ được xác định rõ trong các thuật toán chữ ký số. Từ công thức
tính của cả 4 lược đồ ECDSA, GOST R34.10-2012, ECGDSA, EC-Schnorr ta có kết quả sau:
Kết quả 2.1. Các lược đồ ECDSA, GOST R34.10-2012, ECGDSA, EC- Schnorr đều bị phá vỡ hoàn toàn nếu biết được (hay lộ khóa bí mật tức thời).
Hơn nữa kết quả tiếp theo cho thấy cả 4 lược đồ trên đều bị phá vỡ hoàn toàn nếu dùng lặp lại khóa bí mật tức thời.
Kết quả 2.2. Các lược đồ ECDSA, GOST R34.10-2012, ECGDSA, EC- Schnorr đều bị phá vỡ hoàn toàn nếu dùng lặp lại khóa bí mật tức thời (hay trùng khóa bí mật tức thời).
Chứng minh. Giả sử ( , ) và ( ’, ’) là hai chữ ký lên hai thông điệp khác nhau và ’ ( ≠ ’) với cùng một khóa bí mật tức thời nào đó của một
trong 4 lược đồ kể trên.
Xét ba lược đồ ECDSA, GOST R34.10-2012, ECGDSA. Theo như các
Bước 3 tương ứng đưa ra trong Bảng 1.1 trong Chương 1, ta có =
với ( , ) = . . Do trùng khóa nên ta có = ’.
- Với lược đồ ECDSA, do= −1( ( ) + )nên ta thu được hệ phương trình sau:
TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com
36
= −1( ( ) + . ) {
Vì ( ) ≠ ( ’) (điều này hầu như luôn xảy ra do ≠ ’ và là hàm băm kháng va chạm) nên ta có ≠ ’ (
), vì vậy tìm được khóa bí mật dài hạn của lược đồ ECDSA:
= ( . ( ( ) – ( ’))( − ′)−1 − ( )).−1 .
- Với GOST R34.10-2012, do= ( ( ) + ) = ( ( ) + ) nên ta thu được hệ phương trình sau:
{
Lập luận tương tự như trên, ta tính được:
= ( − ( ( ) − ( ′))−1( −′) ( ))−1 .
- Với ECGDSA, do = ( – ( ))nên thu được hệ sau:
= ( – ( ))
{ Do ≠ 0, nên ta có:
( − ( )) = ′( − ( ′))
⇔ = ( −′ )−1( ( ) −′ ( ′)) Từ đó dễ dàng tính được khóa bí mật . - Tương tự với EC-Schnorr, ta có:
= ( – ( || )) . (với là hoành độ của )
Từ đó ta thu được hệ phương trình sau:
= ( − . ( || ))
{
Từ đây tính được: = ( − ′). ( ( ) – ( ’))−1
.
TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com
37